Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация к уроку по геометрии теорема Стюарта
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация к уроку по геометрии теорема Стюарта

библиотека
материалов

МОУ «Трёхбалтаевская средняя общеобразовательная школа»





Районная конференция – фестиваль

творчества учащихся






Секция « Математика»







Теорема Стюарта




Хамдеева Рузалия ---

10 класс


Стратилатова

Полина Викторовна

учитель математики





2007





Введение


Добиться умения решать задачи и доказывать теоремы является основной целью изучения курса геометрии в школе. При решении задач или при доказательстве теорем мы, в основном, рассматриваем один способ, хотя некоторые задачи имеют не один способ решения. Наличие нескольких, отличных друг от друга, методов решения или доказательства заинтересовали меня. Ранее я рассматривала решение одного квадратного уравнения несколькими способами. Листая математическую литературу, натолкнулась на теорему Стюарта, которая доказывалась двумя способами. Решила попробовать свои силы в доказательстве теоремы еще другими способами. В данной работе приводится 4 способа доказательства теоремы Стюарта: 1)метод координат; 2) через векторы;3) применяя теорему косинусов;

4) применяя теорему Птоломея.















Цель:


Доказать теорему Стюарта различными методами





Задача:


Развивать интерес к поиску различных способов решения задач.





















Теорема Стюарта:

Пусть треугольник со сторонами а, в, с разделен на два отрезком длины d, проходящим через вершину С и делящим сторону ВА на отрезки, равные m и n. Доказать, что a²n + b²m - d²c = mnc.

hello_html_6461007a.gifhello_html_m3d315078.gifhello_html_4a6a54e7.gifC

a d b



hello_html_6a0ae378.gifB m n A

c D

Доказательство: 1.Метод координат

y

hello_html_m33c5bc4a.gif

hello_html_m7f50d55f.gifhello_html_588bffde.gifhello_html_3b834cd5.gifC


a d b



hello_html_35471472.gif

B m H D n A x

c

Вhello_html_m2de41005.gifводим систему координат так, чтобы ось ОХ пошла по стороне АВ ,а ось ОУ по высоте СH. Обозначим координаты А (х1; 0); В (х2; 0); С(0; у0); D(х;0). Проверим наше равенство. y

Пhello_html_m2de41005.gifо теореме Пифагора С

bhello_html_m5f99a892.gifhello_html_m7968d9f7.gifhello_html_7dfea1a0.gif² = х ²1 + у²0

а² = х ²2 + у²0 a d b

d² = х ² + у²0 x

hello_html_mbea6f02.gifm = x – x2 n = x1 – x c =x1 – x2 B m H D n A

-m = x2 –x -n = x –x1 -c = x2 – x1 c

a²n + b²m - d²c = mnc;

- a²n - b²m +d²c = -mnc;

(x²2 + y²0)(x – x1) + (x²1 + y²0)(x2 –x) - (x² + y²0)(x2 –x1) = (x2 – x1)(x2 – x)(x – x1)

2x - x²2x1 + y²0x - y²0x1 + x²1x2 - x²1x+ y²0x2 - y²0x - x²x2 + x²x1 - y²0x2 + y²0x1 =

= (x²2 – x2x – x1x2 + x1x)(x – x1);


2x - x²2x1 + x²1x2 - x²1x+ x²x1 - x²x2 = x²2x - x²2x1 – x2x² + x2xx1 – x1x2x + x²1x2 - x1+ x²1x.


0 = 0


Равенство выполнено.











  1. Применение векторов:

Пусть hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_31c51c5c.gif=hello_html_m43f5462d.gif hello_html_m161f7dee.gif=hello_html_191c312d.gif, hello_html_2439a313.gif= hello_html_m6d1e6ee6.gif,hello_html_504a4dc9.gif =hello_html_m74b6c78b.gif, hello_html_488b2e78.gif

hello_html_1245454a.gif, hello_html_1cc9a79f.gif


hello_html_57ec1c3d.gif=- hello_html_18f18ba9.gif² =-| hello_html_18f18ba9.gif hello_html_2922c818.gif

Умножаем полученное равенство на вектор hello_html_m6dfb12b7.gif


hello_html_m50abb9da.gif-|hello_html_18f18ba9.gifhello_html_46ba2cc5.gif

hello_html_583e9061.gifhello_html_191c312d.gif²+ hello_html_m74b6c78b.gif²hello_html_m6d1e6ee6.gif+hello_html_498502b5.gif²+hello_html_m3a257ba6.gif-hello_html_m21000b25.gif²hello_html_m47830c6f.gif=-|hello_html_18f18ba9.gifhello_html_46ba2cc5.gif.

