Презентация к исследовательской работе "Эти удивительные числа"

Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью чисел измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют,  играют, делают умозаключения, выводы.       

       Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 5 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще  совершенные,  дружественные, палиндромы, репьюниты.

Гипотеза:

Если  простые числа – это «кирпичики», из  которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения». 

Объект исследования – натуральные числа.

Предмет исследования – свойства натуральных чисел.

Цель работы: познакомиться с удивительными числами  и установить роль простых чисел в изменении их свойств.

Такие ли они «простые», эти простые числа?

Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.

Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: Например 12=2∙2∙3;  18=2∙3∙3;  140=2∙2∙5∙7  и т. д. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются  теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа. Можно ли  сосчитать  все простые числа? Еще древнегреческий математик Евклид  утверждал, что самого большого простого числа не существует.

Т.к. простые числа играют важную  роль  в изучении  всех  остальных чисел, надо было  составить их список. Конечно, нельзя  было надеяться получить список всех простых чисел, так как наибольшего простого числа нет. Но можно попробовать  составить   список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составить этот список, задумался  живший в III веке до н. э.  александрийский  ученый Эрастосфен. Это был  удивительно  разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло  в науку в связи с придуманным им методом отыскания простых чисел. Итак, первое простое число – 2. Обведем его и вычеркнем все числа, кратные двум. Следующее простое число – 3. Обводим его и вычеркиваем числа, кратные трем и т.д. В результате получаем последовательность простых чисел. Простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах, а мы воспользуемся простыми числами для отыскания удивительных чисел.

Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов, начиная с числа 2.    Получим  одну из моделей «решета»  Эрастосфена  для отсеивания  простых чисел. Все  числа в кружочках – простые. Составные числа  перечёркнуты. Все простые числа от числа 5 и  дальше расположены  только в 2 столбиках:  в 4-м и 6-м. Когда в какой-то строке 4-го и 6-го столбцов оба числа  простые, то это  пара «близнецов»: (5;7), (11;13), (17;19) и т.д.   

2         3         4          5         6         7

8         9         10       11       12       13

14       15       16       17       18       19

20       21       22       23       24       25

26       27       28       29       30       31

32       33       34       35       36       37

38       39       40       41       42       43

44       45       46       47       48       49

50       51       52       53       54       55      

56       57       58       59       60       61

62       63       64       65       66       67

68       69       70       71       72       73

74       75       76       77       78       79

80       81       82       83       84       85

86       87       88       89       90       91

92       93       94       95       96       97

98       99       100     101    102    103

Как известно, делителем натурального числа  называется такое число, на которое  данное число делится без остатка.

Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п.

До сих пор нет ответа на вопросы:

1) Существует ли наибольшее совершенное число?

2) Существует ли нечетное совершенное число?

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

         Число 6  имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 является первым совершенным числом.

            Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Действительно, делителями числа 28 являются числа 1, 2, 4, 7, 14. 1+2+4+7+14=28.  До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128. Почти полторы тысячи лет люди знали только эти четыре совершенных числа. Совершенные числа обладают следующими свойствами:

 - Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

- Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа.   В настоящее время найдено более 30 совершенных чисел.                                                                                          

Дружественными числами называются два натуральных числа, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.

НАПРИМЕР. Найдём делители  чисел 220 и 284.

Делители 220:  1;2;11;10;5;44;22;110;20;55;4.

Делители 284: 1;2;142;71;4.

Вычислим сумму делителей числа 220: 1+2+11+10+5+44+22+110+20+55+4 = 284.

Вычислим сумму делителей числа 284: 1+2+142+71+4 = 220

Вывод: сумма делителей числа220 равна числу284, а сумма делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.

К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел. Из этой коллекции ровно 13 пар размещаются на интервале от 1 до 100000

1 пара	220 и 284	8 пара	17296 и 18416
2 пара	1184 и 1210	9 пара	63020 и 76084
3 пара	2620 и 2924	10 пара	66928 и 66992
4 пара	5020 и 5564	11 пара	67095 и 71145
5 пара	6232 и 6362	12 пара	69615 и 87633
6 пара	10744 и 10856	13 пара	79750 и 88730
7 пара	12285 и 14595

Есть еще очень интересные числа – палиндромы и репьюниты. Палиндромами в математике называются числа, которые одинаково читаются как слева направо, так справа нелево. Репьюниты - натуральные числа, запись которых  состоит только из единиц.

 В результате умножения репьюнитов получается число-палиндром:

11∙11=121;

11∙111=1221;

1111∙11=12221;

111²=12321;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. В результате изучения различных источников мы познакомились с удивительными натуральными числами: совершенными, дружественными, палиндромами и репьюнитами. Все они, кроме палиндромов, обязаны своими свойствами простым числам. 

Предметом исследования стали совершенные и дружественные числа.

При выполнении работы было доказано, что 220 и 284, 1184 и 1210; 2620 и 2924 являются дружественными числами, а числа 6; 28; 496; 8128; 33550336 – совершенными.

При нахождении делителей этих чисел мы раскладывали их на простые множители.

Анализ наших решений показал, что  простые числа – это «кирпичики», из  которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Краткое описание документа:

Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью чисел измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют,  играют, делают умозаключения, выводы. Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 5 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще  совершенные,  дружественные, палиндромы, репьюниты. Если  простые числа – это «кирпичики», из  которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».  Объект исследования – натуральные числа. Предмет исследования – свойства натуральных чисел. Цель работы: познакомиться с удивительными числами  и установить роль простых чисел в изменении их свойств. Архив содержит презентацию и текст выступления.