Презентация к уроку алгебры в 9 классе "Уравнения с двумя переменными и их системы"

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Таблица №2

Таблица №3                                                                                        Таблица №3

ВАРИАНТ 1.	ВАРИАНТ 2.
УЛИТКА ПАСКАЛЯ.      x2 – 2y = 54,    y – x = - 3;	ДЕКАРТОВ ЛИСТ.         xy + x2 = 4,       y – x = 2;
СТРОФОИДА.      3x – 2y = 6,    x2 – 4y = 4;	ЛЕМНИСКАТА.        3x – 4y = - 6,      6x – y2 = 3;

• 1 слайд

  Уравнения второй степени с двумя переменными
  и их графики.
  Решение систем уравнений
  второй степени
  у(х)
  f(x)
  

• 2 слайд

  Первый этап (разминка)
  Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание
  Решением системы уравнений с двумя переменными называется …………….., обращающая каждое уравнение системы в ……………….
  пара чисел
  верное равенство
  

• 3 слайд

  Первый этап (разминка)
  Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание
  Решить систему двух уравнений с двумя переменными - это значит найти …………………….. или доказать, что ……………….
  все ее решения
  система не имеет решений
  

• 4 слайд

  у(х)
  Первый этап (разминка)
  Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание
  Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек плоскости, координаты которых обращают уравнение в ………………..
  верное равенство
  

• 5 слайд

  Решить систему уравнений с двумя переменными графически – это значит найти …………… всех точек ……………графиков уравнений, входящих в ………………………
  Первый этап (разминка)
  Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание
  координаты
  пересечения
  данную систему
  

• 6 слайд

  Второй этап
  Проанализировав уравнения и их графики, заполните таблицу (таблица №1)
  
  Ваша задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждому уравнению его график. Графики обозначены буквами. Если вы все сделаете правильно, тогда в третьем столбце таблицы вы прочитаете имя одного из древнегреческих математиков.
  
  

• 7 слайд

  Так кто же этот математик?
  

• 8 слайд

  
  
  Диофант
  Его по праву называют «отцом алгебры»
  

• 9 слайд

  Диофант Александрийский
  
  Один из самых выдающихся древнегреческих математиков. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке до нашей эры.
  
  

• 10 слайд

  А вот о том, сколько же лет прожил Диофант вы сможете ответить, решив задачу текст которой у вас на парте. Эта задача была найдена в одном из древних рукописных сборников задач в стихах, где жизнь Диофанта описывается в виде алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле.
  
  

• 11 слайд

  Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
  Мудрым искусством его скажет усопшего век.
  
  

• 12 слайд

• 13 слайд

  Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
  
  
  

• 14 слайд

  И половину шестой встретил с пушком на щеках.
  

• 15 слайд

  Только минула седьмая, с подругою он обручился.
  С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
  
  

• 16 слайд

  Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
  Отнят он был у отца ранней могилой своей
  
  

• 17 слайд

  Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
  Тут и увидел предел жизни печальной своей.
  
  

• 18 слайд

  Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой сохранились до наших дней только 6. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику.
  Что же это за уравнения?
  
  Диофант Александрийский
  
  

• 19 слайд

  Рассмотрим старинную задачу
  «В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?»
  Как бы вы предложили решить эту задачу?
  
  

• 20 слайд

  Необходимо ввести две переменные: х – число кроликов, у – число фазанов, тогда получим уравнение 4х + 2у = 18 или 2х + у = 9. Выразим у через х: у = 9 – 2х и далее воспользуемся методом перебора: х = 1, у = 7; х = 2, у = 5; х = 3, у = 3; х = 4, у = 1. Таким образом, задача имеет 4 решения.
  
  Решение Диофанта:
  

• 21 слайд

  Такие уравнения встречаются часто, они - то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.
  
  Диофантовые уравнения
  

• 22 слайд

  Но в целых числах решают не только линейные уравнения. Древнейшей задачей такого рода является задача о натуральных решениях уравнения х2 + у2 = z2.
  Что напоминает вам это уравнение?
  
  

• 23 слайд

  Эту задачу называют задачей о пифагоровых тройках.
  Какие пифагоровы тройки вам известны?
  
  Эту задачу называют задачей о
  пифагоровых тройках
  Какие пифагоровы тройки вы знаете?
  

• 24 слайд

  Третий этап
  Добавить недостающий элемент (таблица №2)
  В таблице слева графики некоторых уравнений, а справа записаны системы уравнений. Но в этой системе одного уравнения не хватает. Ваша задача заключается в том, чтобы 1) в систему вписать уравнение линии, изображенной на чертеже, 2) чертеж дополнить графиком, уравнения которое уже записано в системе, 3) найти решения данной системы графически.
  
  

• 25 слайд

  
  В правом столбце таблицы записаны буквы, а рядом пара чисел. Каждая пара соответствует решению системы . Из полученных букв составьте имя великого французского ученого.
  
  
  

• 26 слайд

  Имя какого математика зашифровано в таблице?
  

• 27 слайд

  Пьер
  Ферма
  1601 – 1665
  
  

• 28 слайд

  Выдающийся французский математик Пьер Ферма по профессии был юристом и почти всю жизнь занимал должность советника парламента в городе Тулузе. Свободное от служебных обязанностей время Ферма посвящал математическим исследованиям, которые проложили новые пути почти во всех отраслях математики.
  
  Пьер Ферма
  
  

• 29 слайд

  Для исследований Ферма исходным пунктом нередко служила математика древних, в частности “Арифметика” Диофанта. На одной из страниц Диофант решает следующую задачу: “Найти два квадрата, сумма которых тоже является квадратом” Задача сводится к решению в целых числах неопределенного уравнения х2 + у2 = z2 . Мы с вами уже говорили сегодня о таком уравнении. Диофант приводит формулы, по которым легко найти все решения данного уравнения в натуральных числах. На полях этой страницы Пьер Ферма записал:
  
  

• 30 слайд

  “Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и, вообще, никакую степень, выше второй, нельзя разложить на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить.”
  
  

• 31 слайд

  Итак, речь идет о следующем: доказать, что уравнение х n + y n = z n
  не имеет целых решений для n > 2.
  Это предложение и было названо “Великой, или большой, теоремой Ферма” или
  “Последней теоремой Ферма”.
  
  

• 32 слайд

  Ни в произведениях, ни в бумагах или письмах Ферма не осталось следов доказательства, о котором Ферма писал на полях книги. Начиная с 18 века предпринимались большие усилия для доказательства этой теоремы. В 1907 году даже была объявлена премия в 100 000 немецких марок тому, кто докажет эту теорему для любого натурального числа n.
  
  

• 33 слайд

  Тот факт, что теорема Ферма ни могла быть ни доказана, ни опровергнута в течение нескольких веков, поставил перед многими учеными следующий вопрос: обладал ли действительно Ферма правильным доказательством теоремы? Но конец 20 века ознаменовался для математиков настоящей сенсацией: попытки доказать великую теорему Ферма наконец – то увенчались успехом!
  
  

• 34 слайд

  Летом 1995 г. в одном из ведущих американских журналов было опубликовано полное доказательство теоремы. Разбитое на две статьи, оно заняло весь номер – в общей сложности более 100 страниц. Основная часть доказательства принадлежала английскому математику Эндрю Уайлсу,«штурмовавшему» знаменитую теорему почти 10 лет.
  
  

• 35 слайд

  Четвертый этап
  Эти удивительные линии (таблица №3)
  Перед вами таблицы со странными надписями
  “Улитка Паскаля”, “Лемниската”,
  “Строфоида”, “Декартов лист”.
  
  Это названия кривых линий, которые заданы с помощью уравнений третьей и четвертой степени.
  
  

• 36 слайд

  
  
  (-6; -9), (8; 5)
  (2; 0), (4;3)
  
  (1; 3), (-2;0)
  
  (2; 3),
  
  №1
  №2
  №3
  №4
  

• 37 слайд

  ПРОВЕРКА: “Улитка Паскаля”
  x2 – 2y = 54,
  y – x = - 3;
  
  (-6; -9), (8; 5)
  №1
  

• 38 слайд

  ПРОВЕРКА: "Строфоида”
  3x – 2y = 6,
  x2 – 4y = 4;
  
  (2; 0), (4;3)
  №3
  

• 39 слайд

  ПРОВЕРКА: "ДЕКАРТОВ ЛИСТ”
  (1; 3), (-2;0)
  xy + x2 = 4,
  y – x = 2;
  
  №2
  

• 40 слайд

  ПРОВЕРКА: «Лемниската Бернулли»
  3x – 4y = - 6,
  6x – y2 = 3;
  
  (2; 3),
  №4
  

• 41 слайд

  Пятый этап (исследовательский)
  На данном этапе урока нам предстоит с вами побывать в роли исследователей. Перед нами стоит задача: выяснить количество решений системы двух уравнений с двумя переменными в зависимости от параметра a.
  
  

• 42 слайд

  Выясним, при каких значениях параметра а система
  
  
  1) не имеет решений, 2) имеет одно решение, 3) имеет более одного решения.
  Рассмотрим два способа: аналитический и графический.
  
  

• 43 слайд

  Домашнее задание
  №418, 422, 424, 432
  

• 44 слайд

  Домашнее задание
  (по желанию)
  1. Выяснить, решив задачу, сколько лет прожил Диофант.
  2. Провести исследование одной из следующих систем графическим способом.
  
  

• 45 слайд

  Спасибо за урок!
  

Уравнения второй степени с двумя переменными и их графики. Решение систем уравнений второй степени

ХОД УРОКА.

 ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

1. ПЕРВЫЙ ЭТАП. РАЗМИНКА.

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание (устно, презентация)

2. ВТОРОЙ ЭТАП.

- А сейчас вы будете работать в парах. Возьмите таблицу №1 (Приложение №1)

“Проанализируйте уравнения, их графики и заполните таблицу”. В таблице записаны уравнения с двумя переменными, а ниже приведены их графики. Ваша задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждому уравнению его график. Графики обозначены буквами. Если вы все сделаете правильно, тогда в третьем столбце таблицы  вы прочитаете имя одного из древнегреческих математиков. Так кто же это такой? Каждая пара должна организовать свою работу так, чтобы уложиться в 5 минут. 5 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку, чтобы я могла проверить работу.

- Итак, вы получили имя ДИОФАНТ. Чем же знаменит он? Почему именно его имя я зашифровала в таблице?

Рассказ учителя.

Диофант Александрийский – один из самых загадочных древнегреческих математиков. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке до нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Что же это за уравнения?

Рассмотрим задачу на старинный сюжет. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других. Как бы вы предложили решить эту задачу? (Обсуждение с классом. ) Необходимо ввести две переменные: х – число кроликов, у – число фазанов, тогда получим уравнение 4х + 2у = 18 или 2х + у = 9. Выразим у через х: у = 9 – 2х и далее воспользуемся методом перебора: х = 1, у = 7; х = 2, у = 5; х = 3, у = 3; х = 4, у = 1. Т.о. задача имеет 4 решения.

Подобные уравнения встречаются часто, они - то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Но в целых числах решают не только линейные уравнения. Древнейшей задачей такого рода является задача о натуральных решениях уравнения х2 + у2 = z2. Что напоминает вам это уравнение? Эту задачу называют задачей о пифагоровых тройках.

Какие пифагоровы тройки вам известны? (3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41).

А вот о том, сколько же лет прожил Диофант вы мне ответите на следующем уроке, решив дома задачу текст которой у вас на парте. Эта задача была найдена в одном из древних рукописных сборников задач в стихах, где жизнь Диофанта описывается в виде алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле.

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

3. ТРЕТИЙ ЭТАП.

- Теперь возьмите карточку №2. ( Приложение №2)

На ней изображены графики некоторых уравнений, а справа записаны системы уравнений. Но в этой системе одного уравнения не хватает. Ваша задача заключается в том, чтобы

1.   в систему вписать уравнение линии, изображенной на чертеже

2.   дополнить чертеж графиком, уравнение которого уже записано в системе

3.   найти решения данной системы графически.

В правом столбце таблицы записаны буквы, а рядом пара чисел. Каждая пара соответствует решению системы . Из полученных букв составьте фамилию великого французского ученого. Работает каждый индивидуально. Время работы 10 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку.

Итак, какое же имя зашифровано в таблице?

