Презентация к элективному курсу "Развитее пространственных представлений" (9 класс)

• 1 слайд

  Элективный курс
  Развитие пространственных представлений
  
  
  Учителя математики
  высшей категории МОУ «Гимназия № 17»
  Пшатовой Галины Владимировны
  
  

• 2 слайд

  Геометрия в жизни (многогранники).
  

• 3 слайд

  Александрийский маяк
  В 285 году до н.э.на острове Фарос архитектор Сострат Книдский приступил к строительству маяка. Маяк строился пять лет и получился в виде трехэтажной башни высотой 120 метров. В основании он был квадратом со стороной тридцать метров, первый 60-метровый этаж башни был сложен из каменных плит и поддерживал 40-метровую восьмигранную башню, облицованную белым мрамором. На третьем этаже, в круглой, обнесенной колоннами башне, вечно горел громадный костер, отражавшийся сложной системой зеркал.
  

• 4 слайд

  Висячие сады Семирамиды
  Дворец Навуходоносора был построен для его жены Семирамиды на обширной кирпичной площадке, высоко поднимавшейся над окружающей местностью. Пять дворов следовали один за другим с востока на запад, во дворы выходили двери многочисленных комнат. Фасад украшали стройные желтые колонны с голубыми завитками. Окон не было, и свет проникал через три широкие двери.
  Висячие сады украшали северо- западную часть дворца. На сводчатых арках из кирпича были расположены террасы, напоминающие уступы гор. Поверх кирпичей залит асфальт, на нем – свинцовые плиты, а на них насыпан слой плодородной земли и посажены деревья, кусты и цветы. Издали кажется, что эти сады как бы висят в воздухе.
  

• 5 слайд

  Галикарнасский мавзолей
  Лучшие архитекторы того времени построили мавзолей в виде почти квадратного здания, первый этаж которого был собственно усыпальницей. Снаружи эта громадная погребальная камера, площадью 5000 кв. метров и высотой около 20 метров, была обложена отесанными и отполиро-ванными плитами белого мрамора. Во втором этаже, окруженном колоннадой, хранились жертвоприношения, крышей же мавзолея служила пирамида.
  

• 6 слайд

  Египетские пирамиды
  Они словно вырастают из песков пустыни - колоссальные, величествен-ные, подавляющие человека необычайными размерами и строгостью очертаний. Стоя у подножия пирамиды, трудно себе представить, что эти огромные каменные горы созданы руками людей. А между тем они были действительно сложены из отдельных каменных глыб, как в наше время дети складывают пирамиды из кубиков.
  

• 7 слайд

  Храм
  Артемиды Эфесской
  Храм достигал 109 метров в длину, 50 - в ширину. 127 двадцатиметровых колонн окружали его в два ряда, причем часть колонн были резными и барельефы на них выполнял знаменитый скульптор Скопас. Основание крыши – мраморная плита.
  

• 8 слайд

  Башня Сююмбике
  Башня Сююмбике состоит из семи ярусов, нижние ярусы представляют из себя параллелепипеды а верхние - многогранники.
  

• 9 слайд

  Мечеть
  Кул-Шариф
  Архитектура этой мечети представляет собой сочетание различных многогранников.
  

• 10 слайд

  Никольский собор
  Нижние ярусы представляют собой параллелепипеды, а верхний ярус – многогранник.
  

• 11 слайд

  Платоновы тела
  Правильные выпуклые многогранники
  

• 12 слайд

  Правильный тетраэдр
  Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º.
  Рис. 1
  

• 13 слайд

  Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.
  Правильный октаэдр
  Рис. 2
  

• 14 слайд

  Правильный икосаэдр
  Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º.
  Рис. 3
  

• 15 слайд

  Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º.
  Куб (гексаэдр)
  Рис. 4
  

• 16 слайд

  Правильный додекаэдр
  Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.
  Рис. 5
  

• 17 слайд

  Названия многогранников
  пришли из Древней Греции,
  в них указывается число граней:
  «эдра»  грань;
  «тетра» 4;
  «гекса»  6;
  «окта»  8;
  «икоса»  20;
  «додека»  12.
  

• 18 слайд

  Таблица № 1
  

• 19 слайд

  Сальвадор Дали
  «Тайная вечеря»
  

• 20 слайд

  Правильные многогранники и природа
  Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр (рис. 8).
  Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
  Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.
  Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.
  При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2]  12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.
  Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.
  В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
  Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
  Феодария
  (Circjgjnia icosahtdra)
  Рис. 8
  

• 21 слайд

  Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке 9. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.
  Задача
  Рис. 9
  

• 22 слайд

  Правильные многогранники
  и их построение.
  22
  

• 23 слайд

  Существует пять типов правильных многогранников
  23
  тетраэдр
  октаэдр
  икосаэдр
  гексаэдр
  додекаэдр
  

• 24 слайд

  Правильным называется многогранник, у которого все грани являются правильными многоугольниками, и все многогранные углы при вершинах равны.
  Приведён пример правильного многогранника (икосаэдр), его гранями являются правильные (равносторонние) треугольники.
  
  24
  

• 25 слайд

  Правильный многогранник, у которого грани правильные треугольники и в каждой вершине сходится по три ребра и по три грани. У тетраэдра: 4 грани, четыре вершины и 6 ребер.
  25
  
  назад
  ТЕТРАЭДР
  

• 26 слайд

  ОКТАЭДР
  Правильный многогранник, у которого грани- правильные треугольники и в каждой вершине сходится по четыре ребра и по четыре грани. У октаэдра: 8 граней, 6 вершин и 12 ребер
  26
  
  назад
  

• 27 слайд

  ИКОСОЭДР
  27
  Правильный многогранник, у которого грани - правильные треугольники и в вершине сходится по пять рёбер и граней. У икосаэдра:20 граней, 12 вершин и 30 ребер
  назад
  

• 28 слайд

  КУБ
  28
  
  -правильный многогранник, у которого грани – квадраты и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
  назад
  

• 29 слайд

  29
  Додекаэдр
  Правильный многогранник, у которого грани правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У додекаэдра:12 граней, 20 вершин и 30 ребер.
  назад
  

• 30 слайд

  Элементы симметрии правильных многогранников
  
  30
  

• 31 слайд

  31
  

• 32 слайд

  Правильные многогранники называют также «платоновыми телами» - они занимали видное место в идеалистической картине мира древнегреческого философа Платона.
  32
  Додекаэдр символизировал всё мироздание, почитался главнейшим. Уже по латыни в средние века его стали называть «пятая сущность» или guinta essentia, «квинта эссенциа», отсюда происходит вполне современное слово «квинтэссенция», означающее всё самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.
  

• 33 слайд

  Олицетворение многогранников.
  33
  

• 34 слайд

  Дюрер. Меланхолия
  34
  

• 35 слайд

  Построение сечений многогранников
  

• 36 слайд

  Геометрические понятия
  Плоскость – грань
  Прямая – ребро
  Точка – вершина
  грань
  ребро
  вершина
  

• 37 слайд

  Многогранники
  Тетраэдр
  Параллелепипед
  

• 38 слайд

  Геометрические утверждения
  Если две точки одной прямой лежат в плоскости, то и
  вся прямая лежит в этой плоскости.
  

• 39 слайд

  Геометрические утверждения
  Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то
  линии их пересечения параллельны.
  

• 40 слайд

  Практикум
  Вариант I (по 4 балла)
  Вариант II (по 6 баллов)
  1
  2
  3
  1
  2
  

• 41 слайд

  Практикум (решение)
  Вариант I
  1
  

• 42 слайд

  Практикум (решение)
  Вариант I
  2
  

• 43 слайд

  Практикум (решение)
  Вариант I
  3
  

• 44 слайд

  Практикум (решение)
  Вариант II
  1
  

• 45 слайд

  Практикум (решение)
  Вариант II
  2
  

• 46 слайд

  Практикум (ответы)
  Вариант I (по 4 балла)
  Вариант II (по 6 баллов)
  1
  2
  3
  1
  2
  

• 47 слайд

  Проблемная задача 1
  повторить
  1
  

• 48 слайд

  Проблемная задача 1
  повторить
  1
  14 баллов
  

• 49 слайд

  Проблемная задача 2
  повторить
  2
  

• 50 слайд

  Проблемная задача 2
  повторить
  2
  14 баллов
  

• 51 слайд

  Инструкция для построения сечений
  Представьте ситуацию:
  Ваш одноклассник заболел и пропустил уроки, на которых проходили тему «Построение сечений многогранников».
  Вам нужно по телефону объяснить эту тему. Сформулируйте и запишите пошаговую инструкцию.
  

• 52 слайд

  Построение с помощью куба
  52
  

• 53 слайд

  Закон взаимности
  53
  

• 54 слайд

  Звездчатые правильные многогранники
  54
  

• 55 слайд

  Построение правильного тетраэдра вписанного в куб
  Рассмотрим вершину куба А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину противоположную А,- вершины куба В1, С1, Д. Точки А, В1,С1, Д- являются вершинами правильного тетраэдра.
  55
  С1
  В1
  А
  Д
  

• 56 слайд

  Построение правильного тетраэдра
  56
  

• 57 слайд

  Построение правильного октаэдра, вписанного в данный куб
  57
  Выбираем куб. В нем последовательно проводим отрезки: слабо видимыми линиями соединяем попарно между собой вершины каждой грани. Точки пересечения этих диагоналей соединяем между собой.
  

• 58 слайд

  Описать около данного куба правильный октаэдр
  Через центры противоположных
  граней куба проведем прямые,
  которые пересекаются в точке О- центре куба- и являются взаимно перпендикулярными. На каждой из этих прямых по обе стороны от точки О отложим отрезки длиной 1,5 а,
  Где а- длина ребра куба. Концы этих отрезков являются вершинами правильного октаэдра. Далее последовательно соединяем эти вершины.
  
  58
  O
  

• 59 слайд

  Построение икосаэдра, вписанного в куб
  59
  Поместим на средних линиях граней куба по одному отрезку одинаковой длины с концами на равных расстояниях от ребер. Расположим отрезки и выберем их длину так, чтобы соединяя концы отрезка одной грани с концом отрезка другой грани получить равносторонний треугольник, причем из каждой вершины должны выходить пять ребер.
  

• 60 слайд

  Построение додекаэдра, описанного около куба
  60
  На каждой грани куба строим « четырехскатную крышу», две грани которой- треугольники и две- трапеции. Такие треугольник и трапецию получим, если построим правильный пятиугольник, у которого диагональ равна ребру куба. Стороны этого пятиугольника будут равны ребрам додекаэдра, а построенные с помощью диагонали треугольник и трапеция окажутся фрагментами «четырехскатной крыши»
  

• 61 слайд

  Лобачевский и его геометрия
  Проблема:
  Почему возникла "новая" геометрия?
  

• 62 слайд

  Гипотеза:
  Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Невозможность доказать некоторое геометрическое утверждение средствами евклидовой геометрии послужило поводом построения другой геометрии, которая также является верной.
  Был мудрым Евклид,
  Но его параллели,
  Как будто бы вечные сваи легли.
  И мысли его, что как стрелы летели,
  Всегда оставались в пределах Земли.
  А там, во вселенной, другие законы,
  Там точками служат иные тела.
  И там параллельных лучей миллионы
  Природа сквозь Марс, может быть, провела.
  Цель:
  Найти доказательство того, что истинно утверждение «через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и параллельные ей»
  

• 63 слайд

  Видите движение на этой картинке?
  

• 64 слайд

  Эксперимент «Иллюзии зрения»
  
  
  
  На рисунке буквы расположены параллельно (стоят прямо) или нет?
  
  1
  ИТОГИ опроса:
  всего параллельно нет
  300 3% 97%
  Ответ: параллельно.
  всего спираль окружности
  300 100% 0%
  Ответ: окружности.
  
  
  
  
  На рисунке изображена спираль или несколько
  окружностей?
  2
  ВЫВОД: В геометрии истинность каждого утверждения необходимо доказывать, нельзя полагаться только на наблюдения.
  Положительный момент: благодаря зрительным искажениям существует живопись.
  Если интересно
  

• 65 слайд

  Николай Иванович Лобачевский
  (1792 – 1856 гг.)
  Все! Перечеркнуты “Начала”.
  Довольно мысль на них скучала,
  Хоть прав почти во всем Евклид,
  Но быть не вечно постоянству:
  И плоскость свернута в пространство,
  И мир
  Иной имеет вид...
  Краткое описание геометрии Лобачевского.
  ВЫВОД: Заменив V постулат евклидовой геометрии на аксиому, Лобачевский пришел к выводу, что можно построить другую геометрию, отличную от евклидовой.
  
  
  

Краткое описание документа:

Здравствуйте. Хочу представить вашему вниманию презентацию разработанного мной элективного курса по математике « Развитие пространственных представлений».

Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”.

Я думаю, все согласятся со мной, что нас в жизни окружает геометрия. Ребёнок, делая первые шаги, пытается соизмерять расстояние от одной опоры до другой. Планируя строительство, ремонт и даже перестановку в комнате, нам приходится вспоминать школьный курс геометрии.

После того, как из школьного курса убрали черчение, весь груз ответственности за пространственное, визуальное мышление школьников лёг на геометрию. Думаю учителя математики, поддержат меня, если я скажу, что начальные сведения стереометрии трудны для понимания. Ученики быстро теряют интерес к предмету, не понимая, вернее не представляя себе, как можно изобразить две различные плоскости на одной доске. Использование моделей многогранников существенно облегчает понимание учащимися особенностей изображения пространственных фигур на плоскости, взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.

Мой курс позволяет:

-формировать пространственные представления учащихся.

-развивать практические навыки учащихся по изготовлению правильных, равноугольно полуправильных, звездчатых многогранников.

-ознакомить учащихся с правильными многогранниками, и их характеристиками;

-развивать умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, интереса к предмету через использование информационных технологий;

-воспитать общетрудовые умения графической культуры.

- научить обнаруживать зависимость между геометрией и практической деятельностью людей.

В процессе обучения происходит интеллектуальный рост школьников, проявляющийся в развитии и обогащении различных сторон его мышления, качеств и черт личности и характера.

Сегодня я постараюсь поделиться с вами моей любовью к моему предмету.

Для начала обратимся к архитектуре.

3 Александрийский маяк.

В 285 году до н.э. архитектор Сострат Книдский приступил к строительству маяка. Маяк строился пять лет и получился в виде трехэтажной башни высотой 120 метров. В основании он был квадратом со стороной тридцать метров, первый 60-метровый этаж башни поддерживал 40-метровую восьмигранную башню. На третьем этаже, в круглой, обнесенной колоннами башне, вечно горел громадный костер, отражавшийся сложной системой зеркал.

4 Висячие сады Семирамиды

Дворец был построен на обширной кирпичной площадке, высоко поднимавшейся над окружающей местностью. Пять дворов следовали один за другим с востока на запад, во дворы выходили двери многочисленных комнат. Фасад украшали стройные желтые колонны с голубыми завитками. Окон не было, и свет проникал через три широкие двери. Висячие сады украшали северо- западную часть дворца. Издали кажется, что эти сады как бы висят в воздухе.

5 Галикарнасский мавзолей

Лучшие архитекторы того времени построили мавзолей в виде почти квадратного здания, первый этаж которого был собственно усыпальницей. На втором этаже, окруженном колоннадой, хранились жертвоприношения, крышей же мавзолея служила пирамида.

6 Египетские пирамиды

Они словно вырастают из песков пустыни - колоссальные, величественные, подавляющие человека необычайными размерами и строгостью очертаний. Стоя у подножия пирамиды, трудно себе представить, что эти огромные каменные горы созданы руками людей. А между тем они были действительно сложены из отдельных каменных глыб, как в наше время дети складывают пирамиды из кубиков.

