Презентация к программе "Динамическая модель образования рулет" к Защите на сессии МАН "Искатель"

• 1 слайд

  Я, Роман Яценко,
  ученик 9 класса Новопокровской ош, Красногвардейского района , представляю свой проект
  « Динамическая модель рулетт»
  

• 2 слайд

  В конкурсе «Шаг в науку» я презентовал свой проект «Велосипедное колесо и циклоида» . Первоначально я предполагал что велосипедное колесо при движении вычерчивает синусоиду .
  

• 3 слайд

  Ночные съемки показали, что эта циклограмма далека от синусоиды и называется циклоидой.
  Дальнейшие мои исследования этой линии привели к выводу своей формулы циклоиды :
  X(t) = R( 𝝅 𝟐 + t – cos t ) ; Y(t) = R(1 + sin t), график которой полностью совпадает с графиком , построенному по классической формуле циклоиды:
  X(t) = R(t – sin t); Y(t) = R(1 – cos t )
  

• 4 слайд

  Но самое главное - я узнал о существовании циклоиды, богатой истории её исследования и влияние на развитие современной математики . Узнал, что кроме циклоиды существует ряд её «сестёр» - эпициклоид , гипоциклоид, трохоид и обнаружил , что в конце XX века свойства этих замечательных линий вновь находят своё применение в жизни человека. Так и возникла у меня идея исследовать свойство этих графиков с помощью своей программы «Динамическая модель рулетт»
  Итак, краткий экскурс в историю исследования и основные открытия математики, на которые подвигла учёных её величество «Циклоида»
  
  

• 5 слайд

  Циклоидой именуют кривую, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.
  Первыми из ученых обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель в труде 1501 года. Но серьезное исследование этой кривой началось только в XVII веке. крупнейшие ученые и Италии, и Франции (Торричелли, Вивиани , Ферма , Декарт , Роберваль ) решали разнообразные задачи о циклоиде, а в 1673 году Гюйгенс констатировал, что «циклоида исследована точнее и основательнее всех других кривых».
  1. Касательная к кривой.
  Первыми касательную к циклоиде, определяемой кинематически ,
  построили Роберваль и ученик Галилея - Торричелли.
  

• 6 слайд

  2. Спутница циклоиды - синусоида, лепестки Роберваля и площадь под циклоидой.
  Роберваль связал с каждой точкой циклоиды М ее проекцию Р на вертикальный диаметр производящего круга и впервые получил синусоиду. Сейчас мы знаем, что точка Р имеет координаты: x = t, y =1 − cos t = 1+ sin ( 𝝅 𝟐 + t ), но современники Роберваля её называли «спутницей циклоиды».
  
  

• 7 слайд

  «Спутница циклоиды» разбивает ее на три части : фигуру под синусоидой и две симметричные фигуры, названные «лепестками Роберваля»
  Площадь под аркой «спутницы циклоиды» (синусоиды) равна 2πr2, значить площадь всей фигуры под аркой циклоиды равна 3πr2.
  Метод, которым Торричелли, и Вивиани при вычислениях площадей, ограниченных кривыми линиями, назывался «способом неделимых». Этот метод явился предвестником возникновения интегрального исчисления.
  Роберваль блестяще доказал, что площадь этих двух лепестков равна площади производящего круга πr2.
  

• 8 слайд

  3. Брахистохрона - кривая спуска кратчайшего времени.
  В 1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска. И доказал, что этой кривой является перевёрнутая циклоида. Кроме того она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды , достигает горизонтали за одно и то же время.
  Этой же задачей занимались: Г. Лейбниц, И. Ньютон, Г. Лопиталь. Методы, развитые этими учеными при решении задачи о брахистохроне, положили начало новому направлению математики - вариационному исчислению.
  

• 9 слайд

  4. Циклоида и изохорный маятник
  Голландский ученый Х. Гюйгенс задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Используя свойство таутохронности циклоиды , он изготовил для маятника специальные щёчки в форме циклоиды и добился, чтобы период колебаний маятника не зависел от амплитуды маятника.
  Опыты Гюйгенса показали, что когда нить маятника целиком наматывается на щеку, то конец его оказывается в вершине циклоиды; значит, длина нити маятника - 4r ,следовательно длина циклоиды - 8r .
  В 1658 году английский архитектор и математик Кристофер Рен, сформулировал и доказал теорему о длине арки циклоиды ; Гюйгенс же, получил очень естественное доказательство этой теоремы.
  

• 10 слайд

  Эпициклоида и гипоциклоида. Вывод формулы.
  Если один круг без скольжения катится извне по другому кругу, то кривая, описываемая произвольной точкой окружности подвижного круга, называется эпициклоидой.
  В случае
  качения изнутри, мы имеем дело с гипоциклоидой.
  К выводу формулы эпициклоиды, я отнёсся очень серьёзно и именно понимание этапов возникновения формулы очень помогло мне в написании программы построения эпициклоиды.
  

• 11 слайд

  Возьмем начало координат в центре О неподвижного круга, а ось x проведем через то положение интересующей нас точки A, в котором она является точкой касания обоих кругов в начальный момент, когда угол поворота равен 0. Когда подвижный круг перейдет в новое положение, указанное на чертеже, точка А подвижного круга перейдет в точку В. Геометрическое место точек В и будет уравнением эпициклоиды.
  Пусть
  Выберем за параметр t = BO1D - угол между радиусом O1В , соединяющим центр O1 с исследуемой точкой В и отрезком ОO1, соединяющим центры окружностей и проходящей через D- точку касания окружностей.
  Имеем  АD =  DВ = R· АOD = mR· BO1D = mRt. и так как t = BO1D
  Отсюда АOD = mt.
  Теперь можно выражать координаты х и у точки В через параметр t .
  х = OW= OK+ KW = OK + EB
  у = BW = EK = O1К - O1E
  

• 12 слайд

  Окончательно получили параметрическое уравнение эпициклоиды
  x = R[(1+m) cos mt – m cos (1+m)t]
  y = R[(1+m) sin mt – m sin (1+m)t].
  

• 13 слайд

  Аналогично рассуждая по гипоциклоиде - фигуре, получаемой при перекатывании окружности внутри неподвижной окружности , можно получить уравнение :
  x = R[m cos (1- m)t +(1-m) cos mt ]
  y = R[m sin (1- m)t - (1- m) sin mt ]
  Легко заметить, что эти уравнения получаются из уравнений эпициклоиды заменой m на –m.
  О Трохоиде, гипотрохоиде и эпитрохоиде
  Рассматривая вопрос практического применения рулетт, я обратил внимание, что на рисунках валов насосов, на сепараторах редукторов проглядывается искажённая эпициклоида или гипоциклоида. Поэтому считаю ещё необходимым рассмотреть вопрос об укороченных и удлинённых рулеттах.
  Трохоиды— плоская трансцендентная кривая, представляет собой траекторию точки, жёстко связанной с окружностью радиуса, катящейся без скольжения по прямой. Описывается эта кривая параметрическим уравнением x = rt − h sin t ; y = r − h cos t.
  где h — расстояние точки от центра окружности, r — радиус окружности;
  

• 14 слайд

  Если h = r трохоида переходит в циклоиду.
  При h> r — удлинённая циклоида.
  При h < r — укороченная циклоида .
  

• 15 слайд

• 16 слайд

  Циклоидное зацепление, практика применения
  Циклоидное зацепление, образуется зубчатыми колёсами, профили зубьев которых очерчены по эпициклоиде и гипоциклоиде. Начальная окружность делит профиль зуба колеса на головку и ножку, причём головка очерчена по эпициклоиде, а ножка — по гипоциклоиде. Геометрическим местом контакта профилей — линией зацепления LPL— являются дуги вспомогательных окружностей, ограниченные окружностями вершин зубьев зубчатых колёс.
  При правильном зацеплении выпуклый эпициклоидный профиль головки зуба одного колеса на линии зацепления контактирует с вогнутым гипоциклоидным профилем ножки зуба другого колеса, в отличие от эвольвентного зацепления, при котором и головка, и ножка выпуклые.
  

