Презентация к уроку "Понятие производной"

• 1 слайд

  Название дисциплины математика
  Автор презентации:Дегтярева МВ
  Контактная информация об авторе:преподаватель математики методист АНО СПО «Колледж КЭСи»
  Дата создания презентации:07.01.2016
  Тема
  Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции
  

• 2 слайд

  Цель:
  1) Ввести определение производной функции на основе задач физики, рассматривая при этом физический смысл производной;
  2) Выяснить геометрический смысл производной дифференцируемой функции; 3) Вывести уравнение касательной к графику функции, с использованием производной;
  4) Научить решать задачи на данную тему, используя полученные знания 5) Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,
  6) Развитие навыков исследовательской деятельности 7)Способствовать развитию творческой деятельности 8) Развивать у учащихся коммуникативные компетенции,потребности к самообразованию.
  

• 3 слайд

  Ввести определение производной функции на основе задач физики, рассматривая при этом физический смысл производной;
  Выяснить геометрический смысл производной дифференцируемой
  функции;
  Вывести уравнение касательной к графику функции, с использованием
  производной;
  Вопросы:
  

• 4 слайд

  Приращение аргумента,
  приращение функции.
  Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х-х0 называется приращением независимой переменной
  (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х.
  ∆х = х – х0 – приращение независимой переменной
  Приращением функции f в точке x0 называется разность между значениями функции в произвольной точке и значением функции в фиксированной точке.
  
  f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – приращение функции f
  ∆f=f(х0+∆х) – f(х0)
  
  

• 5 слайд

  Определение производной
  Пусть на некотором интервале (a, b) определена функция y= f(x). Возьмем любую точку x0 из этого интервала и зададим аргументу x в точке x0 произвольное приращение ∆x такое, что точка x0 +∆ x принадлежит этому интервалу. Функция получит приращение
  
  Производной функции y=f(x) в точке x =x0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x, при стремлении приращения аргумента к нулю.
  5
  

• 6 слайд

  АЛГОРИТМ вычисления производной
  Производная функции y= f(x) может быть найдена по следующей схеме:
  1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x).
  2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x).
  3. Составляем отношение
  4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е.
  
  
  
  
  ( если этот предел существует).
  
  6
  

• 7 слайд

  Определение производной.
  Задача. Найти производную функции f(x)=x2, используя определение.
  Решение. 1) f(x0)=x02 - значение функции в фиксированной точке.
  f(x0+∆x)=(x0+∆x)2-значение функции в произвольной точке.
  2) Найдём приращение функции:
  ∆f=f(x0+∆x)-f(x0)=(x0+∆x)2-x02 =x02+2x0∆x+∆x2-x02=2x0∆x+∆x2.
  3)Найдем разностное отношение:
  4)При ∆x 0 2х0+∆х 2х0, значит (х02)'=2х0.
  5)Для любого х: (х2)'=2х.
  
  

• 8 слайд

  Определение производной от функции в данной точке. Ее геометрический смысл
  х
  y
  0
  
  
  
  k – угловой коэффициент прямой(секущей)
  Касательная
  А
  В
  Итог
  Геометрический смысл производной
  Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
  

• 9 слайд

  Геометрический смысл производной
  Геометрический смысл производной со-
  стоит в том, что производная в точке х0
  равна угловому коэффициенту касательной
  в точке х0 и тангенсу угла наклона касатель-
  ной
  k=tgα=∆y/∆x
  
  
  
  

• 10 слайд

  Физический смысл производной
  
  1. Задача об определении скорости движения материальной частицы
  Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t0 .
  К моменту времени t0 пройденный путь равен s0 = s(t0), а к моменту (t0 +∆t) – путь s0 + ∆s=s(t0 +∆t).
  Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет
  Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0. Поэтому под скоростью точки в момент t0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е.
  
  
  10
  

• 11 слайд

  11
  2. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ
  Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения
  - скорость химической реакции в данный момент
  времени t.
  
  
  3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА
  Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).
  Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением
  
  
  а мгновенная скорость распада в момент времени t
  
  .
  

• 12 слайд

  Механический смысл производной
  Механический смысл производной состо-
  ит в том, что производная пути по време-
  ни равна мгновенной скорости в момент
  времени t0:
  S'(t0)=V(t0).
  

• 13 слайд

  Физический смысл производной функции в данной точке
  .
  

• 14 слайд

  Производные основных элементарных функций
  14
  

• 15 слайд

  Основные правила дифференцирования
  Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции в точке x.
  1) (u  v) = u  v
  2) (uv) = uv +uv
  (cu) = cu
  3) , если v  0
  
  Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
  
  15
  

• 16 слайд

  Выводы:
  
  Вычисление производных требует от учащихся хороших теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания. На следующих уроках вы увидите многообразие применения производной.
  

• 17 слайд

  Источники информации:
  Высшая математика : Учеб. для вузов/ В. С. Шипачев.- М.: Высш. школа,2005.
  Высшая математика : Учеб.- 2-е изд., перераб. и доп./ Ильин В.А., Куркина А. – М.:ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006.
  Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н; под ред. проф. Кремера Н.Ш.-2-е изд., перераб. и доп. –М.: ЮНИТИ, 2000.
  Математика: Учебник (Серия «Профессиональное образование»)/ Дадаян А.А.- М.: ФОРУМ: ИНФА-М,2004.
  Математический анализ: задачи и решения : учебное пособие/ Г.И. Просветов. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.