Презентация к исследовательской работе "Палиндромы в математике"

Предпросмотр материала:

Выберите файл для просмотра:

Всего файлов: 2

Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Когда я читала книгу Алексея Константиновича Толстого «Буратино», то обратила свое внимание на такую фразу: А роза упала на лапу Азора. Именно её просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина.

Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Палиндром – одна из древнейших форм литературных экспериментов. Изобретение европейских палиндромов приписывается греческому поэту Сотаду (300 г. до н.э.).

Известен греческий палиндром, вырезанный на купели византийского храма Софии в Константинополе: niyon anomhmata mh monan oyin (омывайте дущу так же как и тело). Здесь уже проявляется заговорный характер палиндрома – записанная по кругу надпись должна служить заклятием от злых сил, не допуская их к святой купели.

Палиндром – свойство фракталов, кристаллов и живой материи. Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.

Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы в математике? И можно ли перенести эту же идею – идею взаимообратного, симметрического прочтения – в математику.

Цель исследования :математическое исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов .

Симметрия (греч.) – соразмерность, одинаковость в расположении частей . Симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Многие объекты живой природы, например, лист, снежинку, бабочку объединяет то, что они симметричны. Если их мысленно сложить вдоль начерченной прямой, то их половинки совпадут. А если поставить зеркальце вдоль прочерченной линии, то отражённая в нём половинка фигуры дополнит её до целой. Поэтому такая симметрия называется зеркальной. Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться.

Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале?

Мы провели опыты с зеркалами.

Если поставить зеркало сбоку от буквы А, то увидим в зеркале туже самую букву. Но если поставить зеркало снизу, отражение уже не похоже на А - это А вверх дном.

А вот если поставить зеркало снизу буквы В, отражение выглядит также. Зато поставив зеркало сбоку от неё , получим В задом наперёд.

Буква А имеет вертикальную симметрию , а буква В – горизонтальную.

Итак, мы выяснили, что зеркальная симметрия меняет местами верх-низ, лево - право.

Оказывается и среди чисел есть палиндромы.

Найти числа – палиндромы в математике не составило труда. Я попыталась составить запись числа для этих чисел – палиндромов.

- в двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.

– в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.

- в четырехзначных числах – палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется.

Например: 22 + 66 = 66 + 22.

В общем виде это можно записать так:

+ = +

Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, например, 42 + 35 = 53 + 24.

Запишем это равенство с помощью букв.

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

(10х₁+ у₁) + (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) + (10у₁ + х₁)

10х₁+ у₁ + 10х₂ + у₂ = 10у₂ + х₂ +10у₁ + х₁. Слагаемые с х перенесем в левую часть равенства, а с у – в правую:

10х₁ - х₁ + 10х₂ - х₂ = 10у₁ - у₁ + 10у₂ - у₂. Применим распределительное свойство:

9 х₁ + 9 х₂ = 9 у₁ + 9 у₂

9(х₁ + х₂) = 9(у₁ + у₂)

х₁ + х₂= у₁ + у₂. То есть для решения нашей задачи Сумма первых цифр должна быть равна сумме их вторых цифр.

Теперь можно составлять такие суммы:

76 + 34 = 43 + 67

25 + 63 = 36 + 52 и т.д.

Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

Представив наши числа в виде суммы разрядных слагаемых и выполнив нужные преобразования, получим, что для решения нашей задачи У таких чисел должны быть равны суммы цифр.

(10х₁+ у₁) – (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) – (10у₁ + х₁)

10х₁+ у₁ – 10х₂ - у₂ = 10у₂ + х₂ – 10у₁ - х₁

10х₁+ х₁ + у₁ + 10у₁ = 10у₂ + у₂ + 10х₂ + х₂

11 х₁ + 11 у₁ = 11х₂ + 11у₂

11(х₁ + у₁) = 11(х₂ + у₂)

х₁ + у₁ = х₂ + у₂

Теперь можно составлять такие разности:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25 и т.д.

В случае умножения имеем: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... — при этом произведение первых цифр у чисел N₁ и N₂ равно произведению их вторых цифр (x₁ ∙ x₂ = y₁ ∙ y₂).

Наконец, для деления получаем такие примеры:

В этом случае произведение первой цифры числа N₁ на вторую цифру числа N₂ равно произведению двух других их цифр, т.е. x₁ ∙ y₂ = x₂ ∙ y₁.

Я попыталась доказать формулу-палиндром для произведения. Вот что у меня получилось.

N₁ = = 10х₁+ у₁ N₃ = = 10у₂ + х₂

N₂ = = 10х₂ + у₂N₄ = = 10у₁ + х₁

N₁ ∙ N₂ = ∙ = (10х₁+ у₁) ∙ (10х₂ + у₂)

N₃∙ N₄ = ∙ = (10у₂ + х₂) ∙ (10у₁ + х₁)

100х₁∙х₂ + 10х₁∙у₂ + 10у₁∙х₂ + у₁∙у₂ = 100у₁∙у₂ + 10х₁∙у₂ + 10у₁∙х₂ + х₁∙х₂

99х₁∙х₂ = 99у₁∙у₂; х₁∙х₂ = у₁∙у₂, что и требовалось доказать.

С помощью понятий числа-палиндром и формулы-палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Вот одна из них:

Задача. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.

Решение. , т.е. данное произведение делится на 9.

Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два - 1991-й и 2002-й.Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий — в 2112-м

В своей работе мы прикоснулись к удивительному математическому явлению - симметрии, в частности к её проявлению - палиндромам

Итак, все вы сегодня убедились в том, что МАТЕМАТИКА важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать. И математический стиль мышления нужен сегодня всем – и языковеду, и биологу, и химику, и физику, и инженеру, и художнику, и поэту, и музыканту.

В своей работе я рассмотрела числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы и разности, произведения и частного двузначных чисел и смогла их доказать. Путь познания законов гармонии и красоты долог и труден, и мы находимся только в его начале.

1/18

Презентация к исследовательской работе "Палиндромы в математике"

Презентация к исследовательской работе "Палиндромы в математике"

Математика

Другие методич. материалы

RAR

04.01.2015

1064

Математика

Другие методич. материалы

Файл будет скачан в формате:

RAR

Автор материала

Ляликова Наталья Валентиновна

учитель математики и информатики

На сайте: 10 лет и 9 месяцев
Всего просмотров: 39414
Подписчики: 3
Всего материалов: 15

39414
просмотров
15
материалов
3
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Ляликова Наталья Валентиновна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.