Презентация к уроку "Системы счисления".

• 1 слайд

  СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
  УРОК-ЛЕКЦИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
  

• 2 слайд

  Подумайте, сколькими разными способами можно записать число «десять». Один способ уже представлен в предыдущем предложении. Можно назвать еще достаточно
  много способов написания этого числа: 10, X, ten и т.д. Очевидно, что от написания названия числа его значение – «вес» – не изменяется. Следовательно, под числом понимается его величина, а не его символьная запись. Понятие числа – фундаментальное понятие как математики, так и информатики. Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.
  
  

• 3 слайд

  3
  СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. Определения
  Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.
  Числа:
  123, 45678, 1010011, CXL
  Цифры:
  0, 1, 2, … I, V, X, L, …
  Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  Типы систем счисления:
  непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
  позиционные – зависит…
  
  

• 4 слайд

  4
  Римская система счисления
  Правила:
  (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
  если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
  Примеры:
  MDCXLIV =
  1000
  + 500
  + 100
  – 10
  + 50
  – 1
  + 5
  2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
  2389 = M M C C C L X X X I X
  M M
  CCC
  LXXX
  IX
  = 1644
  

• 5 слайд

  5
  Римская система счисления
  Недостатки:
  для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
  как записать дробные числа?
  как выполнять арифметические действия:
  CCCLIX + CLXXIV =?
  Где используется:
  номера глав в книгах:
  обозначение веков: «Пираты XX века»
  циферблат часов
  
  

• 6 слайд

  Непозиционная система счисления
  
  – система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых «вес» символа) всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа. Самым известным примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. В римской системе счисления для записи числа в качестве цифр используются буквы
  латинского алфавита.
  I – 1
  V – 5
  X – 10
  L – 50
  C – 100
  D – 500
  M – 1000
  

• 7 слайд

  Для записи чисел в римской системе используются два правила:
  1) каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него;
  2) каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.
  
  III = 1+1+1=3
  IV = -1+5 = 4
  VI = 5+1 =6
  XL = –10+50 = 40
  LX = 50+10 = 60
  XC = –10+100 = 90
  CIX =100–1+10 = 109
  MCMXCVIII = 1000–100+1000-10+100+5+1+1+1=1998
  

• 8 слайд

  Позиционной системой счисления называется система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения в ряду других цифр, изображающих число.
  Положение, занимаемой цифрой при письменном обозначении числа называется разрядом.
  Наша, естественная система счисления – десятичная – является позиционной. Это значит, что в числе 1978, цифра «1» – обозначает одну тысячу. Эта цифра стоит в позиции третьего разряда. Цифра «9» – девять сотен, второй разряд. Цифра «7» – семь десятков, первый разряд. А «8» – восемь единиц, нулевой разряд. Распишем вышесказанное в виде математической формулы:
  
  1978 =1000+ 900+ 70+8 =1⋅1000+ 9 ⋅100+ 7 ⋅10+8 =
  =1⋅103 + 9 ⋅102 + 7 ⋅101 +8 ⋅100
  

• 9 слайд

  Распишем подобным образом дробное число:
  
  3019,7294 = 3⋅103 + 0 ⋅102 +1⋅101 +9 ⋅100 + 7 ⋅10−1 + 2 ⋅10−2 +9 ⋅10−3 + 4 ⋅10−4 .
  
  Очевидно, что в десятичной системе счисления числа 10n , где n = (−∞,+∞) – номер разряда, играют ключевую роль в формировании записи числа. Эти числа называются базисом десятичной системы счисления. Число 10 для нашей десятичной системы счисления является ее основанием. Оно показывает, что каждые десять единиц образуют один десяток, десять десятков образуют одну сотню, десять сотен образуют одну тысячу и т.д. В общем случае, для десятичной системы счисления, каждые десять единиц любого
  разряда образуют одну единицу соседнего, более старшего разряда.
  

