Презентация к исследовательскому проекту по математике "Логарифмы вокруг нас"

• 1 слайд

  Логарифмы
  вокруг нас
  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ
  МБОУ Жирновская СОШ
  2015 год
  Авторы проекта учащиеся 11 класса:
  Перегудова Мария, Курдубина Алина.
  Руководитель:
  учитель математики Волкова Татьяна Валентиновна.
  

• 2 слайд

  Испокон веков люди пытались упростить вычисления: составляли таблицы, вводили приближенные формулы, облегчающие расчеты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием. Гениальное изобретение логарифмов, упрощая арифметические операции, облегчает все применения вычисления к реальным предметам и, таким образом, расширяет сферу всех наук позволяют дойти до открытия законов природы. В этом году нам предстоит сдавать экзамен по математике в форме ЕГЭ. В задании 17 нужно решить неравенство или систему неравенств, как правило, связанное с логарифмами.
  Также нас заинтересовал вопрос: а можно ли встретить логарифмы в нашей жизни?
  С учетом этого и была выбрана тема исследовательского проекта: «Логарифмы вокруг нас». Этот проект позволит нам по-новому взглянуть на окружающий нас мир, увидеть логарифмы в событиях, которые происходят на протяжении всей жизни и всей человеческой истории. Ведь логарифмы мы считаем можно встретить не только в математике, но и
  в окружающем нас мире.
  
  Актуальность темы
  
  
  

• 3 слайд

  ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРОЕКТА:
  Цель проекта:
  Создание целостного представления о логарифмах и расширение спектра задач, совершенствования навыков применения полученных знаний на практике, получение дополнительных знаний по логарифмах.
  
  Задачи проекта:
  Проект предполагает сбор и анализ данных, их представление в четком визуальном виде. Он направлен на формирование понимания содержательного смысла термина «логарифм».
  1. Установить картину возникновения понятия «логарифм» и выявить примеры их применения.
  2. Сформировать умения производить вычисления, необходимые для применения в практической деятельности и ЕГЭ;
  3. Выявить и изучить области, в которых применяются логарифмы.
  

• 4 слайд

  Основополагающий вопрос:
  Возможна ли жизнь без логарифмов?
  

• 5 слайд

  1. Как давно люди знают о логарифмах?
  
  2. Как логарифмы используют в различных областях человеческой деятельности?
  
  3. Как часто люди в жизни сталкиваются с логарифмами?
  
  4. Применение логарифмов на ЕГЭ по математике?
  
  Проблемные вопросы:
  

• 6 слайд

  Этапы работы над проектом
  1 этап.
  Подготовительный или погружение в тему.
  Формулирование темы, основополагающего и проблемных
  вопросов.
  Определение темы проекта, выдвижение гипотез.
  2 этап
  Реализация проекта.
  Сбор и обработка информации. Создание презентаций.
  3 этап
  Защита проекта.
  Представление презентаций, выступление на конференции.
  
  

• 7 слайд

  повышенным интересом к математике;
  знаниями широты применения логарифмов в жизни;
  умением производить вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;
  умением использовать приемы, рационализирующие вычисления;
  умением находить и работать с дополнительной информацией.
  необходимыми знаниями для ЕГЭ.
  
  В результате работы над проектом обучающиеся овладеют:
  

• 8 слайд

  ИСТОРИЯ
  ЛОГАРИФМОВ
  

• 9 слайд

  Изобретение логарифмов
  Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики . Логарифмы были изобретены в XVI веке независимо друг от друга шотландским бароном Непером.
  
  

• 10 слайд

  и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632).
  

• 11 слайд

  Термин
  Термин "логарифм" (logarithmus) принадлежит Неперу.
  Он возник из сочетания греческих слов: logos - "отношение" и ariqmo - "число",
  которое означало "число отношений".
  log
  

• 12 слайд

  Десятичные логарифмы
  В 1615 году в беседе с профессором математики Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100
  Так появились десятичные логарифмы и были
  напечатаны первые логарифмические таблицы.
  lg
  

• 13 слайд

  Натуральный логарифм
  Термин "натуральный логарифм" ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г.
  ln
  

• 14 слайд

  Таблицы логарифмов
  Джон Непер в 1590-х годах пришел к идее логарифмических вычислений
  и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый
  “Описание удивительных таблиц логарифмов” опубликовал лишь в 1614 году.
  

• 15 слайд

  таблицы логарифмов
  
  На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году.
  Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера
  

• 16 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  В 1623 г. английский математик Д. Гунтер изобрёл первую логарифмическую линейку, ставшую рабочим инструментом для многих поколений пока на её место не пришла электронная вычислительная техника. Принцип действия логарифмической линейки основан на том, что умножение и деление чисел заменяется соответственно сложением и вычитанием их логарифмов.
  
