Презентация к уроку математики на тему "Предел функции"

• 1 слайд

  Понятие предела функции
  

• 2 слайд

  Определение
   Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0. 
  Функция f имеет предел в точке x0,
   если для любой последовательности точек xn,
  n = 1, 2,..., xn ≠ x0, стремящейся к точке x0,
   последовательность значений функции f (xn) сходится к одному и тому же числу А,
   которое и называется пределом функции f в точке x0, (или при x → x0) при этом пишется
  
  у
  х
  О
  х0
  А
  

• 3 слайд

  Определение
  Число А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию
  |х — x0| < δ, x ≠ x0, выполняется неравенство |f (x) — A| < ε.
  
  у
  х
  О
  х0
  А
  х0+δ
  х0-δ
  А+ε
  А-ε
  

• 4 слайд

  Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα),  
  показательная функция (ax), тригонометрические функции 
  (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции 
  (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках. 
  
  

• 5 слайд

  Примеры функций,
  имеющих предел в точке
  у= x2
  
  
  
  Предел функции  
  при x → 2 равен 4
  (при x → 2 значения функции → 4).
  Предел функций  при x → 0 равен 0.
  

• 6 слайд

  х
  О
  а
  у
  А
  у
  х
  О
  а
  у
  х
  О
  1
  -1
  Примеры функций,
  не имеющих предел в точке
  

• 7 слайд

  Свойства предела функции в точке
  Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем     
  
  То
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.
  
  

• 8 слайд

  Вычисление предела функции в точке
  Найдем
  Предел числителя
  Предел знаменателя
  .
  Используя теорему о пределе частного, получим
  Сначала просто пытаемся подставить число в функцию
  

• 9 слайд

  Найдем
  Предел числителя
  Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя.
  Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при x→3.
  Тогда
  

• 10 слайд

  Раскрытие неопределенности
  При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида
  
  Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.
  Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.  
   
  
  Разделим числитель и знаменатель на  х2
  
  
   
  

• 11 слайд

  Разделим числитель и знаменатель на х4 
  

• 12 слайд

  Разделим числитель и знаменатель на  х2
   подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
    Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
  

• 13 слайд

  Вычислить предел 
  
  Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
  
   В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0
  Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
  Очевидно, что можно сократить на  (х+1)
  :
  
  Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
  

• 14 слайд

  Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
  
  Найти предел 
  Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое,
  что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. 
  Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.  
   
  Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять
  
  

• 15 слайд

• 16 слайд

  Замечательные пределы
  первый замечательный предел
  
  
  второй замечательный предел
  
  
  

• 17 слайд

  Примеры
  

• 18 слайд

  Односторонние пределы
  Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех    выполняется неравенство  
  
  
  При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А1 
  
  
  у
  х
  О
  а
  А1
  а-δ
  А1+ε
  А1-ε
  Предел функции  слева
  

• 19 слайд

  Предел функции  справа
  Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех    выполняется неравенство 
  
  При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А2 
  
  у
  х
  О
  а
  А2
  а+δ
  А2+ε
  А2-ε
  Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева.
  у
  х
  О
  а
  А
  

• 20 слайд

  у
  х
  О
  1
  -1