Презентация к уроку алгебры и начал анализа по теме "Тригонометрические уравнения и неравенства"

• 1 слайд

  В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
  (Н.Е.Жуковский) 
  
  
  

• 2 слайд

  Решение тригонометрических уравнений и неравенств
  (10 класс)
  учитель МбОУ гимназии №30 города Ставрополя
  ивженко наталья юрьевна
  
  

• 3 слайд

  Проверочная работа.
  Каково будет решение
  уравнения cos x = a при ‌ а ‌ > 1
  Каково будет решение
  уравнения sin x = a при ‌ а ‌ > 1
  2. При каком значении а
  уравнение cos x = a имеет
  решение?
  При каком значении а
  уравнение sin x = a имеет
  решение?
  Какой формулой
  выражается это решение?
  Какой формулой
  выражается это решение?
  4.
  На какой оси откладывается
  значение а при решении
  уравнения cos x = a ?
  4.
  На какой оси откладывается
  значение а при решении
  уравнения sin x = a ?
  

• 4 слайд

  Проверочная работа.
  5. В каком промежутке
  находится arccos a ?
  5. В каком промежутке
  находится arcsin a ?
  В каком промежутке
  находится значение а?
  6. В каком промежутке
  находится значение а?
  Каким будет решение
  уравнения cos x = 1?
  7. Каким будет решение
  уравнения sin x = 1?
  8. Каким будет решение
  уравнения cos x = -1?
  8. Каким будет решение
  уравнения sin x = -1?
  

• 5 слайд

  Проверочная работа.
  9. Каким будет решение
  уравнения cos x = 0?
  9. Каким будет решение
  уравнения sin x = 0?
  Чему равняется
  arccos ( - a)?
  10. Чему равняется
  arcsin ( - a)?
  В каком промежутке
  находится arctg a?
  11. В каком промежутке
  находится arcctg a?
  Какой формулой
  выражается решение
  уравнения tg x = а?
  12. Какой формулой
  выражается решение
  уравнения сtg x = а?
  

• 6 слайд

• 7 слайд

  Методы решения
  тригонометрических уравнений.
  Разложение на множители
  Уравнения сводимые
  к алгебраическим
  Введение новой переменной
  (однородные уравнения)
  Введение вспомогательного
  аргумента.
  Уравнения, решаемые переводом
  суммы в произведение
  

• 8 слайд

  Среди уравнений, данных на слайде, выбрать те, которые решаются
  Заменой переменной;
  Приведением к квадратному;
  Делением на старшую степень синуса или косинуса, т. е. как однородные;
  Понижением степени;
  С помощью формул суммы или разности;
  Методом вспомогательного аргумента.
  

• 9 слайд

  2sin ²x - 5cos²x = 3sinx cosx
  sin²x + cos²( x/ 2) = 3/2.
  sin²x - 2sinx – 3 = 0,
  √2 cosx – sinx = 0,
  sinx + sin3x = sin5x – sinx,
  3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0,
  sin²x - √3/3 sin2x = cos²x,
  cosx- sinx=1
  
  

• 10 слайд

  Приведением к квадратному и заменой переменной решаются уравнения.
  sin²x - 2sinx – 3 = 0
  пусть sinx = t,
  тогда t²+ 2 t – 3 = 0,
  где t = -3; 1.
  Учитывая, что
  lsinхl≤1,
  а -3<-1,
  имеем sinx = 1,
  Х =¶ /2+2¶n, n Є Z.
  Ответ: ¶ /2+2¶n, n Є Z.
  3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0
  sin²x = 1 - cos²x,
  значит,
  3 - 3cos²x + 2cos²x +2cosx = 0,
  cos²x - 2cosx – 3 = 0,
  пусть cosx = t,
  тогда t²- 2 t – 3 = 0,
  где t = 3; -1
  3>1, ЗНАЧИТ,
  cosx = -1,
  Х = ¶ + 2¶n, n Є Z.
  Ответ: ¶ + 2¶n, n Є Z.
  

• 11 слайд

  Делением на старшую степень решаются уравнения.
  2sin ²x - 5cos²x = 3sinx cosx
  Разделив каждое слагаемое на cos²x,получим.
  2tg²х - 3tgх - 5 = 0,
  Пусть tgх = p, тогда 2p² - 3p - 5 = 0, где p = 2,5; -1,
  tgх =2,5, х = arctg2,5 + ¶n, n Є Z;
  tgх = -1, х =¶/4 +¶n, n Є Z.
  Ответ: arctg2,5 + ¶n, n Є Z; ¶/4 +¶n, n Є Z.
  