  Логарифмическая линейка
  

• 17 слайд

  Логарифмические линейки были двух видов. Первые выглядели такими, как и представленная на снимке. Они отличались длиной (от 15 до 50-75 см.), от нее зависела точность вычислений. Вторые напоминали часы: несколько шкал по окружности подвижного циферблата, стрелочки, неподвижная метка. Однако принцип в них был заложен одинаковый.
  

• 18 слайд

  Для своего времени логарифмическая линейка была очень нужным инструментом. Она позволяла выполнять сложение, вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, вычисление логарифмов и работать с тригонометрическими функциями. Точность выполнения операций могла достигать 4-5 знаков после запятой! Простые счеты с косточками, которые были основным инструментом продавцов в обычных магазинах, для этого уже не годились.
  При помощи таких логарифмических линеек советские инженеры выполняли расчеты при проектировании зданий, сооружений, крупных промышленных объектов, возводимых в СССР, новых самолетов, машин, кораблей. Ее использовали бухгалтеры и специалисты, которых сейчас назвали бы менеджерами. Когда-то логарифмические линейки значительно облегчали жизнь и студентам.
  Ныне неумолимый прогресс предал логарифмические линейки забвению и оставил им место только на музейной полке.
  

• 19 слайд

  Знаете ли вы, что такое логарифм?
  Опрос родителей
  

• 20 слайд

  Опрос родителей
  Встречаетесь ли вы в жизни с логарифмами?
  28
  

• 21 слайд

  Знают ли они, что такое логарифмическая линейка?
  Опрос родителей
  

• 22 слайд

  Опрос родителей
  Умеют пользоваться логарифмической линейкой?
  

• 23 слайд

  Опрос родителей
  Необходимо ли изучать логарифмы в школе?
  

• 24 слайд

  Ода экспоненте
  Две шкалы Гунтера –
  Вот чудо изобретательности.
  Экспонентой порождена
  Логарифмическая линейка:
  У инженера и астронома не было
  Инструмента полезнее, чем она.
  Даже изящные искусства питаются ею.
  Разве музыкальная гамма не есть
  Набор передовых логарифмов?
  Английский поэт Э.Брилл
  

• 25 слайд

  Применение логарифмов
  

• 26 слайд

  
  Для чего же нужны логарифмы в химии и как они применяются?
  Думаю, все из нас неоднократно встречались с пометкой pH на моющих средствах.
  В химии эту пометку принято называть водородным показателем. 
  За что же он отвечает? 
  
  
  Водородным показателем pH называется отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода.
  Переводя на доступный язык, можно сказать, что с помощью водородного показателя определяется уровень кислотности среды.
  С помощью логарифмов ученые научились определять точный возраст ископаемых пород и животных. Наиболее распространен Радиоуглеродный анализ. 
  Логарифмы в химии и биофизике
  

• 27 слайд

  По логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины; Звезды первой величины, второй и третьей и т.п. Последовательность видимых звездных величин, которые воспринимались глазом, представляет собой арифметическую прогрессию.
  Астрономия
  

• 28 слайд

  Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда.
  
  Промышленность
  

• 29 слайд

  Логарифмы в физике
  Логарифмы применяются для измерения энергетических (мощность, энергия) или силовых (напряжение, сила тока) величин. Эти величины встречаются практически во всех разделах физики.
  ДЕЦИБЕЛ - десятая часть бела, безразмерной единицы для измерения отношения некоторых величин (например, энергетических — мощности и энергии или силовых — напряжения и силы тока) по логарифмической шкале.
  Шкала звуковой мощности
  Исходя из полученных значений, Белл определил шкалу звуковой мощности от 0 до 13. Ощущение громкости базируется на логарифмической шкале уровня мощности, Преобразование между мощностью и громкостью по шкале Белла выглядит следующим образом: громкость (в белах) = lg(P1/P0), где P0 - порог слышимости звука.
  Уровень звукового давления
  (англ. SPL, Sound Pressure Level) — измеренное по относительной шкале значение звукового давления, отнесённое к опорному давлению = 20 мкПа, соответствующему порогу слышимости синусоидальной звуковой волны частотой 1 кГц: дБ.
  
  

• 30 слайд

  Единица громкости
  Единицей громкости служит «бел», практически - его 10 доля, «децибел». Последовательные степени громкости – 1 бел, 2 бела и т.д. (практически – 10 децибел, 20 децибел и т.д.) – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию.
  Физическая же сила этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.
  