hello_html_m74b6c78b.gif²hello_html_m6d1e6ee6.gif+hello_html_498502b5.gif²-hello_html_4043e162.gif²-hello_html_8d0b3f9.gif²=-|hello_html_18f18ba9.gifhello_html_46ba2cc5.gif

hello_html_315575f4.gif=hello_html_m21000b25.gif²hello_html_m6d1e6ee6.gif+hello_html_191c312d.gif²hello_html_m74b6c78b.gif-hello_html_46ba2cc5.gif|hello_html_18f18ba9.gif|²; hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_28ebba.gif|hello_html_m21000b25.gifhello_html_m6d1e6ee6.gif+|hello_html_191c312d.gifhello_html_m74b6c78b.gif-hello_html_46ba2cc5.gif|hello_html_18f18ba9.gif|².

В полученном равенстве векторы сонаправленные, тогда для их длин можем записать следующее выражение:

|hello_html_m21000b25.gif|² |hello_html_m6d1e6ee6.gif|+|hello_html_191c312d.gif|² |hello_html_m74b6c78b.gif|- |hello_html_46ba2cc5.gif| |hello_html_18f18ba9.gif|² = |hello_html_m74b6c78b.gif| |hello_html_m6d1e6ee6.gif| |hello_html_46ba2cc5.gif| .


Ч. Т .Д.










  1. Применение теоремы косинусов:

hello_html_m5a1500e2.gifhello_html_m7cfa45a1.gifhello_html_b4a5031.gif C




a d b




hello_html_423f6b00.gifhello_html_36d9e979.gif α 180˚-α

hello_html_m2e8fe607.gif B A

m D n


a²=d²+m²-2dm cosα, отсюда cosα=( d²+m²-a²)/ 2dm.


b²=d²+n²+2dn cosα=d²+n²+2dn( d²+m²-a²)/ 2dm.

b²m=d²m+n²m+nd²+nm²-na²

b²m+a²n-d²c=mn (m+n )=mnc

b²m+a²n-d²c=mnc.


Ч.т.д.
























4) Применение теоремы Птоломея :

У четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_55652c6.gifС

hello_html_m17a98e1f.gifhello_html_4cd27d1b.gifhello_html_3d5a66f6.gif

b

d


hello_html_m1e8f7650.gifhello_html_1bb35cbd.gifa A

m D n

hello_html_m3f311d8d.gifl p k

B

K

По теореме имеем:

a k+lb=(d+p) (m+n). (*)

Из подобия треугольников BCD и ADK имеем: hello_html_21c287bd.gif

Из подобия треугольников CDA и BDK имеем: hello_html_m71193be4.gif

Тогда hello_html_m290f45af.gif и hello_html_77e7f731.gif.

Откуда

hello_html_m5092e2c8.gifhello_html_37097a82.gif(1)


Подставляя (1) в равенство (*) имеем:

hello_html_m734afb91.gifhello_html_23fd25de.gif+hello_html_m1c61a9f.gif

a²n+b²m=d (d+p) (m+n)

a²n+b²m=(d²+dp) (m+n)

a²n+b²m=d²(m+n)+dp(m+n)

a²n+b²m- d²c=dp(m+n). Так как dp=mn, то

a²n+b²m- d²c=mn(m+n) = mnc. Ч.т .д.





Заключение

За время обучения в школе мы решаем огромное количество задач, овладеваем общим умением решения задач. В процессе решения задач стараемся понять, в чём состоят приёмы и методы решения задач. В частности, при решении задач часто встречается применения векторов (доказательство теоремы о средней линии трапеции), а также в решении многих задач школьного курса применяется теорема косинусов. Применение этих и других способов решения задач я использовала в своей работе. Сама теорема Стюарта редко применяется при доказательстве теорем или при решении задач. Дальнейшую свою работу вижу в том, что заинтересоваться задачами, при решении которых применяется теорема Стюарта.















Вывод:

Чтобы научится решать задачи, доказывать теоремы, надо много поработать: иметь хорошую начальную базу, любовь к предмету, заинтересованность этим предметом и творческий поиск. Надо найти такой подход к доказательству теорем, при котором теорема выступает как объект тщательного обучения, а её доказательство - как объект конструирования и изобретения.





























Литература:


  1. Геометрия 7- 9 класс. А. В. Погорелов.- М. «Просвещение», 1997.


  1. Как научиться решать задачи. Л.М. Фридман,

Е.Н. Турецкий. М. « Просвещение», 1998.


  1. Математика в школе. Журналы








Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 14.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров322
Номер материала ДВ-338562
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх