Презентация к исследовательской работе "Палиндромы в математике"

Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Когда я читала книгу Алексея Константиновича Толстого «Буратино», то обратила свое внимание на такую фразу: А роза упала на лапу Азора. Именно её просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина.

Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Палиндром – одна из древнейших форм литературных экспериментов. Изобретение европейских палиндромов приписывается греческому поэту Сотаду (300 г. до н.э.).

Известен греческий палиндром, вырезанный на купели византийского храма Софии в Константинополе: niyon anomhmata mh monan oyin (омывайте дущу так же как и тело). Здесь уже проявляется заговорный характер палиндрома – записанная по кругу надпись должна служить заклятием от злых сил, не допуская их к святой купели.

Палиндром – свойство фракталов, кристаллов и живой материи. Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.

Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы  в математике? И можно ли перенести эту же идею – идею взаимообратного, симметрического прочтения – в математику.

Цель исследования :математическое исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов .

Симметрия (греч.) – соразмерность, одинаковость в расположении частей . Симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Многие объекты живой природы, например, лист, снежинку, бабочку объединяет то, что они симметричны. Если их мысленно сложить вдоль начерченной прямой, то их половинки совпадут. А если поставить зеркальце вдоль прочерченной линии, то отражённая в нём половинка фигуры дополнит её до целой. Поэтому такая симметрия называется зеркальной. Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться.

Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале?

Мы  провели опыты с зеркалами.

Если поставить зеркало сбоку от буквы А, то увидим в зеркале туже самую букву. Но если поставить зеркало снизу, отражение уже не похоже на А - это А вверх дном.

А вот если поставить зеркало снизу буквы В, отражение выглядит также. Зато поставив зеркало сбоку от неё , получим В задом наперёд.

Буква А имеет вертикальную симметрию , а буква В – горизонтальную.

Итак, мы выяснили, что зеркальная симметрия меняет местами верх-низ, лево - право.

Оказывается и среди чисел есть палиндромы.

Найти числа – палиндромы в математике не составило труда.  Я попыталась составить запись числа  для этих чисел – палиндромов.

 - в двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.

 – в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом  единиц.

 - в четырехзначных числах – палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется.

Например: 22 + 66 = 66 + 22.

В общем виде это можно записать так:

 +  =  +

Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, например, 42 + 35 = 53 + 24.

Запишем это равенство с помощью букв.             

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

 (10х₁ + у₁) + (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) + (10у₁ + х₁)

10х₁ + у₁ + 10х₂ + у₂ = 10у₂ + х₂ +10у₁ + х₁. Слагаемые с х перенесем в левую часть равенства, а с у – в правую:

10х₁ - х₁ + 10х₂ - х₂ = 10у₁ - у₁ + 10у₂ - у₂. Применим распределительное свойство:

9 х₁ + 9 х₂ = 9 у₁ + 9 у₂

9(х₁ + х₂) = 9(у₁ + у₂)

х₁ + х₂ = у₁ + у₂. То есть для решения нашей задачи Сумма первых цифр должна быть равна  сумме их вторых цифр.

Теперь можно составлять такие суммы:

76 + 34 = 43 + 67

25 + 63 = 36 + 52 и т.д.

Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

Представив наши числа в виде суммы разрядных слагаемых и выполнив нужные преобразования, получим, что для решения нашей задачи У таких чисел должны быть равны суммы цифр.

 (10х₁ + у₁) – (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) – (10у₁ + х₁)

10х₁ + у₁ – 10х₂ -  у₂ = 10у₂ + х₂ – 10у₁ -  х₁

10х₁ + х₁ +  у₁ + 10у₁ = 10у₂ + у₂ + 10х₂  + х₂

11 х₁ + 11 у₁ = 11х₂ + 11у₂

11(х₁ + у₁) = 11(х₂ + у₂)

х₁ + у₁ = х₂ + у₂

Теперь можно составлять такие разности:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 =  61 – 25 и т.д.

В случае умножения имеем: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... — при этом произведение первых цифр у чисел N₁ и N₂ равно произведению их вторых цифр (x₁ ∙ x₂ = y₁ ∙ y₂).

Наконец, для деления получаем такие примеры:

В этом случае произведение первой цифры числа N₁ на вторую цифру числа N₂ равно произведению двух других их цифр, т.е. x₁ ∙ y₂ = x₂ ∙ y₁.

Я попыталась доказать формулу-палиндром для произведения. Вот что у меня получилось.

N₁ =  = 10х₁ + у₁                         N₃ = = 10у₂ + х₂

N₂ =  = 10х₂ + у₂                                  N₄ = = 10у₁ + х₁

N₁ ∙ N₂ = ∙  = (10х₁ + у₁) ∙ (10х₂ + у₂)

N₃ ∙ N₄ = ∙  = (10у₂ + х₂) ∙ (10у₁ + х₁)

100х₁∙х₂ + 10х₁∙у₂ + 10у₁∙х₂ + у₁∙у₂ = 100у₁∙у₂ + 10х₁∙у₂ + 10у₁∙х₂ + х₁∙х₂

99х₁∙х₂ = 99у₁∙у₂; х₁∙х₂ = у₁∙у₂, что и требовалось доказать.

С помощью понятий числа-палиндром и формулы-палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Вот одна из них:

Задача. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.

Решение. , т.е. данное произведение делится на 9.

Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два - 1991-й и 2002-й.Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий — в 2112-м

В своей работе мы прикоснулись к удивительному математическому явлению - симметрии, в частности к её проявлению - палиндромам

Итак, все вы сегодня убедились в том, что МАТЕМАТИКА важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать. И математический стиль мышления нужен сегодня всем – и языковеду, и биологу, и химику, и физику, и инженеру, и художнику, и поэту, и музыканту.

В своей работе я рассмотрела числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы и разности, произведения и частного двузначных чисел и смогла их доказать. Путь познания законов гармонии и красоты долог и труден, и мы находимся только в его начале.

• 1 слайд

  Палиндромы в математике
  Муниципальный научный форум для обучающихся 4-11-х классов образовательных организаций г. Владикавказа
  «Созвездие интеллектуалов»
  
  Выполнила
  ученица 6 класса
  МБОУ СОШ №34
  Плиева Диана
  Руководитель: учитель математики МБОУ СОШ №34
  Ляликова Н.В.
  
  
  

• 2 слайд

  Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Когда я читала книгу Алексея Константиновича Толстого «Буратино», то обратила свое внимание на такую фразу: А роза упала на лапу Азора. Именно её просила написать в диктанте неуча Буратино капризная Мальвина.
  
  
  

• 3 слайд

  Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся». Палиндром – одна из древнейших форм литературных экспериментов. Изобретение палиндромов приписывается греческому поэту Сотаду (300 г. до н.э.).
  
  

• 4 слайд

  Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.
  

• 5 слайд

  Меня заинтересовал вопрос. Интересно, есть ли палиндромы в математике? И можно ли перенести эту же идею – идею взаимообратного, симметрического прочтения – в математику.
  Цель исследования: математическое исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов .
  
  

• 6 слайд

  Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит своё отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться.
  Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале?
  
  

• 7 слайд

• 8 слайд

  в двузначных числах - палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.
  в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.
  в четырехзначных числах - палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.
  
  

• 9 слайд

  Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.
  Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется.
  Например: 22 + 66 = 66 + 22.
  
  

• 10 слайд

  Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, например, 42 + 35 = 53 + 24
  Запишем это равенство с помощью букв
  Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:
  (10х1 + у1) + (10х2 + у2) = (10у2 + х2) + (10у1 + х1)
  10х1 + у1 + 10х2 + у2 = 10у2 + х2 +10у1 + х1.
  Слагаемые с х перенесем в левую часть равенства,
  а с у – в правую:
  10х1 - х1 + 10х2 - х2 = 10у1 - у1 + 10у2 - у2.
  Применим распределительное свойство:
  9 х1 + 9 х2 = 9 у1 + 9 у2
  9(х1 + х2) = 9(у1 + у2)
  х1 + х2 = у1 + у2.
  