  

• 31 слайд

  
  Частоту любого звука можно выразить формулой.
  N mn=n*2( 12v2)p
  Логарифмируя эту формулу. Получаем
  lg Nmp= lg n + m lg2 + p(lg2)/12,
  lg Nmp = lg n +(m+p/12)lg2
  Принимая частоту самого низкого «до» за единицу (n=1) и приводя все логарифмы к основанию 2.имеем log2N=m+p/12
  

• 32 слайд

  
  Эта формула, связывающая скорость ракеты с ее массой m:
  
  
  
  где Vr – скорость вылетающих газов, m0 – стартовая масса ракеты.
  Скорость истечения газа при сгорании топлива Vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости,
  необходимо сделать большим отношение ,
  
  т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.
  
  Формула Циолковского.
  

• 33 слайд

  Радиоактивный распад
  
  Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле
  
  ,
  T - период полураспада.
  
  Это означает, что через время Т после начального момента времени, масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое.
  
  
  
  

• 34 слайд

  
  
  Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле
  
  
  где p0 – давление звука до поглощения, p – давление звука, прошедшего через стену, А – некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 децибелам.
  
  
  
  
  
  
  Звукоизоляция стен.
  

• 35 слайд

  Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой
  
  
  где N0 – число людей при t=0, N – число людей в момент t, λ – некоторая константа.
  
  Народонаселение.
  

• 36 слайд

  Логарифмическая спираль
  Логарифмическую спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Если выражаться точнее, то в логарифмической спирали углу поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой, а логарифм этого расстояния. Эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс, под одним и тем же углом.
  Первым учёным, открывшим эту удивительную кривую, был Р. Декарт
  

• 37 слайд

  Раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога горных козлов закручены по логарифмической спирали. Семечки в подсолнухе расположены по дугам, так же близким к логарифмической спирали
  

• 38 слайд

  Один из наиболее распространенных пауков ЭПЕЙРА, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.
  По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, галактика которой принадлежит Солнечная Система.
  
  

• 39 слайд

  В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резанья, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.
  В технике
  

• 40 слайд

  Логарифмы в живописи
  Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники. Например этот вопрос волновал Сальвадора Дали.
  “…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Я. Вермера “Кружевница”, репродукция которой висела в отцовском кабинете”
  Сальвадор Дали
  
  «Кружевница», Ян Вермер
  

• 41 слайд

  По аналогии со спиралевидной закрученной раковине улитки у женщин существует прическа «улитка» из длинных волос.
  
  

• 42 слайд

  Музыка.
  Теперь рассмотрим еще один интереснейший пример о связи логарифмов и музыки. Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах. Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков; номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве мантиссу этого логарифма. И основание этих логарифмов равно 2.
  
  
  

• 43 слайд

  Банковские расчеты
  
  
  
  
  В наше время нельзя представить экономику банковского дела без расчетов с логарифмами, примером этому следуют представленная нами задача:
  
  Пусть вкладчик положил в банк 10 000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится?
  Решение
  Сначала давайте поймем, как будут накапливаться деньги. Через год на счету вкладчика будет сумма: 10 000 + 10 000 (руб.), т.е. исходная сумма плюс проценты. Еще через год эта сумма составит 
  Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле 
  Нам необходимо решить уравнение 
  Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к основанию 10, пользуясь калькулятором.
  
  
  Таким образом, удвоение вклада произойдет через 6 лет (с небольшим).
  
  

• 44 слайд

  
  
  Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря.
  
  Высота над уровнем моря вычисляется по формуле h=(8000/0,4343)lg(p0 /p), где p0 =760 мм рт.ст., р - давление на высоте h м.
  
  Давление в п. Жирнов на 25 марта 2015 года равно 738 мм рт. ст. Вычислим, на какой высоте находится наш поселок.
  
  Решение. Найдем высоту, на которой находится наш поселок:
  h=(8000/0,4343)lg(760/738) ≈235 м 
  Ответ: 235м.
  
  ГЕОГРАФИЯ
  

• 45 слайд

  Психология
  При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения. Оказывается, что оба эти явления – следствия общего психофизического закона Вебера-Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения. Как видно, логарифмы вторгаются и в область психологии.
  

• 46 слайд

  Логарифмические
  диковинки
  

• 47 слайд

  Логарифмические диковинки
  Любое число – тремя двойками
  Любое целое положительное число изобразить с помощью трех двоек и математических символов.
  

