Презентация "История становления математики"

• 1 слайд

  "История развития
  математике"
  

• 2 слайд

  Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев.
  

• 3 слайд

  Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления.
  
  Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.
  
  

• 4 слайд

  Источником знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые клинописными текстами, которые датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца.
  

• 5 слайд

  Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса и минуты на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии.
  
  
  

• 6 слайд

  Вавилоняне создали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59, основание 10. Символ, обозначавший единицу, повторялся нужное количество раз для чисел от 1 до 9. Для обозначения чисел от 11 до 59 вавилоняне использовали комбинацию символа числа 10 и символа единицы. Для обозначения чисел, начиная с 60 и больше, вавилоняне ввели позиционную систему счисления с основанием 60. Существенным продвижением стал позиционный принцип, согласно которому один и тот же числовой знак (символ) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Примером могут служить значения шестерки в записи (современной) числа 606. Однако нуль в системе счисления древних вавилонян отсутствовал, из-за чего один и тот же набор символов мог означать и число 65 (60 + 5), и число 3605 (602 + 0 + 5). Возникали неоднозначности и в трактовке дробей. Например, одни и те же символы могли означать и число 21, и дробь 21/60 и (20/60 + 1/602). Неоднозначность разрешалась в зависимости от конкретного контекста.
  
  

• 7 слайд

  Вавилоняне составили таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и квадратных корней, а также таблицы кубов и кубических корней. Им было известно приближение числа. Клинописные тексты, посвященные решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что они пользовались квадратичной формулой для решения квадратных уравнений и могли решать некоторые специальные типы задач, включавших до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвертой степени. На глиняных табличках запечатлены только задачи и основные шаги процедур их решения. Так как для обозначения неизвестных величин использовалась геометрическая терминология, то и методы решения в основном заключались в геометрических действиях с линиями и площадями. Что касается алгебраических задач, то они формулировались и решались в словесных обозначениях.
  Около 700 до н.э. вавилоняне стали применять математику для исследования движений Луны и планет. Это позволило им предсказывать положения планет, что было важно как для астрологии, так и для астрономии.
  

• 8 слайд

  "Греческая математика"
  

• 9 слайд

  Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э.
  
  

• 10 слайд

• 11 слайд

  Классическим примером образования математических теорий и становление математики как науки является математика древней Греции. Бронза вытесняется железом и орудия производства становятся более доступными. Это означает, что в общественную жизнь вовлекаются все большие массы людей. Древнее иероглифическое письмо заменяется алфавитным, т.е. граммотность становится более доступной, чем раньше.
  

• 12 слайд

  Пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. Они  приписывали числам особые сверх естественные свойства, понимали, что каждая вещь или явление обладают сущностью(содержанием) и видимостью (формой). Форма постигается органами чувств, а сущность умом и подчинена логике чисел. Познав мир чисел, познаём и сущность вещей .
  

• 13 слайд

  "Все сущее есть число "- лозунг пифагорейцев. Предполагают, что от пифагорейцев  ведет свое начало термин "математика". Пифагорейцы различали четыре матемы  (с греч. "матема"- знание, наука, учение через размышление): учение о числах  (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях  (геометрию) и астрономию с астрологией.
  
  

• 14 слайд

  После раскола пифагорейского союза образовалось два главных направления: "акузматики" (от греческого слова "акусма" - "священное изречение" ) - сторонники религиозно-мистического учения Пифагора и "математики"- приверженцы науки. От последних и ведется название "математика".
  

• 15 слайд

     Все, что открывали пифагорейцы, приписывалось самому Пифагору. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Числа разбиваются на четные (мужские ),  нечетные (женские), также рассматривались фигурные числа. Например, треугольные числа, связывающие арифметику и геометрию.
  

• 16 слайд

  Термин "квадратные числа" идёт от построений пифагорейцев.
  

• 17 слайд

• 18 слайд

  Дружественные числа - это пара натуральных чисел каждый из которых равно сумме всех делителей другого числа. Например,
  220 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110
   284 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142
  
  Совершенные числа - это числа равные сумме своих делителей. Например,
  46 = 1 + 2 + 3
   28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 1
  
  Также пифагорейцы открыли простые и составные числа.
  
  
  

• 19 слайд

  Главное открытие
  пифагорейцев - открытие
  иррациональности.
  