• 17 слайд

  Такая особенность циклоидное зацепление создаёт более благоприятное распределение давления в месте контакта зубьев и обеспечивает меньший по сравнению с эвольвентным зацеплением износ .
  Я решил смоделировать циклоидное зацепление, создав мнимую передачу эпициклоида-гипоциклоида, которая
  не может работать в реальности, но демонстрирует процесс скольжения пары -эпициклоида-гипоциклоида.
  Передача с циклоидным зацеплением имеет ряд преимуществ- мягкость хода, более высокое передаточное число , меньшая шумность и нагрев, но кроме трудности изготовления этой передачи технологически, циклоидное зацепление чувствительно к изменению межосевого расстояния O1O2. При его изменении могут вступить в зацепление только эпициклоидные или только гипоциклоидные участки профилей зубьев колёс и все достоинства этой передачи пропадают.
  

• 18 слайд

  Современное развитие интереса к применению циклоидного зацепления.
  Винтовые насосы с циклоидальным зацеплением находят применение в самых разнообразных отраслях промышленности - в системах управления, регулирования и смазки машин в гидравлических прессах, для подачи жидкого топлива, для перекачивания вязких жидкостей . Использовали и циклоидальное зацепление в цевочных зацеплениях, когда зуб шестерни зацеплялся с цилиндрической цевкой.
  Наличие цилиндрической цевки во многом обусловлено технологией изготовления рейки – сваркой. В настоящее время в горной промышленности Донецка используются литые рейки, что позволяет применять и другие формы зуба рейки, в частности – циклоидальное зацепление.
  

• 19 слайд

  В последние годы широкое распространение получают так называемые планетарно-цевочные передачи как альтернативные традиционным зубчатым передачам . Эти передачи с циклоидальным зацеплением обладают при сравнении с зубчатыми передачами уменьшенными объёмами и габаритами, меньшей массой, повышенной несущей способностью и долговечностью вследствие многоконтактности зацепления.
  Идея конструкции этих передач заключается в обкатывании телами качения-роликами специально профилированных эпи и гипоциклоидных поверхностей двух тел. Передачи позволяют получить максимальное передаточное отношение в одной ступени до 500. Коэффициент полезного действия таких редукторов составляет 85-97% и они выдерживают пятикратные перегрузки.
  По информации основного японского производителя-корпорации SUMITOMO-CYCLO применимость таких редукторов достигла 30% в США и 60% в Японии и Южной Корее. Они используются в робототехнике, станкостроении, химическом машиностроении, грузоподъёмных машинах. Важной эксплуатационной характеристикой передачи является пониженный уровень шума и вибраций.
  

• 20 слайд

  Меня вдохновили эти интересные факты истории исследования циклоиды, вдохновили и вести, что гипоциклоида и эпициклоида вновь, после незаслуженного забвения, начинает играть существенную роль в экономии энергетических ресурсов человечества.
  Я решил создать исследовательскую учебную программу , которая расскажет пользователю о свойствах рулетт, поможет построить график рулет. Если пользователь выберет правильные режимы построения, то он увидит и динамическую модель построения выбранной рулетты.
  Эту программу и презентую вам.
  

Краткое описание документа:

Защита данной работы позволила ученику Яценко Роману стать действительным членом МАН "Искатель" Крыма.

Презентация содержит теоретический материал образования циклоид, эпициклоид и всех видов рулет. Может использоваться для кружковой работы по математике или информатике.

Желательно скачать и установить соответствующую программу "DinamicRulet Setup" , которая позволяет наглядно увидеть процесс образования рулет.