Презентация к исследовательской работе по теме "Биссектриса угла треугольника", 9класс

• 1 слайд

  Биссектриса угла треугольника
  Работу выполнил: Александров Артем
  ученик 9 класса А
  МБОУ СОШ №1
  г. Бугульма, РТ
  Руководитель: Чуканова И.И. учитель математики.
  

• 2 слайд

  Цель и задачи исследования:
  
  Изучить доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника.
  Научиться работать с чертежами.
  Решать задачи на применение теоремы.
  Составлять и решать задачи практического содержания
  

• 3 слайд

  Теорема о биссектрисе угла треугольника
  
  Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
  Если BD – биссектриса ∆ ABC.
  То выполняется равенство:
  

• 4 слайд

  2.21.Метод подобия
  

• 5 слайд

  2.22. Метод площадей.
  

• 6 слайд

  2.23. Описанная окружность
  

• 7 слайд

  2.24. По теореме синусов
  

• 8 слайд

  2.25.Векторный метод.
  Для любой точки Д отрезка АC вектор
  
  
  где k = и 1 – k = . Действительно,
  
  
  
  
  
  B нашем случае вектор параллелен вектору
  
  ∙ + ∙ и поэтому = :
  
  тогда = , откуда = .
  
  

• 9 слайд

  2.26. Доказательство с применением осевой симметрии.
  Выполним осевую симметрию S треугольника
  ABC относительно BD, получим
  SBD (A) = A1 , SBD (C) = C1 и SBD (B) = B.
  
  Тогда ∆ CDC1 ∆ ADA1 (по двум углам) и
  
  ∆ СС1B ∆ AA1B (по двум углам).
  
  
  
  AB = A1B (т.к. ∆ ABA1 – равнобедренный).
  
  Тогда и
  
  
  Следовательно,
  
  

• 10 слайд

  2.31. Задача из учебника.
  Медиана и высота делят угол на три равные части. Найдите углы треугольника.
  ∆ ACH=∆ MCH по катету и острому углу.
  Поэтому ∆ ACМ равнобедренный, АН=НМ. Пусть АН = НМ = а, МВ = 2а.
  По свойству биссектрисы СМ ∆ HВС имеем:
  
  , т.е. СВ=2СН ,
  
  СВН=30⁰, ВСН= 60⁰, β=30⁰, С=90⁰
  Ответ: 30⁰, 60⁰, 90⁰.
  

• 11 слайд

  2.32.Олимпиадная задача
  В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N — прямая перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и PC = 4. Найдите длину отрезка BP, если известно, что BC = 6.
  Решение:
  В равнобедренном треугольнике BMN точка O является точкой пересечения высот. Поэтому BP — биссектриса треугольника BMN и треугольника ABC. По теореме о биссектрисе треугольника AB : BC = AP : PC, поэтому
  
  AB =
  По формуле для квадрата биссектрисы треугольника:
  
  
  Следовательно BP = 5.
  Ответ: BP = 5.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 12 слайд

  2.33. Авторская задача.
  Дано:
  ВС=6см, ВК=4см, ВК- биссектриса ∆ АВС.
  КС=3см, R ∆ BKC =1см. S ∆ ABC=60см².
  Найти: АВ
  Решение:
  1. S∆ BKC = => S ∆ BKC =18см².
  
  2. S ∆ АВК = S∆ АВС – S ∆ ВКС => S ∆ АВК = 42см².
  3. Площади треугольников, имеющих равные
  высоты, относятся как основания :
  
  =
  
  4. По теореме о биссектрисе треугольника:
  АК : КС=А В: ВС
  21: 9 = АВ : 4
  Отсюда:АВ=14см.
  Ответ: АВ= 14 см.
  

• 13 слайд

  Заключение
  Подводя итог работе, хотелось бы сказать, что
  биссектриса очень важный элемент в геометрии.
  Она обладает огромным количеством свойств и эти
  свойства помогают при решении различных
  геометрических задач.
  Теорема о биссектрисе угла – одно из основных
  свойств биссектрисы. С помощью неё я смог
  доказывать другие теоремы.
  В этой работе, приведя различные способы эта
  доказательства, я показал насколько универсальна
  теорема.
  Она проста в понимании, но в то же время
  помогает мне при решении очень сложных и
  запутанных задач.
  Изучив эту теорему, я открыл много нового для себя,
  расширил свои знания и думаю, что проложил дорогу
  к дальнейшему изучению геометрии.
  
  

• 14 слайд

  Литература
  
  Приложение к журналу КВАНТ №1/1995.
  Статьи : Л.Н.Смоляков. Еще 13 доказательств теоремы о
  биссектрисе.//Квант, №2,1985.
  С.Р.Сефибеков. Четыре доказательства теоремы о
  биссектрисе.//Квант, № 8, 1983.
  Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И.
  Юдина. Учебник для общеобразовательных учреждений.
  Просвещение, 2003 год.
  И.Ф.Шарыгин . Геометрия 7-9 классы. Москва, Издательский дом
  «Дрофа», 1997.
  Единая коллекция ЦОР.
  Г.К.Пак. «Биссектриса». Серия: Готовимся к математической
  олимпиаде. Владивосток, 2003.