Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация к проекту "Теорема Вариньона и ее практическое применение"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация к проекту "Теорема Вариньона и ее практическое применение"

библиотека
материалов
ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Выполнила ученица 8А класс МА...
Предмет исследования --- планиметрические задачи ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ – ПАРАЛ...
Цель: изучить теорему Вариньона и научиться на практике применять ее с наимен...
Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположны...
ПЬЕР ВАРИНЬОН (1654-1722) Пьер Вариньон- французский математик, член Парижско...
Теорема Вариньона Четырехугольник, образованный путем последовательного соеди...
Теорема Вариньона Дано:ABCD- выпуклый четырехугольник AK=KB; BL=LC; CM=MD; A...
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ 1. Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отр...
ТЕОРЕМА О БАБОЧКАХ Доказательство. Воспользуемся теоремой о средней линии тре...
Задачи из школьного курса геометрии. Рассмотрим задачи на бимедианы четырехуг...
Конкурсные задачи. Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены...
Разбор задач с использованием теоремы Вариньона и без её использования. Докаж...
«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», –...
Список использованной литературы 1. Вавилов В., Красников П. Бимедианы четыре...
15 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Выполнила ученица 8А класс МА
Описание слайда:

ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Выполнила ученица 8А класс МАОУ СОШ № 36 Кузина Алина Руководитель Емельянова Г.В.

№ слайда 2 Предмет исследования --- планиметрические задачи ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ – ПАРАЛ
Описание слайда:

Предмет исследования --- планиметрические задачи ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ – ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА, БИМЕДИАНЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЁ ПРОБЛЕМЫ – ВЫЯСНИТЬ, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЛИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА ПОЗВОЛЯЕТ РАЦИОНАЛЬНЕЙ ПОЛУЧИТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГИПОТЕЗА ИССЛЕДОВАНИЯ – ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА НАДЕЖНЫЙ ПОМОЩНИК В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

№ слайда 3 Цель: изучить теорему Вариньона и научиться на практике применять ее с наимен
Описание слайда:

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться на практике применять ее с наименьшими временными затратами ЗАДАЧИ: А)Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника , теорему Вариньона и следствия из нее. Б)Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и с помощью теоремы Вариньона. В)Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах.

№ слайда 4 Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположны
Описание слайда:

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон

№ слайда 5 ПЬЕР ВАРИНЬОН (1654-1722) Пьер Вариньон- французский математик, член Парижско
Описание слайда:

ПЬЕР ВАРИНЬОН (1654-1722) Пьер Вариньон- французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики колледжа Мазарини. Ему принадлежит одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника. Вариньон написал учебник по элементарной геометрии, в котором эта теорема впервые появилась.

№ слайда 6 Теорема Вариньона Четырехугольник, образованный путем последовательного соеди
Описание слайда:

Теорема Вариньона Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника Выпуклый четырехугольник Самопересекающийся четырехугольник Вогнутый четырехугольник

№ слайда 7 Теорема Вариньона Дано:ABCD- выпуклый четырехугольник AK=KB; BL=LC; CM=MD; A
Описание слайда:

Теорема Вариньона Дано:ABCD- выпуклый четырехугольник AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND Доказать: 1)KLMN-параллелограмм; 2)SKLMN=SABCD/2 Доказательство 1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL - средняя линия  ABC , то KL ║AC . По тем причинам MN ║AC . → KL ║NM и KL= MN= AC/2 . →  KLMN  - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника ABCD. 2. Средняя линия отсекает от него , S которого в 4 раза < S исходного . Поэтому сама ∑ S 1-ого и 3-го треугольников равна ¼ S всего четырехугольника. То же и относительно ∑ S 2-го и 4-го треугольников. Поэтому S KLMN составляет ½ S ABCD Теорема доказана.

№ слайда 8 СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ 1. Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отр
Описание слайда:

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ 1. Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма). 2. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника. 3. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника. 4. Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.

№ слайда 9 ТЕОРЕМА О БАБОЧКАХ Доказательство. Воспользуемся теоремой о средней линии тре
Описание слайда:

ТЕОРЕМА О БАБОЧКАХ Доказательство. Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем: Формулировка: Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан  LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD  равны.

№ слайда 10 Задачи из школьного курса геометрии. Рассмотрим задачи на бимедианы четырехуг
Описание слайда:

Задачи из школьного курса геометрии. Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии (№567, 568) Задача 1. Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Доказательство. а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба; Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника; Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

№ слайда 11 Конкурсные задачи. Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены
Описание слайда:

Конкурсные задачи. Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток». ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Из следствия следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части. Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике, куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.

№ слайда 12 Разбор задач с использованием теоремы Вариньона и без её использования. Докаж
Описание слайда:

Разбор задач с использованием теоремы Вариньона и без её использования. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот. 1-ый способ 1- AC – диагональ. FM - средняя линия треугольника ABC. NK – средняя линия треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC=AD, AC – общая сторона) => KN=FM. Также KN||FM (AC||FM, AC||KN) => KFMN- параллелограмм. 2- из первого следует, что KN=FM. Аналогично можно доказать, что FK=MN.  3- ABCD – прямоугольник => AC=BD. => KF=FM=MN=NK=> KFMN – ромб.  2-ой способ  А) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (из следствия теоремы Вариньона); Б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (из следствия теоремы Вариньона).

№ слайда 13 «Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», –
Описание слайда:

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер. Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда, чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки. Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами. Теорема Вариньона – красивейшая опорная задача, которая помогает решить, что называется, в один присест, массу планиметрических задач, в том числе повышенной сложности и олимпиадных.

№ слайда 14 Список использованной литературы 1. Вавилов В., Красников П. Бимедианы четыре
Описание слайда:

Список использованной литературы 1. Вавилов В., Красников П. Бимедианы четырехугольника // Математика . 2006 - №22. 2. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – Т.1,2 –М.: Наука, 1995 3. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. - М.:Наука, 1981 4. BestReferat.ru// Бимедианы четырехугольника 5. dic.academic.ru// Что такое теорема о бабочках? 6. infourok.ru> issledovatelskaya… teorema variona // Исследовательская работа «Теорема Вариньона» 7. peoplе.su // Пьер Вариньон биография 8. referat.yabotanik.ru// бимедианы четырехугольника/ реферат по математике. 9. ru.vikipedia/org> Теорема Вариньона (геометрия) 10. treugolniki.ru>teorema-varinjоna// Лекции и примеры решения задач

№ слайда 15
Описание слайда:

Автор
Дата добавления 15.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров323
Номер материала ДБ-033362
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх