Презентация к занятию элективного курса "Графики кусочно – заданных функций" 9 класс

• 1 слайд

  Графики
  кусочно – заданных
  функций
  Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область
  

• 2 слайд

  Цель:
  освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
  научиться применять его в простых ситуациях.
  

• 3 слайд

  Что такое сплайн?
  Под сплайном (от англ. spline — планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.
  Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.
  В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.
  

• 4 слайд

  Содержание
  1. Введение
  2. Определение линейного сплайна
  3. Определение модуля
  4. Построение графиков
  5. Практическая работа
  

• 5 слайд

  Графики функций широко используются в различных областях инженерных знаний, поэтому умение строить, “читать”, прогнозировать их “поведение” имеют огромную роль в практической деятельности инженерных работников, метеорологов и людей других “математических” специальностей
  

• 6 слайд

  Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.
  Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное (непрерывное) и скачкообразное.
  

• 7 слайд

  При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения, а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно, становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).
  Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы.
  
  

• 8 слайд

  Один из способов введения таких разрывов следующий:
  Пусть функция y = f(x)
  при x<a определена формулой y = g(x),
  а при x>a - формулой y = h(x), причем будем считать, что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет.
  Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок;
  если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной.
  

• 9 слайд

  Графики разрывных функций
  

• 10 слайд

  Графики непрерывных функций
  y=cos x
  

• 11 слайд

  У = |X-1| + 1
  У=2-х
  У= х
  Х=1 –точка смены формул
  1
  1
  0
  Построить график функции:
  

• 12 слайд

  Определение модуля
  Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».
  Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).
  
  Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.
  Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а, если а<0.
  0
  а
  А
  х
  

• 13 слайд

  Построить график функции у = 3|х|-2.
  По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х>0 или х=0
  у =
  -3х -2 при х<0
  У=3х-2
  У=-3х-2
  1
  1
  0
  у
  х
  -2
  

• 14 слайд

  . Пусть заданы х1< х2 < … < хn – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.
  Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале
  и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.
  Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном. Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x < xn) и правым (отвечающим значениям x >xn)
  

• 15 слайд

  1
  1
  -1
  х
  у
  У =
  У=|x| - |x – 1|
  Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами
  0
  График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х<0) и правым (x>1).
  Точки смены формул: х=0 и х=1.
  У(0)=-1, у(1)=1.
  

• 16 слайд

  Метод линейного сплайна
  График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной.
  Кроме построения n вершин следует построить также две точки: одну левее вершины A1 (x1; y (x1)), другую – правее вершины An (xn; y (xn)).
  Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов.
  

• 17 слайд

  Построить график функции у = х+ |x -2| - |X|.
  Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном
  
  
  
  1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2; Х=0
  2.Составим таблицу:
  3
  2
  0
  -1
  х
  1
  0
  2
  1
  у
  У(0)= 0+|0-2|-|0|=0+2-0=2;
  у(2)=2+|2-2|-|2|=2+0-2=0;
  у(-1)= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1=1;
  у(3)=3+|3-2| - |3|=3+1-3=1.
  2
  2
  0
  у
  х
  

• 18 слайд

  Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.
  1.Точки смены формул:
  х+1=0, х=-1;
  х=0; х-2=0, х=2.
  2. Составим таблицу:
  6
  5
  -1
  -2
  -1
  у
  3
  2
  0
  -1
  -2
  x
  y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;
  y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;
  y(0)=1+0-2=-1;
  y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;
  y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.
  x
  у
  1
  1
  2
  0
  -1
  

• 19 слайд

  Решите уравнение:
  |x – 1| = |x + 3|
  Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| - |x +3|
  Построим график функции /методом линейного сплайна/
  Точки смены формул:
  х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = - 3.
  2. Составим таблицу:
  - 4
  - 4
  4
  4
  у
  2
  1
  -3
  - 4
  х
  y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;
  y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;
  y(1)=|1-1| - |1+3| = - 4;
  y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.
  x
  y
  0
  1
  1
  y(-1) = 0.
  Ответ: -1.
  

• 20 слайд

  Задачи
  

• 21 слайд

  1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:
  
  
  у = |x – 3| + |x|;
  
  1). Точки смены формул:
  
  2). Составим таблицу:
  
  
  
  у( ) =
  у( ) =
  у( ) =
  У( )=
  х
  у
  
  
  
  
  
  1
  

• 22 слайд

  2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика»
  А) у = |2x – 4| + |x +1|
  1) Точки смены формул:
  2) y( ) =
  y( ) =
  y( ) =
  у( ) =
  
  Б) Постройте графики функций, установите закономерность:
  
  a) у = |х – 4| б) y = |x| +1
  y = |x + 3| y = |x| - 3
  y = |x – 3| y = |x| - 5
  y = |x + 4| y = |x| + 4
  
  
  1. Меню «Графики».
  2. Вкладка «Построить график».
  .3. В окне «Калькулятор» задать формулу.
  Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.
  

• 23 слайд

  3) У =
  
  Постройте график функции:
  1) У = 2х + 4
  

• 24 слайд

  Литература:
  1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.
  2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2009
  3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2009
  4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия
  http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline