Презентация к факультативному занятию по алгебре на тему "Решение алгебраических задач графическим способом" (9 класс)

• 1 слайд

  Решение алгебраических задач с помощью графиков
  
  Факультативное занятие
  учитель: Мещерякова Е.В.
  

• 2 слайд

  Всякая хорошо решенная задача доставляет умственное наслаждение. Г.Гессе
  В обучении математике особое место занимают задачи, ведь умение решать задачи – показатель развития ученика. Научиться решать математические задачи очень важно, потому что, зная подходы к решению математических задач, учащиеся обучаются взаимодействию с любой задачей, которые встречаются в других школьных предметах и в жизни. Тем самым формируется жизненная позиция ученика, как самостоятельной личности.
  Цель:
  Научиться решать алгебраические задачи с помощью графиков. Углубленное изучение математики на основе объединения аналитического и геометрического подходов к решению задач.
  Задачи:
  - изучить графический метод решения различных алгебраических задач;
  - составить текст задач из различных сфер жизни и отобрать задачи из текста ОГЭ (Основного Государственного Экзамена) и ЕГЭ (Единого Государственного Экзамена), для которых применим графический способ решения;
  - решить данные задачи аналитически и графически;
  - проанализировать графический способ решения задач и отобрать типы задач, для которых целесообразно применение данного метода.
  

• 3 слайд

  Целесообразность применения графического метода решения задач.
  
  Выполняя чертежи, диаграммы и графики для какой-то задачи, мы получаем возможность «увидеть» задачу – установить и исследовать связи между величинами, входящими в задачу, выбрать кратчайший путь решения этой задачи. А так как научиться решать задачи – это важнейший навык в обучении математике, в частности алгебры, то геометрический метод решения задач расширяет наши возможности, даёт нам новый инструмент, владение которым помогает расширять круг задач, которые можно решить быстро и красиво.
  
  

• 4 слайд

  Задачи, решенные графическим способом
  
  
  Задача №1
  БИБЛИОТЕКИ:
  В одной библиотеке было книг в три раза больше, чем в другой. Из первой библиотеки передали 420 книг в сельскую библиотеку. А во вторую библиотеку привезли в дар 180 книг. После этого книг в библиотеках стало поровну.
  Сколько было первоначально книг в каждой библиотеке?
  
  Решим данную задачу с помощью линейной диаграммы.
  АВ = 3 CD – первоначальное распределение книг между двумя библиотеками: ВК = 420, DF = 180, AK = CF – конечное распределение книг между библиотеками.
  MВ = 2 3 АВ = 180+420 = 600;
  AM = CD = 1 3 AB.
  AB = 600 : 2 3 = 900, тогда АМ = 1 3 * 900 = 300.
  Ответ: 900 книг; 300 книг.
  
  

• 5 слайд

  
  Задача №2
  Для съемок исторического фильма нужно пошить 210 костюмов. Три швейных мастерских брались каждая самостоятельно выполнить заказ: первая в 10 дней, вторая за 6 дней и третья в 15 дней.
  Чтобы закончить работу как можно скорее, решили передать заказ сразу всем трем мастерским. Во сколько дней закончат работу мастерские, работая одновременно?
  
  
  Приготовим две оси абсцисс: ОХ и О’X’на произвольном расстоянии ОО’ друг от друга. Масштаб: 5 мм-1 день. В соответствии с условием задачи, отрезок ОА(зеленым цветом) – график работы первой мастерской (отдельно), а отрезок О’В (красным цветом)- график работы второй мастерской. Эти графики пересекаются в точке С, и проекция С0 этой точки на ось времени указывает, во сколько дней была бы выполнена вся работа, изображаемая отрезком ОО’, если бы она выполнялась только первой и второй мастерскими. Отрезок О’С0 (синим цветом) можно считать графиком совместно работы первой и второй мастерских при условии, что третья мастерская не участвует в этой работе. Включим теперь в работу третью мастерскую. Отрезок ОD (серым цветом) – график ее деятельности (отдельно). Этот график пересекается с отрезком О’С0 в точке Е, и проекция Е0 этой точки на ось времени указывает искомый ответ: 3 дня.
  Ответ: работая совместно три мастерские выполнят всю работу в 3 дня.
  
  

• 6 слайд

  
  Задача №3
  
  
  Построим систему координат ХОУ и из начала О проведем луч ОL под произвольным углом к оси ОХ. Не заботясь об установлении конкретных масштабов для координатных осей, примем этот луч ОL в качестве графика рассматриваемой зависимости для того случая, когда каждый взнос составлял 50 рублей. В том случае, когда взнос был увеличен на 10 рублей, график должен расположиться выше луча ОL. Пусть это будет луч ОN.
  Если числу всех учащихся, сделавших взносы, соответствует отрезок ОК, то сумма, собранная в первом случае, изобразится отрезком КL, а во втором – отрезком КN. Действительную сумму цветов можно изобразить ординатой КМ, которая на отрезок LM(=150 руб.) больше ординаты КL и на отрезок МN (=70 руб.) меньше ординаты КN.
  Значит, отрезок LN изображает 220 руб.
  Пересечем оба графика произвольной прямой QP || KN и положим, что ординаты QR u QS изображают соответственно 50 и 60 руб. Известно, что если две параллельные прямые пересечены лучами, выходящими из одной точки, то прямые рассекаются на пропорциональные отрезки. В данном случае KL : LN = QR : RS uлu KL : 220 = 50 : 10. Отсюда КL = 5 * 220 = 1100 (руб.)
  Стоимость цветов ( KM = KL + LM) 1100 руб. + 150 руб. = 1250 руб.
  Учащихся было:
  1100 руб. : 50 руб. = 22 (человека)
  Ответ: 1250 рублей; 22 человека.
  
  Если несколько человек внесут по 50 рублей на покупку цветов для именинника, то собранная сумма на 150 рублей будет меньше стоимости цветов.
  Если каждый добавит еще по 10 рублей, то вся собранная сумма будет больше стоимости цветов на 70 рублей.
  Сколько было учащихся, и сколько стоят цветы?
  
  

• 7 слайд

  Задача №4
  Имеются два раствора йода и спирта. В одном растворе количество этих элементов находится в отношении 1:2, в другом-в отношении 2:3. Сколько нужно взять каждого элемента, чтобы получит 44 миллилитра нового раствора, в котором йод и спирт были бы в отношении 17:27?
  
  
  Состав спирта в I растворе: 2:3
  Состав спирта во II растворе: 3:5
  Состав спирта в III (новом) растворе: 27:44
  Приведем все дроби к общему знаменателю: 440 660 ; 396 660 ; 405 660 .
  Построим диаграмму задачи. В горизонтальном направлении будем откладывать вес раствора (в мл), а в вертикальном-число долей спирта в растворе.
  Проведем горизонтальный отрезок АВ, изображающий 44 мл (вес искомого раствора) в масштабе 4 мл = 1 клетка (5мм). Для вертикального луча АС принимаем масштаб: 4 доли спирта = 1 клетка (5мм). Соединяем прямолинейным отрезком точки В (44 мл) и С (440 долей спирта) и проводим через точку с отметкой 405 прямую до пересечения с BС в точке D, а через D – вертикальную прямую до пересечения с АВ в точке Е.
  Отрезки АЕ и ЕВ указывает ответ:
  надо взять 7 мл первого раствора (отрезок ЕВ) и 35 мл второго раствора (отрезок АЕ).
  Ответ: 35 мл и 7 мл.
  

• 8 слайд

  Задача №5
  КОНКУРС:
  На творческом конкурсе было предложено 10 заданий. За каждое правильно выполненное задание участнику засчитывалось по 5 очков, а за каждое невыполненное или неправильно выполненное задание списывалось по 3 очка.
  Сколько заданий было правильно выполнено учащимся, который получил при окончательном подсчете 18 очков? 34 очка?
  
  Применим за аргумент число заданий: функцией будет соответствующее число полученных очков.
  Тот, кто правильно выполнит все 10 заданий получит 5*10=50 очков; отмечаем точку А с координатой (10;50).
  Тот, кто не сделает ни одного задания получит (-3)*10=-30 очков; отмечаем точку В с координатой (0;-30) .
  Проведем через точки А и В прямую линию и отметим на ней точки, соответствующие всем промежуточным случаям.
  Ответ на оба вопроса задачи легко прочесть на графике.
  
  По графику видно, что количество правильно выполненных заданий у учащегося, который набрал 18 очков равно 6; у учащегося, который набрал 34 очка равно 8.
  Теперь, мы можем легко это проверить:
  6*5-4*3=18;
  8*5-2*3=34.
  Ответ: 6; 8.
  

• 9 слайд

  Задача №6
  Два велосипедиста выезжают навстречу друг другу одновременно, находясь на расстоянии 60 км друг от друга. Первый велосипедист может проехать весь за 5 часов, а второй велосипедист вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?
  
  Проведем 2 луча. Луч I отображает движение первого велосипедиста (за 5 часов велосипедист проехал 60 км), луч II – движение второго велосипедиста (за 2,5 часа-60км).
  Точка пересечения лучей – есть встреча велосипедистов. Значение аргумента полученной точки пересечения графиков движения велосипедистов - и есть время встречи.
  
  Ответ: 1 2 3 = 1 час 40 минут.
  
  

• 10 слайд

  Выводы:
   Изучая данную тему, мы научились самостоятельно решать алгебраические задачи легким, неординарным геометрическим способом.
  
  Анализируя решенные задачи, мы делаем вывод, что целесообразно применять данный метод для задач на прямолинейное движение, на совместную работу, на задачи со сплавами или смесями, растворами. В дальнейшем мы рассмотрим другие типы задач, для которых применим данный метод.
  
  Мы убедились, что графический метод очень упрощает решение алгебраических задач.
  
  

• 11 слайд

  Домашнее задание
  Придумать свои задачи или подобрать в текстах экзаменационных работ задачи, которые можно решить графическим способом:
  На совместную работу;
  На прямолинейное движение;
  Задачу, решаемую с помощью линейной диаграммы.