Презентация к уроку по геометрии теорема Стюарта

МОУ «Трёхбалтаевская средняя общеобразовательная школа»

Районная конференция – фестиваль

творчества   учащихся

Секция   « Математика»

Теорема Стюарта

                     Хамдеева Рузалия ---

      10  класс

            Стратилатова

                    Полина Викторовна

                      учитель математики

2007

Введение

          Добиться  умения решать задачи и доказывать теоремы является основной целью изучения  курса  геометрии в школе. При решении  задач или при доказательстве теорем мы, в основном, рассматриваем один способ, хотя некоторые задачи имеют не один способ решения. Наличие нескольких,  отличных друг от друга, методов решения или доказательства заинтересовали меня.  Ранее я рассматривала решение одного квадратного уравнения несколькими способами. Листая математическую литературу, натолкнулась на теорему Стюарта, которая доказывалась двумя способами. Решила попробовать свои силы в доказательстве теоремы еще другими способами.  В данной работе приводится  4 способа доказательства теоремы Стюарта: 1)метод координат; 2) через векторы;3) применяя теорему косинусов;

4) применяя теорему Птоломея.

Цель:

      Доказать теорему Стюарта различными методами

Задача:

          Развивать интерес  к поиску различных способов  решения задач.

Теорема Стюарта:

Пусть треугольник со сторонами а, в, с разделен на два отрезком длины d, проходящим через вершину С и делящим сторону ВА на отрезки, равные  m и n. Доказать, что a²n +  b²m - d²c = mnc.

                                         C

                              a              d       b

                 B            m                              n         A

                                     c                  D                                                        

      Доказательство: 1.Метод координат

                                        y

 

                                C       

                        a                d          b                   

   

       B        m                 H                D      n         A       x

                                   c                                                                           

Вводим систему координат так, чтобы ось ОХ пошла по стороне АВ ,а ось ОУ по высоте СH. Обозначим координаты А (х₁; 0); В (х₂; 0); С(0; у₀); D(х;0). Проверим наше равенство.           y

По теореме Пифагора                                 С

b² = х ²₁ + у²₀

                        а² = х ²₂ + у²₀                              a                  d             b

d² = х ² + у²_{0                                                                                                                  x}

 m = x – x₂       n = x₁ – x     c =x₁ – x_{2     B     m   H        D    n      A}   

-m = x₂ –x       -n = x –x₁     -c =  x₂ – x₁                c

a²n +  b²m - d²c = mnc;

 - a²n -  b²m +d²c = -mnc;

(x²₂ +  y²₀)(x – x₁) + (x²₁ + y²₀)(x₂ –x) - (x² + y²₀)(x₂ –x₁) = (x₂ – x₁)(x₂ – x)(x – x₁)

 x²₂x - x²₂x₁ + y²₀x -  y²₀x₁ + x²₁x₂ - x²₁x + y²₀x₂ - y²₀x - x²x₂ + x²x₁ - y²₀x₂ + y²₀x₁ =

= (x²₂ – x₂x – x₁x₂ + x₁x)(x – x₁);

x²₂x - x²₂x₁ + x²₁x₂ - x²₁x + x²x₁ - x²x₂ =  x²₂x - x²₂x₁ – x₂x² + x₂xx₁ – x₁x₂x  + x²₁x₂ - x₁x² + x²₁x.

0 = 0

Равенство выполнено.

2)                    Применение векторов:

         Пусть = =, = , =,

         ,

=- ² =-| |²                    

Умножаем полученное равенство на вектор

-||²

²+ ²+²+-²=-||².

²+²-²-²=-||²

=²+²-||²;   ||²+||²-||².

В полученном равенстве векторы сонаправленные, тогда для их длин можем записать следующее выражение:

||² ||+||² ||- || ||² = || || || .

                             Ч. Т .Д.

3) Применение теоремы косинусов:

                               C

                    a          d          b

                                     α    180˚-α

         B                                                A

                  m                           D n

a²=d²+m²-2dm cosα, отсюда   cosα=( d²+m²-a²)/ 2dm.

b²=d²+n²+2dn cosα=d²+n²+2dn( d²+m²-a²)/ 2dm.

b²m=d²m+n²m+nd²+nm²-na²

b²m+a²n-d²c=mn (m+n )=mnc

b²m+a²n-d²c=mnc.

                           Ч.т.д.

4) Применение теоремы Птоломея :

У четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей.

                                 С

    

                                                    b

                                              d

                                     a                               A       

                                           m      D      n                                                                                

                                                 l     p     k

                                   B

                                                            K                                                                  

По теореме имеем:

a k+lb=(d+p) (m+n).  (*)

Из подобия треугольников BCD и ADK  имеем:  

Из подобия треугольников CDA и BDK  имеем:

Тогда    и   .

Откуда

                         (1)

Подставляя (1) в равенство (*) имеем:

  +

     a²n+b²m=d (d+p) (m+n)

     a²n+b²m=(d²+dp) (m+n)

     a²n+b²m=d²(m+n)+dp(m+n)

     a²n+b²m- d²c=dp(m+n). Так как dp=mn, то

     a²n+b²m- d²c=mn(m+n) = mnc.         Ч.т .д.  

Заключение

         За время обучения в школе мы решаем огромное количество задач, овладеваем общим умением решения задач. В процессе решения задач стараемся понять, в чём состоят приёмы и методы решения задач. В частности, при решении задач часто встречается применения векторов (доказательство теоремы о средней линии трапеции), а также в решении многих задач школьного курса применяется теорема косинусов. Применение  этих и других способов решения задач я использовала в своей работе. Сама теорема Стюарта редко применяется при доказательстве теорем  или при решении задач. Дальнейшую свою работу вижу в том, что заинтересоваться задачами, при решении которых применяется теорема Стюарта.

Вывод:

      Чтобы научится решать задачи, доказывать теоремы, надо много поработать: иметь хорошую начальную базу, любовь к предмету, заинтересованность этим предметом и творческий поиск. Надо найти такой подход к  доказательству теорем, при котором теорема выступает как объект тщательного обучения, а её доказательство - как объект конструирования и изобретения.

                        Литература:

1.    Геометрия 7- 9 класс. А. В. Погорелов.- М. «Просвещение», 1997.

2.    Как научиться решать задачи. Л.М. Фридман,

Е.Н. Турецкий. М. « Просвещение», 1998.

3.    Математика в школе. Журналы