Презентация к уроку "Различные способы решения квадратных уравнений"

• 1 слайд

  Прозвенел звонок для нас.
  Все зашли спокойно в класс.
  Встали все у парт красиво,
  Поздоровались учтиво.
  Тихо сели, спинки прямо.
  Вижу, класс наш хоть куда.
  Мы начнём урок, друзья.
  

• 2 слайд

  1. Уравнение второй степени.
  2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?
  3. Равенство с переменной?
  4. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
  5. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1?
  6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?
  7. Что значит решить уравнение?
  

• 3 слайд

  «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»
  У. Сойер
  

• 4 слайд

  Различные способы
  решения квадратных
  уравнений
  

• 5 слайд

  Когда уравненье решаешь, дружок,
  Ты должен найти у него корешок.
  Значение буквы проверить несложно,
  Поставь в уравненье его осторожно.
  Коль верное равенство выйдет у вас,
  То корнем значенье зовите тотчас.
  О.Севостьянова
  

• 6 слайд

  
  
  
  
  
  Первый способ:
  Решение квадратных уравнений по формуле.
  

• 7 слайд

  Задание 1: Решите квадратные уравнения :
  
  1. 2х2-5х+2=0,
  2. 6х2+5х+1=0,
  3. 2х2-3х+2=0,
  4. 4х2-12х+9=0.
  

• 8 слайд

  ответы:
  
  
  
  
  
  х1= ½, х2=2.
  х1= -½, х2= -⅓.
  решений нет.
  х1=1,5, х2=1,5.
  
  1. 2х2-5х+2=0
  2. 6х2+5х+1=0
  3. 2х2-3х+2=0
  4. 4х2-12х+9=0
  

• 9 слайд

  Уравнение, вида х2+pх+q=0, называется приведённым. Его корни можно найти по теореме, обратной теореме Виета:
  х1+х2=-p,
  х1∙х2=q.
  Например,
  уравнение х2-3х+2=0
  имеет корни х1=2, х2=1
  так как х1+х2=3, х1∙х2=2.
  Второй способ:
  

• 10 слайд

  Задание 2. Решите приведённые квадратные уравнения по теореме, обратной теореме Виета.
  х2+10х+9=0,
  х2+7х+12=0,
  х2-10х-24=0,
  х2-16х+60=0.
  
  
  

• 11 слайд

  ответы:
  
  
  
  
  х1=-9,х2=-1.
  х1=-4,х2=-3.
  х1=12,х2=-2.
  х1=10,х2=6
  х2+10х+9=0
  х2+7х+12=0
  х2-10х-24=0
  х2-16х+60=0
  
  

• 12 слайд

  Решить квадратное уравнение можно способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант - точный квадрат.
  Например: Решим уравнение 2х2-11х+15=0.
  «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: у2-11у+30=0.
  По теореме, обратной теореме Виета у1= 5,у2= 6. тогда х1=у1/2, х2=у2/2; т.е. х1=2,5 , х2=3.
  
  Третий способ:
  

• 13 слайд

  Задание 3: Решите уравнения, используя метод «переброски»:
  1. 2х2-9х+9=0,
  2. 10х2-11х+3=0,
  3. 3х2+11х+6=0,
  4. 4х2+12х+5=0.
  
  .
  

• 14 слайд

  ответы
  1. 2х2-9х+9=0
  2. 10х2-11х+3=0
  3. 3х2+11х+6=0
  4. 4х2+12х+5=0
  
  х1=1,5 , х2=3.
  х1=0,5 ,х2=0,6.
  х1=-3,х2=- .
  х1=-2,5,х2=-0,5.
  

• 15 слайд

  Пусть дано квадратное уравнение ах2+вх+с=0, где а≠0.
  1.Если а+в+с=0(т.е.сумма коэффициентов
  уравнения равна нулю), то х1=1,х2=с/а.
  Например: 345х2-137х-208=0 (345-137-208=0), значит,
  х1= 1,х2= - 208/345.
  2.Если а-в+с=0 (или в=а+с), то х1=-1,х2= - с/а.
  Например, 313х2+326х+13=0 (326=313+13), значит
  х1=-1,х2=-13/313.
  Четвёртый способ:
  Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
  

• 16 слайд

  1. 5х2-7х+2=0;
  2. 3х2+5х-8=0;
  3. 11х2+25х-36=0;
  4. 11х2+27х+16=0.
  
  Задание 4: Решите квадратные уравнения методом «коэффициентов»:
  
  
  

• 17 слайд

  1. 5х2-7х+2=0
  2. 3х2+5х-8=0
  3. 11х2+25х-36=0
  4. 11х2+27х+16=0
  
  ответы:
  
  х1=1,х2= .
  х1=1,х2=- .
  х1=1,х2=- .
  х1=-1,х2=- .
  
  

• 18 слайд

  
  Пятый способ:
  
  Метод выделения полного квадрата.
  
  Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.
  
  Выделим в левой части полный квадрат.
  
  Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:
  
  х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
  
  В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3.
  Для этого чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9 и отнять 9
  
  ( х2 + 2• х • 3 + 9 ) – 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
  
  Таким образом, данное уравнение можно записать так:
  
  (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
  
  Следовательно, х + 3 = 4 или х + 3 = -4
  
  
  х1 = 1
  х2 = -7.
  

• 19 слайд

  1. х2-10х+24=0;
  2. х2-8х+15=0;
  3. х2+6х+8=0;
  4. х2-16х+ 60=0.
  
  Задание 5: Решите квадратные уравнения методом «выделения полного квадрата»:
  
  
  

• 20 слайд

  ответы:
  
  х1=6,х2= 4
  Х1=3,х2= 5
  х1= -4,х2=-2
  х1=10,х2=6
  
  1. х2-10х+24=0
  2. х2-8х+15=0
  3. х2+6х+8=0
  4. х2-16х+ 60=0
  
  

• 21 слайд

  Разложение левой части уравнения на множители.
  
  Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0.
  
  Разложим левую часть на множители:
  х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 =
  =х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
  
  получим уравнение:
  (х + 12)(х - 2) = 0
  х = - 12 х = 2
  
  Шестой способ:
  
  
  

• 22 слайд

  1. х2-8х+15=0;
  2. х2- 12х+20=0;
  3. х2- 4х+3=0;
  4. х2+6х+8=0.
  
  Задание 6: решите квадратное уравнение разложением левой части на множители:
  
  
  

• 23 слайд

  
  
  ответы:
  
  х1=3,х2= 5.
  х1=10,х2= 2.
  х1=1,х2= 3.
  х1=-4,х2= -2.
  
  1. х2-8х+15=0;
  2. х2- 12х+20=0;
  3. х2- 4х+3=0;
  4. х2+6х+8=0.
  

• 24 слайд

  Седьмой способ:
  
  
  Графическое решение квадратного уравнения.
  Если в уравнении
  х2 + px + q = 0
  перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
  х2 = - px - q.
  Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.
  

• 25 слайд

  
  Задание 7:
  
  
  Решите графически уравнение
  
  х2 - 3х - 4 = 0
  
  
  
  
  

• 26 слайд

  
  Решение задания 7:
  
  
  
  Запишем уравнение в виде
  х2 = 3х + 4.
  Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.
  Прямую
  у = 3х + 4 можно построить по двум точкам
  М (0; 4) и N (3; 13).
  
  
  
  
  
  Ответ: х1 = - 1; х2 = 4
  

• 27 слайд

  Восьмой способ:
  
  
  Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
  нахождения корней квадратного уравнения
  ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки .
  Тогда по теореме о секущих имеем
  OB • OD = OA • OC,
  откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.
  

• 28 слайд

  
  Девятый способ:
  
  
  Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
  z2 + pz + q = 0.
  Криволинейная шкала номограммы построена по формулам
  Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а
  Из подобия треугольников САН и CDF
  получим пропорцию
  

• 29 слайд

  Десятый способ:
  
  
  Геометрический способ решения квадратных уравнений.
  • Примеры.
  1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.
  В оригинале эта задача формулируется следующим образом :
  «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
  Для искомой стороны х первоначального
  квадрата получим
  

• 30 слайд

  Выберите утверждение, которое соответствовало вашему настроению на уроке:
  
  Перепрыгивающему пропасть не следует делать два шага.
  О, монах, ты идешь трудной дорогой.
  Учиться, обучая.
  Ах, как я устал от этой суеты.
  Без труда не вытащишь рыбку из пруда.
  
  
  
  

• 31 слайд

  Домашнее задание:
  Из учебника подобрать по два уравнения к каждому из предложенных способов и решить их.