Это имя выдающегося французского математика, жившего в 17 веке ( 1601 – 1665 ) Пьера Ферма. По профессии он был юристом и почти всю жизнь занимал должность советника парламента в городе Тулузе. Свободное от служебных обязанностей время Ферма посвящал математическим исследованиям, которые проложили новые пути почти во всех отраслях математики. Для исследований Ферма исходным пунктом нередко служила математика древних, в частности “Арифметика” Диофанта. На одной из страниц Диофант решает следующую задачу: “Найти два квадрата, сумма которых тоже является квадратом” Задача сводится к решению в целых числах неопределенного уравнения х2 + у2 = z2 . Мы с вами уже говорили сегодня о таком уравнении. Диофант приводит формулы, по которым легко найти все решения данного уравнения в натуральных числах. На полях этой страницы Пьер Ферма записал: “Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и, вообще, никакую степень, выше второй, нельзя разложить на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить.”

Итак, речь идет о следующем: доказать, что уравнение

х n + y n = z n не имеет целых решений для n > 2.

Это предложение и было названо “Великой, или большой, теоремой Ферма” или “Последней теоремой Ферма”. Ни в произведениях, ни в бумагах или письмах Ферма не осталось следов доказательства, о котором Ферма писал на полях книги, начиная с 18 века предпринимались большие усилия для доказательства этой теоремы. Но доказательства касались лишь частных случаев. В 1907 году даже была объявлена премия в 100 000 немецких марок тому, кто докажет эту теорему для любого натурального n. Тот факт, что теорема Ферма ни могла быть ни доказана, ни опровергнута в течение нескольких веков, поставил перед многими учеными следующий вопрос: обладал ли действительно Ферма правильным доказательством теоремы? Но конец 20 века ознаменовался для математиков настоящей сенсацией: попытки доказать великую теорему Ферма наконец – то увенчались успехом! Летом 1995 г. в одном из ведущих американских журналов – “Анналы математики” - было опубликовано полное доказательство теоремы. Разбитое на две статьи, оно заняло весь номер – в общей сложности более 100 страниц. Основная часть доказательства принадлежала 42 – летнему английскому математику Эндрю Уайлсу, профессору Принстонского университета, штурмовавшему” знаменитую проблему почти 10 лет. На последнем этапе к работе подключился Ричард Тейлор, профессор Оксфордского университета.

Возьмите свои оценочные листы, поставьте себе оценку за работу на втором этапе урока и выразите свое эмоциональное состояние.

4. ЧЕТВЕРТЫЙ ЭТАП.

Мы с вами строили графики для уравнений с двумя переменными 1, 2 степени и для простейших уравнений 3 степени. Однако, существуют и могут быть проиллюстрированы графиками уравнения с 2 переменными 3, 4 и выше степеней.

- А теперь возьмите листы со странными надписями “Улитка Паскаля”, “Лемниската”, “Строфоида”, “Декартов лист”. (Приложение №3)

Это названия кривых линий, которые заданы с помощью уравнений третьей и четвертой степени. Их изображения вы видите на слайдах. (На слайдах только графики без подписей). А рядом с каждым изображением пары чисел – решения одной из систем уравнений, записанных на ваших карточках. Выполнив задание, вы узнаете, как называется каждая из кривых.

Время работы 10 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку и получают красную карточку.

Проверка. Первая система 1 варианта имеет решения: (-6; -9) и ( 8; 5). Эти ответы записаны рядом с кривой, которая называется “Улитка Паскаля”

Вторая система имеет решения (2; 0) и (4; 3). Эти ответы записаны радом с кривой, которая называется "Строфоида”.

Второй вариант. 1 система имеет решения (1; 3) и (-2;0). – "Декартов лист"

 Вторая система имеет решения (2; 3) и - "Лемниската Бернулли" 

5. ПЯТЫЙ ЭТАП.

- На данном этапе урока нам предстоит с вами побывать в роли исследователей. Перед нами стоит задача: выяснить количество решений системы двух уравнений с двумя переменными в зависимости от параметра.

Рассмотрим систему:

- Выясним, при каких значениях а система не имеет решений, имеет одно решение, более одного решения. Рассмотрим два способа: аналитический и графический.

(Учитель объясняет решение, привлекая учеников.)

6. ИТОГ УРОКА.

Итак, сегодня мы с вами

•    закрепили знания, умения и навыки по теме “Уравнения с двумя переменными второй степени и их графики. Решение систем уравнений с двумя переменными”.

•    познакомились с двумя великими учеными, внесшими огромный вклад в развитие математики.

•    приобрели начальные навыки исследовательской деятельности

Задание на дом: №418, 422, 424, 432,

По желанию:

1. Решить задачу о том, сколько лет прожил Диофант.
2. Провести исследование одной из следующих систем графическим способом.