• 48 слайд

  
  
  Логарифмическая «комедия 2>3»
  

• 49 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  Логарифмические линейки широко использовались для выполнения инженерных расчётов примерно до начала 1980 годов, когда они были вытеснены калькуляторами.
  Однако в начале 21 века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах: следуя моде, производители некоторых марок (среди которых Breitling, Citizen, Orient) выпустили модели со встроенной логарифмической линейкой, выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата. Производители обычно называют такие устройства «навигационная линейка». Их достоинство — можно сразу, в отличие от микрокалькулятора, получить информацию, соответствующую табличной форме представления (например, таблицу расхода топлива на пройденное расстояние, перевода миль в километры и тому подобное). Однако, в большинстве случаев логарифмические линейки, встроенные в часы, не оснащены шкалами для вычисления значений тригонометрических функций.
  

• 50 слайд

  ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА БАЙГРЕВА
   
  прибор, специально предназначенный для определения высоты и азимута светила по счислимой широте, известному склонению и часовому углу.
  

• 51 слайд

  Логарифмическая Линейка (созвездие) — Лаг (Лот) (лат. Lochium Funis) отменённое созвездие южного полушария неба. Предложено в «Уранографии» Боде в 1801 году. Созвездие изображало корабельный лаг, располагалось в районе Корабля Арго, обрамляя созвездие Компас. Лаг (Лот) (лат. Lochium Funis) —На русский язык оба названия переводятся как «Лаг» или «Лот».
  Созвездие не пользовалось популярностью среди астрономов. Ныне созвездие не занесено Международным астрономическим союзом в официальныйсписок созвездий.
  
  Логарифмическая Линейка (созвездие)
  

• 52 слайд

  ПОДГОТОВКА
  К
  ЕГЭ
  

• 53 слайд

  Задание 17 № 507646. Решите неравенство 
        
   
  Решение.
  Левая часть неравенства имеет смысл при 
   и
   то есть при 
  и
  При этих условиях получаем:
  Сделаем замену 
  тогда
  Из полученного набора нужно ещё исключить точку 2.
  Ответ: 
  

• 54 слайд

  
  
  
  
  Решите неравенство: log2x(2x2-4x+6) ≤ log2x(x2+x).
  Решение.
  
  Ответ. (0; 0,5)U[2; 3].
  

• 55 слайд

• 56 слайд

• 57 слайд

  Вывод:
  Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;
  Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами.
  Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках
  Изобретение логарифмов можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.
  Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку.
  Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе
  Знания о логарифмах необходимы и на ЕГЭ по математике.
  
  
  
  .
  

• 58 слайд

  Логарифмы — это все! Музыка и звуки!
  И без них никак нельзя обойтись науке!
  Вот вы когда-нибудь слыхали
  О логарифмической спирали?
  Закручены по ней рога козлов.
  И не найдете вы на них нигде узлов.
  Моллюсков многих и улиток
  Ракушки тоже все завиты.
  И как сказал поэт великий Гете:
  «Вы совершеннее строенья не найдете!»
  В подсолнухе семечки тоже закручены,
  И паука все плетенья заучены.
  Наверняка, и о том вы не знали,
  Галактики тоже кружат по спирали!
  

• 59 слайд

  ВЫВОД:
  Мы постарались проследить, как в ходе истории возникала необходимость введения и изучения логарифмов, усиливалась их значимость. Показали применение логарифмов в современном мире. Тем самым, нам думается, мы смогли доказать, насколько важно изучать логарифмы для познания окружающего мира.
  
  

• 60 слайд

  С результатами работы мы выступили: перед учениками 10 класса нашей школы;
  Выступили на школьной научно-исследовательской конференции в апреле 2015 года;
  Научились пользоваться логарифмической линейкой.
  Практическая значимость
  

• 61 слайд

  Использованная литература
  1.Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. 11 кл. :Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.- 11-е изд.,стереотип.-М.:Мнемозина, 2004.-288 с.: ил. 
  2.Самсонов П.И. Математика: Полный курс логарифмов. Естественно – научный профиль.-М.:Школьная Пресса, 2005.-208 с. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 32.)
  3.Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. -М. :Школа-Пресс,1998.-160 с.:ил. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 7.)
  4.Математика для школьников, №3,4 2010.
  5. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М.: Просвещение, 1981, - 130с.
  Ресурсы сети интернет:
  1. Сайт Дмитрия Гущина «РЕШУ ЕГЭ»
  2. Сайт http://alexlarin.net/
  3.https://ru.wikipedia.org/wiki/%CB%EE%E3%E0%F0%E8%F4%EC%E8%F7%E5%F1%EA%E0%FF_%EB%E8%ED%E5%E9%EA%E0
  4.http://dic.academic.ru/dic.nsf/sea/4735/
  5.http://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00215376_0.html
  
  
  
  

• 62 слайд

  СПАСИБО
  ЗА
  ВНИМАНИЕ