Презентация к урокам математики "Магические квадраты" 7-9 классы

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ Учитель: Шурыгина Л.А.

Введение Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты» Бенджамин Франклин. Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики. Цель настоящей работы – знакомство с различными магическими квадратами и изучение областей их применения.

Магические квадраты Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2 на 2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3 на 3 ,так как остальные магические квадраты 3 на 3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.  

Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3 на 3 можно 8 различными способами:   4 9 2 3 5 7 8 1 6

Возможные варианты: 8+4+3 7+6+2 7+5+3 6+5+4 8+5+2 8+6+1 9+4+2 9+5+1

В магическом квадрате 3 на 3 магической постоянной 15 должны быть равны суммы трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3 на 3, уже известно: оно равно 5. 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой–то клетке примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому впишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом, опять – таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3 на 3 доказывает его единственность.

Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6),дерево (3 и 8), металл (4 и 9). С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 305 224 магических квадратов порядка 5. Причем, квадраты 5 на 5 были известны еще в средние века.