114031
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация к уроку геометрии "Перпендикуляр и наклонная"

Презентация к уроку геометрии "Перпендикуляр и наклонная"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Перпендикуляр и наклонная
Проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоск...
Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпенди...
Свойства ортогональной проекции Пусть из одной точки к плоскости проведены пе...
Свойства проекции Доказательство. Пусть из точки А к плоскости p проведены пе...
Свойства проекции Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонн...
Свойства проекции Докажем третье утверждение: одна наклонная длиннее другой т...
Расстояние от точки до плоскости Расстоянием от точки до плоскости (не проход...
Свойство расстояний от разных точек до плоскости Замечание 1 (свойство рассто...
Доказательство: Рассмотрим два случая. В случае 1 точки А и В находятся по од...
Замечание 2 (свойство расстояния от середины отрезка до плоскости). Пусть рас...
Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда,...
Прямая m перпендикулярна плоскости АВС.
Пусть даны плоскость и наклонная прямая. Углом между прямой и плоскостью назы...
Перпендикуляр, наклонная и ее ортогональная проекция образуют прямоугольный т...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Перпендикуляр и наклонная
Описание слайда:

Перпендикуляр и наклонная

2 слайд
Описание слайда:

3 слайд
Описание слайда:

4 слайд Проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоск
Описание слайда:

Проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости. Проекция фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры. Проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел. Проекция Проекция точки и фигуры. Проекция детали.

5 слайд Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпенди
Описание слайда:

Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда отрезок АВ называется перпендикуляром, опущенным из точки А на эту плоскость, а сама точка В — основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С — произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к этой плоскости. Заметим, что точка В в этом определении является проекцией точки А, а отрезок АС — ортогональной проекцией наклонной AВ. Проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств. Перпендикуляр и наклонная Перпендикуляр и наклонная.

6 слайд Свойства ортогональной проекции Пусть из одной точки к плоскости проведены пе
Описание слайда:

Свойства ортогональной проекции Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и проекции наклонной на эту плоскость. 2. Равные наклонные имеют и равные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны. 3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда я проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.

7 слайд Свойства проекции Доказательство. Пусть из точки А к плоскости p проведены пе
Описание слайда:

Свойства проекции Доказательство. Пусть из точки А к плоскости p проведены перпендикуляр АВ и две наклонные АС и AD; тогда отрезки ВС и BD —проекции этих отрезков на плоскость p. Докажем первое утверждение: любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и проекции наклонной на эту плоскость. Рассмотрим, например, наклонную AС и треугольник ABC, образованный перпендикуляром AВ, этой наклонной AС, и ее проекцией ВС. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом в вершине В и гипотенузой AС, которая, как мы знаем из планиметрии, длиннее каждого из катетов, т.е. и перпендикуляра AВ, и проекции ВС. Из точки А к плоскости pi проведены перпендикуляр АВ и две наклонные AC и AD.

8 слайд Свойства проекции Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонн
Описание слайда:

Свойства проекции Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонные имеют и равные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны. Рассмотрим прямоугольные треугольники AВС и ABD. Они имеют общий катет AВ. Если наклонные AС и AD равны, то прямоугольные треугольники AВС и AВD равны по катету и гипотенузе, и тогда BC=BD. Обратно, если равны проекции ВС и BD, то эти же треугольники равны по двум катетам, и тогда у них равны и гипотенузы AС и AD. Треугольники ABC и ABD равны по катету и гипотенузе.

9 слайд Свойства проекции Докажем третье утверждение: одна наклонная длиннее другой т
Описание слайда:

Свойства проекции Докажем третье утверждение: одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной. Пусть, например, ВС > BD. Отложим на отрезке ВС точку Е такую, что BD=BE. Тогда и AD=AE. В треугольнике АСЕ угол AEC тупой и поэтому больше угла ACE, следовательно, сторона АС больше стороны АЕ, равной AD. Обратно, пусть АС > AD. Возможны три случая: a) BC=BD; б) ВС < BD; с) ВС > BD. Если BC=BD, то по доказанному выше в пункте 2, AC=AD, что противоречит условию. Если ВС < BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию. Остается третья возможность: ВС > BD. Теорема доказана. Если ВС больше BD, то АС больше стороны АЕ, равной AD.

10 слайд Расстояние от точки до плоскости Расстоянием от точки до плоскости (не проход
Описание слайда:

Расстояние от точки до плоскости Расстоянием от точки до плоскости (не проходящей через эту точку) называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Из теоремы о свойствах проекции следует, что расстояние от точки А до плоскости pi равно наименьшему расстоянию от точки А до точек этой плоскости.

11 слайд Свойство расстояний от разных точек до плоскости Замечание 1 (свойство рассто
Описание слайда:

Свойство расстояний от разных точек до плоскости Замечание 1 (свойство расстоянии от разных точек до плоскости). Пусть две точки А и В не принадлежат плоскости pi, а прямая АВ пересекает плоскость pi в точке С. Тогда расстояния от точек А и В до плоскости pi относятся как отрезки АС и ВС:

12 слайд Доказательство: Рассмотрим два случая. В случае 1 точки А и В находятся по од
Описание слайда:

Доказательство: Рассмотрим два случая. В случае 1 точки А и В находятся по одну сторону от плоскости pi. Рассмотрим проекции точек А и В на плоскость — точки А1 и B1 соответственно. Тогда прямая A1B1 является проекцией прямой AВ и проходит через точку С. В плоскости , проходящей через прямые AВ и А1В1, прямоугольные треугольники AA1С и BB1C подобны, и поэтому их катеты пропорциональны гипотенузам: Прямоугольные треугольники AA1C и ВВ1С подобны. Случай 2, когда точки А и В расположены по разную сторону от плоскости, разберите самостоятельно. Замечание 1 доказано.

13 слайд Замечание 2 (свойство расстояния от середины отрезка до плоскости). Пусть рас
Описание слайда:

Замечание 2 (свойство расстояния от середины отрезка до плоскости). Пусть расстояния от точек А и B до плоскости pi равны а и b соответственно. Тогда расстояние от середины С отрезка АВ до этой плоскости равно: Свойство расстояния от середины отрезка до плоскости Tочки A и B расположены по одну сторону от если точки А и B расположены по одну сторону от плоскости pi если точки A и B расположены по одну сторону от плоскости pi; если точки A и B расположены по одну сторону от если точки А и B расположены по разные стороны от плоскости pi

14 слайд Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда,
Описание слайда:

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ее ортогональной проекции. Доказательство. Пусть даны плоскость pi, перпендикуляр АВ на эту плоскость, наклонная АС, и прямая m в плоскости pi. Нам надо доказать два взаимно обратных утверждения. Первое утверждение: если прямая m перпендикулярна наклонной АС, то она перпендикулярна и ее проекции ВС. И обратно: если прямая m перпендикулярна проекции ВС, то она перпендикулярна и наклонной АС. Перпендикуляр АВ к плоскость pi, наклонная АС и прямая т в плоскости pi. Теорема о трех перпендикулярах

15 слайд Прямая m перпендикулярна плоскости АВС.
Описание слайда:

Прямая m перпендикулярна плоскости АВС.

16 слайд Пусть даны плоскость и наклонная прямая. Углом между прямой и плоскостью назы
Описание слайда:

Пусть даны плоскость и наклонная прямая. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью прямой, т. е. равен 90°. Угол между наклонной и плоскостью Угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.

17 слайд Перпендикуляр, наклонная и ее ортогональная проекция образуют прямоугольный т
Описание слайда:

Перпендикуляр, наклонная и ее ортогональная проекция образуют прямоугольный треугольник.

Общая информация

Номер материала: ДВ-117224

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.