  

• 20 слайд

• 21 слайд

  Период зрелости греческой математики начинается в эпоху Эллинизма (3 в. до н.э.).
  Наиболее значительными фигурами этого периода были :
  Евклид (315-255 г. до н.э.)
  Архимед (ок. 287-212 г.до  н.э.)
  Апполоний (260-170 г.до н.э.)
  Эратосфен (ок. 276-194 г. до н.э.)
  Герон (ок. 100 лет до н.э.)
  Диофант (ок. 3 в. до н.э.)
   
  

• 22 слайд

  Евклид
  Автор многих работ по математике, оптике, и теории музыки. Главный его труд - "Начала". "Начала" Евклида представляют собой систематизированное изложение всех математических фактов, созданных древнегреческими математиками к этому времени, исключая теорию канонических сечений."Начала состоят из 13 книг (глав). 1-6 –планиметрия, 7-9 -арифметика
  10 -несоизмеримые величины и теория пропорций
  11-13 -стереометрия
  Характерная особенность "Начала"
  1.Являлась первой наиболее полной попыткой строгого логического построения математики
  2.Вычислительная сторона математики   полностью отсутствовала
  3.Нет приложений
  

• 23 слайд

  В первой книге 23 определения, которыми фактически Евклид не пользуется, 5 постулатов и 9 аксиом. Постулаты носили геометрический характер и начинались со слов "требуется". Они отражали возможности построений множеств плоскости с помощью циркуля и линейки.   В древнегреческой математике существовали требования, идущие от Платона. Математический объект считался существующим, если его удавалось построить с помощью циркуля и линейки. Знаменитые задачи древности с помощью циркуля и линейки решить не удавалось, поэтому они считались неразрешимыми.
  Вычислительная сторона математики не была достойна внимания греческих мыслителей.
  
  

• 24 слайд

  Архимед
  Архимед был знаменитым механиком и математиком, главная особенность его математических работ в отличии от Евклида -приложение к механике. По математике Архимедом выполнены работы по вычислению площади и объёма (предварительно Архимед взвешивал различные пластины и тела), усовершенствовал метод исчерпывания, изложенным Евклидом -этим методом доказывается, что квадратуру круга , т.е. вычисление площади круга можно решить с помощью вписывания правильных многоугольников, неограничено   удваивая число их сторон, тогда площади таких многоугольников исчерпывают  площадь круга.
  Интегральные методы Архимед изложил в следующих работах.
  1."О шаре и цилиндре "
  2."О спиралях "
  3."О коноидах и сфероидах "
  В этих работах он ввёл понятия верхних и нижних сумм. Если S-это искомая площадь криволинейных фигур, то Архимед вычислил S вписанной окружности  и площадь описанной окружности .
  В 19 веке эта идея воплащена Дарбу, разность может быть сколь угодно малой при увеличении числа сторон вписанными и описанными окружностями.
  В работах Архимеда содержатся и дифференциальные идеи, когда он рассматривает о максимальной функции и касательной к кривой.
  
  
  

• 25 слайд

  Эратосфен
  В математике известно решето Эратосфена - метод построения простых чисел.
  Зачёркиваем все числа, которые делятся на 2, на 3 и т. д.
  Эратосфен одним из первых измерил длину земного меридиана.
  

• 26 слайд

  Герон
  Он известен своим трудом "Метрика"- энциклопедия античной прикладной математики. В работе "о диоптре" даны правила землемерия с неявным использованием прямоугольной системы координат.
  

• 27 слайд

  Диофант
  В конце 2 в. н.э. начинается закат греческой математики. Единственной яркой фигурой этого времени является Диофант. Главный труд Диофанта- "Арифметика", по предположению, состоит из 13 книг (глав)
  Главная заслуга Диофанта
  1. Отказ от геометрической алгебры древних греков. Введение буквенной алгебры (в зачатом состоянии), алгебраической символики.
  2. Расширение понятия числа.
  3.Заложил основы теории неопределённых уравнений, которые приводят в последствии к теории чисел.
  Если древнегреческая геометрическая алгебра имела дело со степенями не выше третьей, то Диофант это ограничение фактически снимает
  x3+2x2+10x-3
  Это уравнение Диофант представил так
  У Диофанта расширение понятия числа наряду с положительными числами появились отрицательные числа и отрицательные показатели степеней. Диофант аксиоматически вводит умножения степеней, которые в современной форме имеют вид    XmXn = Xm+n
   
  
  
  

• 28 слайд

  С точки зрения XX в. родоначальниками математики явились греки классического периода (VI – IV вв. до н. э). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений.
  Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов .
  