• 11 слайд

  То есть для решения нашей задачи
  Сумма первых цифр
  должна быть равна
  сумме их вторых цифр.
  Теперь можно составлять такие суммы:
  76 + 34 = 43 + 67 , 7+3 = 6+4
  25 + 63 = 36 + 52, 2+6 = 5+3 и т.д.
  

• 12 слайд

  Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел,
  чтобы результат их вычитания не менялся в результате
  прочтения разности справа налево.
  Например, 75 – 39 = 93 – 57
  
  Выполним преобразования, как в предыдущей задаче:
  (10х1 + у1) – (10х2 + у2) = (10у2 + х2) – (10у1 + х1)
  10х1 + у1 – 10х2 - у2 = 10у2 + х2 – 10у1 - х1
  10х1 + х1 + у1 + 10у1 = 10у2 + у2 + 10х2 + х2
  11 х1 + 11 у1 = 11х2 + 11у2
  11(х1 + у1) = 11(х2 + у2)
  х1 + у1 = х2 + у2
  

• 13 слайд

  То есть для решения нашей задачи
  у таких чисел должны быть равны суммы цифр.
  
  Теперь можно составлять такие разности:
  41 – 32 = 23 – 14, 4+1 = 3+2
  46 – 28 = 82 – 64, 4+6 = 2+8
  52 –16 = 61 – 25, 5+2 = 1+6 и т.д.
  
  
  

• 14 слайд

  Формула-палиндром для произведения двузначных чисел
  В случае умножения имеем:
  63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28
  Т.е. произведение первых цифр у чисел N1 и N2 равно произведению их вторых цифр
  x1 ∙ x2 = y1 ∙ y2
  
  

• 15 слайд

  С помощью понятий числа-палиндромы и формулы-палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Вот одна из них:
  Задача. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.
  Решение.
  
  
  
  
  
  т.е. данное произведение делится на 9.
  
  

• 16 слайд

  Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два - 1991-й и 2002-й.Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий — в 2112-м
  
  

• 17 слайд

  В своей работе мы прикоснулись к удивительному
  математическому явлению - симметрии, в частности к её проявлению - палиндромам
  Все вы сегодня убедились в том, что МАТЕМАТИКА
  важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать.
  В своей работе я рассмотрела числа – палиндромы,
  формулы – палиндромы для суммы, разности и произведения двузначных чисел и смогла их доказать.
  Путь познания законов гармонии и красоты
  долог и труден, и мы находимся только
  в его начале.
  

• 18 слайд

  Список литературы.
  
  Толстой А.К. «Буратино». – М.: Вече, 2002.
  http://www.ashtray.ru/main/texts/bonch_course/l4AA.htmТатьяна Бонч-Осмоловская, «Курс лекций по комбинаторной литературе»
  http://www.rbardalzo.narod.ru/kogda_vselen.html «Когда вселенная была палиндромом»
  http://www.chitalnya.ru/print.php?id=798267 Рубрика произведения: Поэзия, Экспериментальная поэзия, © 05.05.2013 Владимир Гончаров
  Т.В. Домбровская. Симметрия и асимметрия в природе, науке и искусстве. Томск.1999. « Пеленг»
  Федин С.Н. Палиндроматика . Математика для школьников. – 2005 № 1.
  http://www.libma.ru/matematika/matematiki_tozhe_shutjat/p7.php#metkadoc17
  
  
  

Краткое описание документа:

Целью исследования является исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов.

Гипотеза: если существуют слова-палиндромы и фразы-палиндромы, то существуют числа-палиндромы, а так же формулы-палиндромы, так как подобно словам, состоящим из букв-знаков, числа состоят из цифр-знаков.

Задачи исследования:

1.     Выяснить, что такое палиндром.

2.     Показать примеры отдельных слов-палиндромов.

3.     Показать фразы-палиндромы.

4.     Рассмотреть числа-палиндромы.

5.     Рассмотреть формулы-палиндромы и доказать некоторые из них.

Палиндром – свойство фракталов, кристаллов и живой материи. Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам человек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии.

Были проведены опыты с зеркалами для выяснения изменений в предмете при его отражении в зеркале.

Рассмотрены числа-палиндромы и доказаны формулы-палиндромы для суммы, разности, произведения и частного двузначных чисел.

Архив содержит презентацию и текст выступления.