Презентация к исследовательской работе "Формула Пика"

• 1 слайд

  Формула Пика
  МОУ  «Средняя общеобразовательная школа №7»
  г. Котлас
  Исследовательская работа
  Выполнила: Абрамова Ольга
  Руководитель: Ямчук Наталья Григорьевна,
  учитель математики
  
  

• 2 слайд

  задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально.
  Гипотеза:
  

• 3 слайд

  Цель работы:
  обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.
  

• 4 слайд

  оценка эффективности использования формулы Пика при вычислении площадей многоугольников для значительного сокращения времени, потраченного на выполнение заданий.
  Цель исследования
  

• 5 слайд

  Рассмотреть какие существуют методы вычисления площадей многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге;
  Основные задачи
  Изучить геометрический метод и формулу Пика;
  Провести мастер-класс в 9 и 11 классах по данной теме, проанализировать и сравнить результативность вычислений до и после ознакомления с формулой Пика;
  Составить стендовый доклад «Формула Пика»
  (в помощь ученику).
  

• 6 слайд

  умения и навыки вычисления площадей многоугольников учащихся 9 и 11 классов школы № 7
  
  Объект:
  Предмет:
  формула Пика
  

• 7 слайд

  Георг Алекса́ндр Пик ( 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье.
  Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем.
  Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
  
  Сто лет назад австрийский математик Георг Пик обнаружил замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги.
  S = B + Г/2 – 1.
  

• 8 слайд

  Теорема Пика
  Пусть В − число узлов сетки внутри многоугольника,
  Г − количество узлов на его границе, S − его площадь.
  Тогда справедлива формула Пика:
  S = В + Г/2 – 1
  
  Пример.
  Для многоугольника на рисунке В = 13 (красные точки),
  Г= 6 (синие точки), поэтому
  S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.
  1см
  

• 9 слайд

  Задания открытого банка задач
  25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
  Ответ: 16.
  1см
  4
  4
  4
  4
  Решение: (1 способ)
  Площадь четырехугольника
  (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
  Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2, а синус угла между ними равен 1.
  Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.
  4√2
  4√2
  

• 10 слайд

  Задания открытого банка задач
  25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
  Ответ: 16.
  1см
  Решение: (2 способ)
  В = 15 (красные точки),
  Г = 4 (синие точки), тогда по теореме Пика
  S = В + Г/2 – 1
  S = 15 + 4/2 – 1 = 16
  

• 11 слайд

  Задания открытого банка задач
  26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
  Ответ: 19,5.
  1см
  Решение: (1 способ)
  9
  9
  5
  4
  5
  3
  5
  4
  6
  

• 12 слайд

  Задания открытого банка задач
  26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
  Ответ: 19,5.
  1см
  Решение: (2 способ)
  В = 16 (красные точки),
  Г = 9 (синие точки), тогда по теореме Пика
  S = В + Г/2 – 1
  S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5
  

• 13 слайд

  Мастер – классы
  1 этап – решение предложенного набора задач
  2 этап – объяснение способов решений
  3 этап – решение нового набора задач
  

• 14 слайд

  9 класс
  

• 15 слайд

  11 класс
  

• 16 слайд

  Среднее время
  

• 17 слайд

  Результаты опроса:
  

• 18 слайд

  Основной вывод:
  Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:
  1.Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: : S = В + Г/2 - 1 .
  2.Формула Пика очень проста для запоминания.
  3.Формула Пика очень удобна и проста в применении.
  4.Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.
  
  

• 19 слайд

  По формуле Пика S =В +½Г-1
  В=4,Г=14, S=4+½·14-1=10
  
  

• 20 слайд

  По формуле Пика S =В +½Г-1
  В=36, Г=21
  S = 36 + ½·21 -1=36+10,5-1=45,5
  

• 21 слайд

  По формуле Пика S =В +½Г-1
  В=6,Г=18, S=6+½·18-1=14
  
  

• 22 слайд

  Литература
  
  
  1.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
  2. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2013 – 2015
  3. В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.
  4. Математические этюды. etudes.ru
  5. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010
  

• 23 слайд

  Спасибо за внимание!