Презентация к проектной работе

• 1 слайд

  1.Красота чисел в математике- фигурные числа
  Выполнил работу Кытманов Иван 8А
  Учитель : Зайцева Светлана Павловна
  

• 2 слайд

  Цель: всестороннее изучение фигурных чисел, исследование группы центрированных шестиугольных чисел: получение первой тысячи значений, выдвижение и проверка гипотез о естественных связях данных чисел с классом простых чисел.
  Актуальность темы заключается в широких возможностях применения фигурных чисел: различные вычисления, сравнения величин, проектирование, компьютерная графика, построение сетей (логистических, сотовых и т.п.), составление различных головоломок. Также данная тема позволяет заглянуть за границы учебного материала по математике и познакомиться с особенной группой чисел, что может повысить интерес учащихся к математике.
  Объектом исследования являются специальные числа натурального ряда.
  
  Для достижения цели в работе решены следующие задачи:
  изучены различные литературные источники по данной теме;
  проведен всесторонний анализ всевозможных фигурных чисел: изучены свойства фигурных чисел, а также формулы, с помощью которых можно составлять различные фигуры;
  установлены связи между числами различного вида;
  показаны области применения фигурных чисел;
  проведен числовой эксперимент по изучению свойств центрированных шестиугольных чисел;
  выдвинуты и исследованы гипотезы о связи центрированных шестиугольных чисел с простыми числами.
  
  Методы решения поставленных задач следующие: Инструменты исследования:
  методы анализа; прикладной пакет MathCad 11.
  методы классификации;
  методы наблюдения;
  метод обобщения;
  методы индукции;
  числовой эксперимент;
  2.Цель исследовательской работы
  

• 3 слайд

  3. Определение и виды фигурных чисел
  Фигурное число – это число, представленное
  точками, которые расположены на одинаковой дистанции друг от друга.
  Если фигура, которую формируют эти точки,
  — пра­вильный многоугольник, то это уже многоу­гольное число.
  
  

• 4 слайд

  
  
  4. Плоские числа
  

• 5 слайд

  
  
  
  
  5.Выражения для вычисления многоугольных чисел
  Общая формула образования многоугольных чисел из­вестна с древности:
  Pr (n) = 1+(1+(r-2))+(1+(r-2))+…+(1+(r-2)(n-1)).
  
  Реккуррентная формула для r -угольного числа:
  
  Pr(n) = Pr(n-1)+(r-2)(n-1)+1,
  
  где
  r - тип числа
  (3 - треуголь­ное, 5 - пятиугольное и т.д.);
  n — натуральное число, чье значение мы
  хотим найти.
  

• 6 слайд

  Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский.
  Ферма, Паскаль, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие.
   
  Диофант Александрийский нашел простую связь
  между треугольными Т и квадратными К числами:
  
  8Т(n)+1=К(2n+1). 8Т+1=К
  
  
    «Золотая» теорема Ферма (1654 г.):
  
  1. Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или
  трёх треугольных чисел (Гаусс,1796);
  
  2. Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов,1772);
  
  3. Всякое натуральное число есть или пятиугольное, или сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел;
  
  4. Всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы не более чем k k-угольных чисел.
  Для проверки утверждений Ферма возьмем число 1000.
  
  1. 1000 - это не треугольное число. Тогда возьмём треугольные числа 990 и 10: 990 + 10=1000.
  2. 1000 – это не квадратное число. Тогда возьмём квадратные числа 900 и 100:900+100=1000.
  3. 1000 – это не пятиугольное число. Тогда возьмём пятиугольные числа 925, 70 и 5: 925+70+5=1000.
  
  
  
  
  
  6. Исследование многоугольных чисел: их свойства и теоремы.
  

• 7 слайд

  Задача: 1+2+3+……+100=?
  
  
  
  Х Z X Z Z Z X Z Z Z
  X X + Z Z = X X + Z Z = X X Z Z
  X X X Z Z Z X X X Z X X X Z
  
  Т3 + Т3 = 3 * (3+1),
  Тn = n * (n+1) /2
  
  18 июля 1796 года: "Эврика! num=Δ+ Δ+ Δ"
  
  7. Карл Фридрих Гаусс
  

• 8 слайд

  
  
  
  
  
   
  
  
  Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:
  1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919.
  