• 12 слайд

  Делением на старшую степень решаются уравнения.
  √2 cosx – sinx = 0 l׃ cosx, cosx≠0,
  
  tgх = √2, х = arctg√2 + ¶n, n Є Z
  
  ответ: arctg√2 + ¶n, n Є Z
  

• 13 слайд

  Понижение степени используют при решении уравнения.
  sin²x + cos²( x/ 2) = 3/2
  sin²x + ½(1 +cosx) =3/2,
  2 sin²x + 1 +cosx -3 = 0,
  2 - 2 cos²x + 1 +cosx -3 = 0,
  2 cos²x - cosx = 0,
  cosx(2 cosx – 1) = 0,
  cosx = 0 или cosx =1/2
  Х = ¶/2 + ¶n, n Є Z или Х = ±¶/3 + 2¶n, n Є Z.
  Ответ: ±¶/3 + 2¶n, n Є Z; ¶/2 + ¶n, n Є Z.
  

• 14 слайд

  С помощью формул суммы или разности решаются уравнения.
  sinx + sin3x = sin5x – sinx
  2 sin2x cosx - 2 sin2x cos3x = 0,
  sin2x (cosx - cos3x) = 0,
  sin²2x sinx = 0,
  sin2x = 0 или sinx = 0,
  Х = ¶/2 n, n Є Z или Х = ¶n, n Є Z.
  Объединив множества,
  получим, Х = ¶/2 n, n Є Z
  Ответ: ¶/2 n, n Є Z
  

• 15 слайд

  Делением на старшую степень решаются уравнения.
  sin²x - √3/ 3sin2x = cos²x l׃ cos²x, cosx≠0
  tg²х - √3/3 tg x- 1=0,
  tgх = √3/6(1 ± √13),
  х = arctg √3/6(1 ± √13)+ ¶n, n Є Z;
  ответ: arctg √3/6(1 ± √13)+ ¶n, n Є Z
  
  

• 16 слайд

  Решение последнего уравнения
  предлагается выполнить по группам различными методами:
  cosx- sinx=1.
  -приведение к однородному уравнению(1группа) ;
  -разложение на множители(2группа) ;
  -введение вспомогательного угла(3группа) ;
  -преобразование разности в произведение(4группа)
  
  
  

• 17 слайд

  Алгоритм решения тригонометрического неравенства:
  1.Отметить на оси абсцисс интервал
  2.Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу
  3.Выбрать положительный обход дуги (против часовой стрелки)
  4.Записать числовые значения точек t1 и t2 , учитывая, что начало дуги – меньшее значение
  5.Записать общее решение неравенства
  
  

• 18 слайд

  Решение неравенств
  18
  Реши неравенства:
  1) cos х >
  2) sin х ≥0
  3) cos х < - 1/2
  4) sinх >
  Проверь ответы:
  1)-π/6 +2πk <х< π/6 +2πk
  2) 2πk≤х≤π+2πk
  3) 2π/3+2πk < х < 4π/3 +2πk
  4) π/4+2πk < х < 3π/4+2πk
  

• 19 слайд

  Проверь решения неравенств
  19
  º
  º
  1)cos х >
  у
  х
  2) sin х ≥0
  у
  х
  -π/6 +2πk <х< π/6 +2πk
  ·
  - π/6
  π/6
  
  ·
  ·
  о
  π
  2πk≤х≤π+2πk
  3) cos х < - 1/2
  у
  х
  у
  х
  ·
  -½
  2π/3
  ·
  ·
  4π/3
  2π/3+2πk < х < 4π/3 +2πk
  4) sinх >
  ·
  º
  º
  π/4+2πk < х < 3π/4+2πk
  

• 20 слайд

  Подведение итогов
  20
  Итак, мы повторили материал очень важной темы
  « Тригонометрические уравнения и неравенства».
  Сегодня на уроке вспомнили общие формулы решений простейших тригонометрических уравнений, а также частные формулы, алгоритм решения тригонометрических неравенств.
  На уроке также были рассмотрены основные виды и способы решения тригонометрических уравнений:
  разложение на множители;
  замена переменной;
  однородные тригонометрические уравнения 1-й и 2-й степени.
  

• 21 слайд

  Молодцы!
  

Краткое описание документа:

Урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов, решить тригонометрические неравенства.

Задачи урока.

1. Образовательные:

- закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений и неравенств;

- обобщение и систематизация материала;

- создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

- установление межпредметных связей.

2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.