• 10 слайд

  10
  Позиционные системы
  Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
  Десятичная система:
  первоначально – счет на пальцах
  изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
  Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
  Основание (количество цифр): 10
  3 7 8
  2 1 0
  разряды
  сотни десятки единицы
  8
  70
  300
  = 3·102 + 7·101 + 8·100
  Другие позиционные системы:
  двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
  двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
  двадцатеричная (1 франк = 20 су)
  шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)
  

• 11 слайд

  Базис системы счисления — это последовательность ключевых чисел, каждое из которых задает значение цифры в ее позиции или «вес» каждого разряда.
  

• 12 слайд

  Алгоритм 1.
  Для того чтобы исходное целое десятичное число A заменить равным ему целым числом Bp, необходимо число A разделить нацело на новое основание p,выделив частное и остаток. Полученное частное вновь разделить нацело на основание p и т.д. Цифрами искомого числа Bp являются остатки от деления, выписанные так, чтобы последний остаток являлся бы цифрой старшего разряда числа Bp.
  

• 13 слайд

  Алгоритм 2
  Для того чтобы исходную правильную десятичную дробь 0,A заменить равной ей правильной дробью 0,Bp, нужно 0,A умножить на новое основание p. Целую часть полученного произведения считать цифрой старшего разряда искомой дроби. Дробную часть полученного произведения вновь умножить на p, целую часть полученного результата считать следующей цифрой искомой дроби. Эти операции
  продолжать до тех пор, пока дробная часть не окажется равной нулю, или не будет найден период, либо не будет достигнута требуемая точность.
  

• 14 слайд

  Алгоритм 3
  Для того чтобы исходное целое число Aq заменить равным ему целым десятичным числом B, достаточно цифру старшего разряда числа Aq умножить по
  правилам десятичной арифметики на старое основание q. К полученному произведению прибавить цифру следующего разряда числа Aq. Полученную сумму вновь умножить на q, вновь к полученному произведению прибавить цифру следующего (более младшего) разряда. Так поступают до тех пор, пока не будет прибавлена младшая цифра числа Aq.
  Полученное число и будет искомым числом десятичным B.
  

• 15 слайд

  15
  Двоичная система счисления. Перевод целых чисел
  Двоичная система:
  Алфавит: 0, 1
  Основание (количество цифр): 2
  10  2
  2  10
  19
  2
  9
  18
  1
  2
  4
  8
  1
  2
  2
  4
  0
  2
  1
  2
  0
  2
  0
  0
  1
  19 = 100112
  система счисления
  100112
  4 3 2 1 0
  разряды
  = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
  = 16 + 2 + 1 = 19
  

• 16 слайд

  16
  Арифметические операции
  сложение
  вычитание
  0+0=0 0+1=1
  1+0=1 1+1=102
  1 + 1 + 1 = 112
  0-0=0 1-1=0
  1-0=1 102-1=1
  перенос
  заем
  1 0 1 1 02
  + 1 1 1 0 1 12
  1
  
  0
  0
  
  0
  1
  1
  0
  2
  1 0 0 0 1 0 12
  – 1 1 0 1 12
  0
  2
  1
  
  
  0 102
  1
  0
  0 1 1 102
  0
  1
  0
  
  
  
  

• 17 слайд

  17
  Арифметические операции
  умножение
  деление
  1 0 1 0 12
   1 0 12
  1 0 1 0 12
  + 1 0 1 0 12
  1 1 0 1 0 0 12
  1 0 1 0 12
  – 1 1 12
  1 1 12
  1
  1
  2
  1 1 12
  – 1 1 12
  0
  

• 18 слайд

  18
  Плюсы и минусы двоичной системы
  нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
  надежность и помехоустойчивость двоичных кодов;
  выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными.
  простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей;
  двоичные числа имеют много разрядов;
  запись числа в двоичной системе однородна,
  то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.
  

• 19 слайд

  19
  Восьмеричная система
  Основание (количество цифр): 8
  Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
  10  8
  8  10
  100
  8
  12
  96
  4
  8
  1
  8
  4
  8
  0
  0
  1
  100 = 1448
  система счисления
  1448
  2 1 0
  разряды
  = 1·82 + 4·81 + 4·80
  = 64 + 32 + 4 = 100
  

• 20 слайд

  20
  Таблица восьмеричных чисел
  

• 21 слайд

  21
  Перевод в двоичную и обратно
  8
  10
  2
  трудоемко
  2 действия
  8 = 23
  Каждая восьмеричная цифра может быть
  записана как три двоичных (триада)!
  !
  17258 =
  1 7 2 5
  001
  111
  010
  1012
  {
  {
  {
  {
  

• 22 слайд

  22
  Перевод из двоичной системы
  10010111011112
  Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
  001 001 011 101 1112
  Шаг 2. Каждую триаду записать одной
  восьмеричной цифрой:
  1
  3
  5
  7
  Ответ: 10010111011112 = 113578
  001 001 011 101 1112
  1
  

• 23 слайд

  Двоичная система счисления является минимальной системой, в которой реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи числа. В двоичной системе счисления значение каждой цифры по месту при переходе от любого данного разряда к следующему старшему разряду увеличивается вдвое.
  Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой основы при конструировании ЭВМ с программным управлением состоялось под влиянием работы А. Беркса, Х. Гольдстайна и Дж. фон Неймана над проектом первой ЭВМ с хранимой в памяти программой.
  Арифметика двоичной системы счисления, как и всякой другой позиционной системы, основывается на использовании таблиц сложения и умножения цифр.
  

• 24 слайд

  Сложение двух многозначных двоичных чисел проводится «столбиком» Выравниваем два числа по запятой, а затем складываем соответствующие разряды этих чисел. При сложении двух единиц в соответствующем разряде суммы записываем ноль и единицу переносим в соседний старший разряд.
  
  Умножение двоичных чисел также проводится столбиком.
  

• 25 слайд

  25
  Арифметические операции
  сложение
  1 5 68
  + 6 6 28
  
  1
  6 + 2 = 8 = 8 + 0
  5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
  1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
  
  
  1 в перенос
  1 в перенос
  
  08
  0
  4
  1 в перенос
  

• 26 слайд

  26
  Арифметические операции
  вычитание
  4 5 68
  – 2 7 78
  
  (6 + 8) – 7 = 7
  (5 – 1 + 8) – 7 = 5
  (4 – 1) – 2 = 1
  
  заем
  78
  1
  5
  заем
  

• 27 слайд

  27
  Шестнадцатеричная система
  Основание (количество цифр): 16
  Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
  10  16
  16  10
  107
  16
  6
  96
  11
  16
  0
  0
  6
  107 = 6B16
  система счисления
  1C516
  2 1 0
  разряды
  = 1·162 + 12·161 + 5·160
  = 256 + 192 + 5 = 453
  A,
  10
  B,
  11
  C,
  12
  D,
  13
  E,
  14
  F
  15
  B
  C
  

• 28 слайд

  28
  Таблица шестнадцатеричных чисел
  

• 29 слайд

  29
  Перевод в двоичную систему
  16
  10
  2
  трудоемко
  2 действия
  16 = 24
  Каждая шестнадцатеричная цифра может быть
  записана как четыре двоичных (тетрада)!
  !
  7F1A16 =
  7 F 1 A
  0111
  {
  {
  1111
  0001
  10102
  {
  {
  

• 30 слайд

  30
  Перевод из двоичной системы
  10010111011112
  Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
  0001 0010 1110 11112
  Шаг 2. Каждую тетраду записать одной
  шестнадцатеричной цифрой:
  0001 0010 1110 11112
  1
  2
  E
  F
  Ответ: 10010111011112 = 12EF16
  

• 31 слайд

  31
  Перевод в восьмеричную и обратно
  трудоемко
  3DEA16 =
  11 1101 1110 10102
  16
  10
  8
  2
  Шаг 1. Перевести в двоичную систему:
  Шаг 2. Разбить на триады:
  Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:
  011 110 111 101 0102
  3DEA16 = 367528
  

• 32 слайд

  32
  Арифметические операции
  сложение
  A 5 B16
  + C 7 E16
  
  
  1 6 D 916
  10 5 11
  + 12 7 14
  
  11+14=25=16+9
  5+7+1=13=D16
  10+12=22=16+6
  
  
  1 в перенос
  1 в перенос
  13
  9
  6
  1
  

• 33 слайд

  33
  Арифметические операции
  вычитание
  С 5 B16
  – A 7 E16
  
  заем
  
  1 D D16
  12 5 11
  – 10 7 14
  
  
  (11+16)–14=13=D16
  (5 – 1)+16 – 7=13=D16
  (12 – 1) – 10 = 1
  
  заем
  13
  1
  13
  

• 34 слайд

  Давайте задумается над вопросом: какая из возможных позиционных систем счисления наиболее оптимальна для ручных вычислений? А для машинных вычислений?
  С устными (ручными) вычислениями вроде бы все ясно. Мы с детства изучаем десятичную систему счисления. Начало использования системы счисления с основанием10 очевидно – счет с помощью пальцев. Так что десятичный счет – это традиция, заложенная тысячелетиями.
  Но удобно ли использовать десятичную систему счисления в машинных вычислениях? Один из самых важных критериев – объем памяти, которая хранит числа представленные в той или иной системе счисления. Другой критерий – величина самого большого числа, которое может быть представлено в этом объеме памяти.
  
  
  

• 35 слайд

  Введем понятие экономичности представления числа в данной системе счисления.
  Под экономичностью системы счисления будем понимать то количество чисел, которое можно записать в данной системе с помощью определенного количества цифр.
  Речь в данном случае идет не о количестве разрядов, а об общем количестве сочетаний цифр, которые интерпретируются как различные числа.
  

• 36 слайд

  Например, чтобы написать 1000 чисел (от 000 до 999) в десятичной системе счисления нам нужно 30 цифр (от 0 до 9 на каждый из трех разрядов). А в двоичной системе с помощью 30 цифр мы можем составить 215 различных чисел.
  Количество разрядов в числе
  0/2=15 , количество цифр – две (0 и 1).
  
  215 = 32768 >1000 . Поэтому двоичная система счисления экономичнее десятичной.
  
  

• 37 слайд

  В 60-х годах в нашей стране была построена вычислительная машина «Сетунь», которая работала в троичной системе счисления. Предпочтение все же отдается двоичной системе, поскольку по экономичности она оказывается второй за троичной, а технически она реализуется гораздо проще остальных.
  Таким образом, простота технических решений оказывается не единственным аргументом в пользу применения двоичной системы в
  компьютерах.
  

• 38 слайд

  Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и, кроме того, она плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц).
  Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств и пр. используются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано ниже, весьма простым образом.
  

• 39 слайд

  Алгоритм 4
  Для записи двоичного числа в системе с основанием q=2n достаточно данное двоичное число разбить на группы цифр от запятой по n цифр в каждой группе.
  Затем каждую группу цифр следует рассматривать как n-разрядное двоичное число и записать его как цифру в системе с основанием q=2n.
  

• 40 слайд

  Для того чтобы быстро переводит числа из двоичной системы счисления в системы счисления с основанием 2n нужно запомнить следующие таблицы соответствия.
  

• 41 слайд

  ВЫВОДЫ
  Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую производится путем деления числа или методом подбора.
  Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную или щестнадцатеричную системы производится путем разбития числа на триады и тетрады, используя таблицы восьмеричных и шестнадцатеричных чисел.