  PN =3N2-3N+ 1
  
  8. Исследование
  «Центрированные шестиугольные числа»
  

• 9 слайд

  Гипотеза 1. Последовательность «сотовых» чисел PN включает в себя все простые числа.
  Гипотеза 2. Последовательность «сотовых» чисел PN состоит только из простых чисел.
  Гипотеза 3. Последовательность «сотовых» чисел PN содержит бесконечное множество простых чисел.
  Проверка гипотез
  Гипотеза 1. Так как в найденной последовательности чисел пропущено простое число 11, то первую гипотезу можно сразу опровергнуть: последовательность «сотовых» чисел PN не включает в себя все простые числа.
  Гипотеза 2. В последовательности пятое «сотовое» число P5=91, оно не является простым, следовательно, гипотеза о том, что, последовательность «сотовых» чисел PN состоит только из простых чисел, оказывается не верной.
  Гипотеза 3. Проверка первой тысячи чисел в исследуемой последовательности на количество простых чисел показала, что 265 их них оказались простыми, а остальные – составными. Следовательно, можно сделать вывод, что гипотезу 3 нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть.
  
  9.Гипотезы о центрированных шестиугольных числах «сотовых»
  

• 10 слайд

  1. Используются для формирования практических навыков по математическому моделированию
  
  
  
  10. Применение фигурных чисел
  

• 11 слайд

  2.Позволяют научиться видеть любое число, которое считалось абстрактным.
  

• 12 слайд

  3. Разработка программ построения объектов компьютерной графики.
  

• 13 слайд

  4. Формулы многоугольных чисел используются в промышленности. Так, треугольные числа можно использовать для подсчета числа труб, уложенных в ярусы
  
  

• 14 слайд

  5. Многоугольные телесные числа используются в различных головоломках. Например, есть задача, когда из одинаковых шаров, скрепленных в группы, необходимо составить четырехгранную пирамиду
  

• 15 слайд

  Фигурные числа по праву считаются наиболее древними числами
  Фигурные числа - это числа, связанные с геометрическими построениями определенного типа
  Из фигурных чисел чаще всего рассматриваются многоугольные  числа, у которых есть определенные свойства и закономерности
  Из чисел одного вида можно получать числа другого вида.
  С помощью них можно выполнять определенные арифметические действия в «уме», становятся понятными фразы «возвести в квадрат, в куб».
  И, наконец, эти числа можно назвать красивыми!
  Выводы:
  В результате работы над данной темой я узнал, что значит фигурные числа, собрал и систематизировал материал. Всесторонне изучил их свойства и заметил некоторые закономерности, показал области применения фигурных чисел. Также с помощью числового эксперимента была исследована группа центрированных шестиугольных чисел: получена первая тысяча значений, выдвинута и проверена гипотеза о естественных связях данных чисел с классом простых чисел.
  
  11.Заключение
  

• 16 слайд

  Литература
  1. Занимательные головоломки.
  2. А.Д. Бендукидзе, Квант, №6, 1974г
  3. Н.Я.Виленкин, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд, В.И.Жохов Математика, учебник 6 класса,  задача  № 249, 255 стр
  4. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. – 5-е изд. – М.: Наука 1986.
   5. Деза Е.И. Специальные числа натурального ряда. М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01750-3.
   6. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных чис­ лах / Пер. с древнегреч. И. Н. Веселовского; ред. и комментарии И. Г. Башмаковой. 2-е изд. М.: Издательство ЛKИ/URSS, 2007.
   7. Огурцов А. РАЙОННАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ – ФЕСТИВАЛЬ ТВОРЧЕСТВА ОБУЧАЮЩИХСЯ «EXCELSIOR» Секция МАТЕМАТИКА Фигурные числа. МОУ « Аликовская СОШ им. И.Я.Яковлева», Аликово-2008.
   8. Наука. Величайшие теории: выпуск 8: Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел./Пер.с исп.-М.:Де Агостини,2015.-168с.
   9. Наука. Величайшие теории: выпуск 18: Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма./Пер.с исп.-М.:Де Агостини,2015.-160с.
  Литература