Презентация к уроку геометрии "Правильные многоугольники, вычисление их элементов. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник." (9 класс)

• 1 слайд

  Правильные многоугольники, вычисление их элементов. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник.
  Подготовила:
  учитель математики
  МБОУ Г.ГОРЛОВКА «ШКОЛА № 42»
  Рыбина М.В.
  

• 2 слайд

  Правильный многоугольник
  Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
  Сумма градусных мер углов любого выпуклого n-угольника равна
  180°(n - 2). 
  Градусную меру каждого его угла можно найти по формуле:
  
  
  Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°
  Каждый внешний угол правильного многоугольника равен 360° 𝑛
  
  

• 3 слайд

  Определения
  

• 4 слайд

  Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника.
  
  Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
  Пусть 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 … 𝐴 𝑛 – правильный многоугольник, О – точка пересечения биссектрис углов 𝐴 3 и 𝐴 2 .
  Докажем, что отрезок 𝑂 𝐴 1 равен 𝑂 𝐴 2 равен 𝑂 𝐴 3 и так далее равен 𝑂 𝐴 𝑛 . Так как многоугольник правильный, то угол 𝐴 2 равен углу 𝐴 3 , а значит, угол 1 равен углу 3. Отсюда следует, что треугольник 𝑂 𝐴 2 𝐴 3 равнобедренный, и, следовательно, равны отрезки 𝑂 𝐴 3 и 𝑂 𝐴 2 .
  Треугольники 𝑂 𝐴 2 𝐴 3 и треугольник 𝑂 𝐴 2 𝐴 1 равны по двум сторонам и углу между ними ( 𝐴 2 𝐴 3 = 𝐴 1 𝐴 3 , 𝐴 2 𝑂 – общая сторона и угол 3 равен углу 4, следовательно, 𝑂 𝐴 3 =𝑂 𝐴 1 .
  Аналогично можно доказать, что 𝑂 𝐴 4 =𝑂 𝐴 2 , 𝑂 𝐴 5 =𝑂 𝐴 3 и так далее. Таким образом, доказали, что точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром в точке О и радиусом 𝑂 𝐴 1 является описанной около многоугольника.
  
  
  

• 5 слайд

  
  Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник.
  
  В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
  Пусть 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 … 𝐴 𝑛 – правильный многоугольник, О – центр описанной окружности.
  В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что равны треугольники 𝑂 𝐴 2 𝐴 3 , 𝑂 𝐴 1 𝐴 2 … 𝑂 𝐴 1 𝐴 𝑛 . Поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны, то есть 𝑂 𝐻 1 =𝑂 𝐻 2 =…𝑂 𝐻 𝑛 . Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом 𝑂 𝐻 1 проходит через точки 𝐻 1 , 𝐻 2 ,… 𝐻 𝑛 и касается сторон многоугольника в этих точках, то есть эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.
  Докажем теперь единственность окружности. Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом 𝑂 𝐻 1 есть и другая окружность, вписанная в данный многоугольник. Тогда её центр 𝑂 1 равноудален от сторон многоугольника, то есть точка 𝑂 1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, то есть равен 𝑂 𝐻 1 . Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.
  
  
  

• 6 слайд

  
  Следствия
  
  Так как в равнобедренных треугольниках 𝑂 𝐴 2 𝐴 3 , 𝑂 𝐴 1 𝐴 2 … 𝑂 𝐴 1 𝐴 𝑛 проведенные высоты 𝑂 𝐻 1 , 𝑂 𝐻 2 ,…𝑂 𝐻 𝑛 являются и медианами, то имеет место следствие 1: окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
  При доказательстве теоремы о вписанной в правильный многоугольник окружности было установлено следствие 2: центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.
  Докажем теперь единственность окружности. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 . Так как через эти три точки проходит только одна окружность, то около многоугольника 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 … 𝐴 𝑛 можно описать только одну окружность. Теорема доказана.
  
  
  

• 7 слайд

  Угол, образованный двумя радиусами, проведёнными в смежные вершины правильного многоугольника, называется его центральным углом.
  Чтобы найти центральный угол правильного n – угольника, воспользуйтесь формулой:
   = 360° 𝑛 .
  
  
  

• 8 слайд

  Задание 1
  Найдите углы правильного 10-угольника.
  Решение
  
  
  
  
  Ответ: 144
  
  
  
  180 (𝑛−2) 𝑛
  180 (10−2) 10 = 180∙8 10 = 144
  

• 9 слайд

  Задание 2
  Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 150°?
  Решение
  
  
  
  180(n-2) = 150n,
  180n – 150n = 360,
  30n = 360,
  n=12
  Ответ: 12
  
  180 (𝑛−2) 𝑛 =150
  

• 10 слайд

  Задание 3
  Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен 40°?
  Решение
  360 𝑛 =40, 𝑛=360:40=9
  Ответ: 9
  

• 11 слайд

  Задание 4
  Сколько сторон имеет выпуклый n – угольник, если сумма его внутренних углов равна 1260°?
  Решение.
  180  (n – 2)= 1260°
  180n – 360 = 1260°
  180n = 1620°
  n = 9
  О т в е т: 9 сторон.
  
  

• 12 слайд

  Задание 5
  Найти углы выпуклого пятиугольника, если они пропорциональны числам 3, 1, 5, 7, 11.
  Решение.
  180  (n – 2) = 180  (5 – 2) = 540°
  х + 3х + 5х + 7х + 11х = 540°
  27х = 540°
  х = 20°
  Ответ: 20°; 60°; 100°; 140°; 220°.
  
  

• 13 слайд

  Задание 6
  Сторона правильного вписанного многоугольника из центра окружности видна под углом 24. Сколько сторон у многоугольника?
  Решение
  360:24= 15
  Ответ: 15
  

• 14 слайд

  Задание 7
  Два угла выпуклого многоугольника равны по 100°, а остальные по 130°. Сколько вершин имеет этот многоугольник?
  Решение.
  180(n – 2) = 100  2 + 130  (n – 2)
  180n – 360 = 200 + 130n – 260
  50n = 300
  n = 6
  Ответ: 6.
  
  
  

• 15 слайд

  Задание 8
  
  
  

• 16 слайд

  Задание 9
  
  
  

• 17 слайд

  Задание 10
  
  
  

• 18 слайд

  Подведем итог
  Установите соответствие между формулами и их названиями.
  

• 19 слайд

• 20 слайд

  Домашнее задание
  Выучить определения и формулы § 1, п. 109 – 111
  Выполнить в тетради: № 1081, 1083
  

• 21 слайд

  Использованные источники:
  https://resh.edu.ru/subject/lesson/2037/main/
  https://www.evkova.org/pravilnyie-mnogougolniki
  https://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploshchad-kruga-9241/pravilnye-mnogougolniki-9246/re-983bb30f-8304-4d02-a739-40bb351cb45d
  https://uchitel.pro/опорный-конспект-4-правильные-многоуг/
  https://foxford.ru/wiki/matematika/okruzhnost-opisannaya-okolo-pravilnogo-mnogougolnika