7 Храм Артемиды Эфесской

Храм достигал 109 метров в длину, 50 - в ширину. 127 двадцатиметровых колонн окружали его в два ряда, причем часть колонн были резными Башня 8 Сююмбике

Башня Сююмбике состоит из семи ярусов, нижние ярусы представляют собой параллелепипеды, а верхние – многогранники

9 Мечеть Кул-Шариф

Архитектура этой мечети представляет собой сочетание различных многогранников.

10 Никольский собор

Нижние ярусы представляют собой параллелепипеды, а верхний ярус – многогранник.

11 Ну а теперь перейдём непосредственно к программе моего курса.

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.

12 ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников.

13 ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников.

14 ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников.

15 ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов

16 ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

17 Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

На слайдах также идёт информация о сумме углов при каждой вершине.

18 В таблице указанны основные характеристики, рассмотренных фигур.

19 Обратимся к искусству: в своей работе Сальвадор Дали использовал правильный многогранник . Какой? (додекаэдр)

20 Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии . Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется.

21 После рассмотрения данной темы, предлагаются задачи, например………..

22 Далее переходим к определениям и построениям многогранников.

Тела представлены в том же порядке что и в предыдущей теме, но даются четкие определения и схемы построений.

Первая цель состоит в том, чтобы ученик смотрел на предъявляемые ему зрительные образы. С использованием информационных технологий, этой цели достичь легко. Вторая цель состоит в том, чтобы ученик смотрел и видел то, что заложено в этих образах. Культура зрительного восприятия требует такого же длительного и серьёзного воспитания, как культура письма и речи. Именно поэтому некоторые свойства на протяжении курса повторяются.

30 Далее приведена таблица элементов симметрии правильных многогранников.

31 Не секрет, что дети не выпускают из рук телефоны. Можно предложить им оригинальную самостоятельную работу:

Сколько граней имеет тетраэдр?

Скольки угольником является грань додекаэдра?

Какова сумма углов при вершине икосаэдра? И т.д.

Вопросы выстраиваются таким образом, что если набрать на телефоне числа правильных ответов, то выходит мой номер. Ученики которые смогли сбросить мне звонок, правильно ответили на все вопросы.

Продолжим….

32 Правильные многогранники называют «платоновыми телами» - они занимали видное место в идеалистической картине мира древнегреческого философа Платона. Обратите внимание на сочетание геометрии и философии.

34 Вновь обращаемся к искусству: Какие тела автор использует в своей работе?

35 Теперь переходим к самому сложному и одновременно красивому разделу: Построение сечений.

36 Для начала повторим основные геометрические понятия и утверждения.

• Плоскость – грань
• Прямая – ребро
• Точка – вершина
• Если две точки одной прямой лежат в плоскости, то и
• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то

40 После изучения построения сечений, учащимся предлагается практикум. Затем рассматриваются сами построения. Начиная с построений прямых, точек их пересечения и далее самой секущей плоскости. Затем выстраиваются более сложные варианты задач.

51 Здесь приведён пример не стандартного домашнего задания:

Ваш одноклассник заболел и пропустил уроки, на которых проходили тему «Построение сечений многогранников».

Вам нужно по телефону объяснить эту тему. Сформулируйте и запишите пошаговую инструкцию.

52 Ещё один из разделов: Построения с помощью куба.

53 Примеры Звездчатых правильных многогранников. Ученики изготовляют модели многогранников с большим интересом.

54 Далее идут вписанные и описанные многогранники. Не буду нагружать вас математической терминологией, предлагаю просто посмотреть.

60 Но даже такая точная наука не является непоколебимой!

возникла "новая" геометрия Лобачевского.

61 Был мудрым Евклид,

Но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там параллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть, провела.

62 Немного развлечёмся: Видите движение на этой картинке?

63 Эксперимент «Иллюзии зрения»

64 : В геометрии истинность каждого утверждения необходимо доказывать, нельзя полагаться только на наблюдения.

Положительный момент: благодаря зрительным искажениям существует живопись.

Заменив V постулат евклидовой геометрии на аксиому, Лобачевский пришел к выводу, что можно построить другую геометрию, отличную от евклидовой.

Все! Перечеркнуты “Начала”.

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...