Презентация к исследовательской работе "Графики в полярных координатах"

• 1 слайд

  Построение графиков функций с помощью
  Microsoft Excel
  VIII республиканский конкурс молодых исследователей
  «Ступень в науку»
  
  Направление: математика и информатика
  2010-2011
  Владикавказ
  Выполнила: ученица 11 класса МОУ СОШ №34 Качалкина Яна
  Научный руководитель: учитель математики и информатики Ляликова Н.В.
  

• 2 слайд

  Актуальность работы:
  Большой класс задач в алгебре – это задачи на составление уравнений и систем уравнений, одним из способов решения которых является графический способ.
  В школьном курсе изучаются построение графиков функций по точкам, при помощи преобразований или с использованием начал анализа. Причем построение графика уравнения с двумя неизвестными – процесс весьма трудоемкий и занимающий много времени.
  Гипотеза:
  Должен существовать удобный, наглядный способ построения графиков уравнений второй и более высокой степени. Возможно, что для решения этой проблемы необходимо ввести новые переменные или новую систему координат, или то и другое одновременно.
  

• 3 слайд

  Цели работы:
  изучение принципа построения графиков в полярной системе координат;
  изучение формул перехода от декартовой системы координат к полярной и обратно;
  применение компьютерных программ при построении графиков полярных кривых;
  исследование изменения вида кривых в зависимости от параметров, входящих в уравнение.
  Методы исследования: теоретический и практический.
  
  Практическое применение:
  На основе нашей работы был разработан элективный курс «Графики в полярных координатах» для профильных физико-математических групп к разделу «Построение графиков функций».
  При решении многих задач в алгебре важен не сам процесс построения графиков, а нахождение координат точек их пересечения. С помощью табличного процессора можно за небольшой промежуток времени решить большое количество таких задач.
  Таким образом, наша работа показывает возможности использования ИКТ на уроках математики.
  

• 4 слайд

  Полярные координаты
  
  
  
  
  Рис.1
  O
  M
  r
  
  φ
  r
  Р
  Положение точки М на плоскости определяют расстоянием r = ОМ точки М от полюса О и углом φ между лучом ОМ и полярной осью ОР. Величины r и φ называют полярными координатами точки М.(рис.1)
  Установим связь между полярными (r и φ) и декартовыми (х и у) координатами точки М. Для этого совместим полюс с началом координат, а полярную ось – с осью абсцисс. (рис.2)
  

• 5 слайд

  Алгоритм построения графика функции в табличном процессоре
  Microsoft Office Excel.
  Перевести уравнение из декартовых координат в полярные, используя формулы.
  Составить в Microsoft Office Excel таблицу значений для переменных r; φ; x; y. Пусть угол φ изменяется от 0 до 2π (от 0 радиан до 6,28 радиан) с шагом 0,1 для более точного построения графика.
  После построения таблицы выделить диапазон ячеек со значениями x и y и запустить Мастер диаграмм.
  Выбрать тип диаграммы «Точечная».
  

• 6 слайд

  Рассмотрим в качестве примера построение графика уравнения (х2+у2)3=4а2х2у2.
  

• 7 слайд

  Кривые, заданные параметрическими уравнениями (циклоидальные кривые).
  ЭПИЦИКЛОИДА – кривая, описываемая точкой окружности, которая катится без скольжения по другой окружности извне. Параметрическое уравнение выглядит так:
  ГИПОЦИКЛОИДА – это кривая, описываемая точкой окружности, которая катится без скольжения по другой окружности изнутри нее. Параметрическое уравнение выглядит так:
  

• 8 слайд

  Дельтоида
  Астроида
  Вид кривой зависит от отношения
  При m=1 имеем кардиоиду. При дробном m ветви перекрещиваются. Если m – иррациональное, то число ветвей бесконечно.
  

• 9 слайд

  «Розы» или кривые Гвидо Гранди – семейство кривых, полярное уравнение которых имеет вид
  ,
  где а и k - некоторые положительные числа.
  
  

• 10 слайд

  при k - нечетном «роза» состоит из k лепестков
  при k – четном из 2k лепестков
  

• 11 слайд

  k– иррациональное число
  k– рациональное число
  k=4/5
  k=10/7
  k=6/5
  k=5/7
  k=3/5
  

• 12 слайд

  Кривые Хабенихта
  Очарованный результатами Гранди, немецкий геометр XIX в. Хабенихт также решил заняться математическим «растениеводством». Хабенихт путем многочисленных экспериментов «вырастил» замечательные экспонаты.
  
  

• 13 слайд

  Кривые Хабенихта
  r= (1-sinf) (1-0.9|sin4f|) (0.9-0.05cos200f)
  r=2a(1-cosf)
  r= 3(1+cos2f)+2cos+sin23f-2sin23f*cos4f
  r=1+7cos2f+4*sin22f+3*sin42f
  r=1+cos3f+sin23f
  r= 2(1+cos3f)-4sin2f
  

• 14 слайд

  Об одной замечательной формуле.
  Модифицированная версия уравнения окружности.
  Господин Гилис полагает, что открыл новый способ описания природы.
  Изменение параметра h позволяет варьировать соотношение сторон объекта, переходя от окружности к длинному и вытянутому эллипсу. Параметр k изменяет количество осей симметрии, позволяя получать из круга треугольник, квадрат, пятиугольник и т.д.
  

• 15 слайд

  ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
  Изображение графиков функций на плоскости является необходимым элементом при оценке и анализе многих процессов. Результаты работы позволяют сделать такие выводы: с помощью компьютерных программ графики функциональных зависимостей можно строить с любой заранее заданной точностью и затрачивать на их построение минимум времени. В ряде случаев полярная система координат имеет преимущества перед декартовой: это ее наглядность, возможность представления трансцендентных кривых рациональными уравнениями.
  

• 16 слайд

  m=5; n1=2; n2=n3=13
  
  m=2.5; n1=5; n2=n3=5
  
  m=5; n1=4; n2=n3=4
  
  m=17; n1=5; n2=n3= –1
  
  m=3; n1=4,5; n2=n3=10
  
  m=5; n1=2; n2=n3=7
  
  

• 17 слайд

  m=2,5; n1=5; n2=n3=5
  m=7; n1=25; n2=n3=25
  m=27; n1=25; n2=n3=100
  m=15; n1= –2; n2=n3=2
  m=51; n1= –2,5; n2=0,3; n3=100
  m=17; n1=5; n2=n3= –1
  

• 18 слайд

  Благодарю
  за внимание!!
  

Краткое описание документа:

Большой класс задач в алгебре – это задачи на составление уравнений и систем уравнений, одним из способов решения которых является графический способ.

В школьном курсе изучаются построение графиков функций по точкам, при помощи преобразований или с использованием начал анализа. Причем построение графика уравнения с двумя неизвестными – процесс  весьма трудоемкий и занимающий много времени.

Цель работы:

•         изучение принципа построения графиков в полярной системе координат;

•          изучение формул перехода от декартовой системы координат к полярной и обратно;

•          применение компьютерных программ при построении графиков полярных кривых;

•          исследование изменения вида кривых в зависимости от параметров, входящих в уравнение.