• 29 слайд

  Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: «Природа разговаривает с нами на языке математики».
  Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже — механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой.
  

• 30 слайд

  Одновременно греки создали методологию математики и завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, польза от которого — не только в установлении истинности утверждений, но также и в выявлении неочевидных связей между понятиями, научными фактами и областями математики.
  
  

• 31 слайд

  Вплоть до VI века до н. э. греческая математика ничем выдающимся не прославилась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. Греческая нумерация (запись чисел), как позже римская, была аддитивной. Первый её вариант (аттическая, или геродианова) содержали буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция (вычисление) происходит от calculus  — камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль.
  

• 32 слайд

  Позднее вместо аттической нумерации была принята алфавитная — первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000.
  

• 33 слайд

  Математики и философы принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.
  

• 34 слайд

  Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок.640 – 546 до н. э), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Высказывалось предположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии, хотя это сомнительно.
  

• 35 слайд

  В VI веке до н. э. «греческое чудо» начинается: появляются сразу две научные школы — ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по комментариям позднейших авторов, преимущественно Евклида, Платона и Аристотеля.
  Фалес, богатый купец, во время торговых поездок, видимо, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию. Ионийцы дали первые доказательства геометрических теорем.
  Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам.
  

• 36 слайд

  "Пифагорейские школы"
  

• 37 слайд

  Евклид (III век до н. э.)
  Древнегреческий математик, автор первого трактата
  по геометрии «Начала» (в 13 книгах).
  В основе всей геометрии греческого математика Евклида лежало несколько простых первоначальных утверждений (аксиом), которые принимались за истинные без доказательств. Из аксиом путем доказательств выводились более сложные утверждения, из тех выводились еще более сложные.
  Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности. Поэтому на всем протяжении истории геометрии имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.
  

• 38 слайд

  Неевклидова геометрия
  единственно правильная?
  Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильная. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет – или это произойдет быстрее? Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте.
  Геометрия Лобачевского не единственная, существуют и другие, например Римана геометрия.
  
  
  

• 39 слайд

  Риманова геометрия, многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Риманова геометрия получила своё название по имени Б. Римана, который заложил её основы в 1854.
  
  

• 40 слайд

  V век до н. э. — Зенон
  Зенон Элейский, предложив ещё одну тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 парадоксов (апорий), из которых наиболее знамениты четыре.
  Зенон Элейский
  

• 41 слайд

• 42 слайд

  В начале нашей эры наблюдается упадок математической деятельности в Греции, и причиной тому явилось
  1. Завоевание Римом греческих владений и пренебрежительное отношение римлян к научным достижениям. Римляне считали, что их удел управление государством, а науки-удел покорённых народов, практичным римлянам теоретическая математика греков была не нужна.
  2. Главный центр греческой науки н.э.-Александрия был разграблен. Большая часть рукописей из библиотеки Музеи была уничтожена пожаром и только небольшая часть рукописей была спасена бежавшими в Константинополь греками.
  3. Математические труды древних греков были изложены без каких-либо пояснений, предполагалось, что пояснения давал учитель в устной форме. Число греческих учителей с нашествием римлян резко сократилось, поэтому произошло падение уровня преподавания математики.
  4. Тормозом для дальнейшего развития математики служило геометрическая форма изложения, которая, например, не позволяла рассматривать степень выше третьей. Некоторый прорыв совершил Диофант.
  5. Известно, что древнегреческие математики (за исключением Архимеда ) пренебрежительно относились к прикладным вопросам, тогда как запросы практики, как показывает история математики, является одним из главных стимулов развития математики.
  

• 43 слайд

  Выводы по древнегреческой математики
  1. В древнегреческой математике впервые появилось научное построение теории со своим стилем образования понятий и методами постижения истин (теория доказательств).
  2. В недрах древнегреческой математики возникли идеи преопределившие развитие математической мысли вплоть до наших дней.
  3. В научной революции 17 века основной являлось практическое осмысление древнегреческого наследия.