• 

  1 слайд

  Тема занятия: «Теорема о делении с остатком»
  

• 

  2 слайд

  Урок-консультация по теме «Теорема о делении с остатком»
  Цели урока:
  а) образовательные:
  -закрепить знания обучающихся о признаках делимости чисел;
  -познакомить с теоремой о делении с остатком, со свойствами деления с остатком;
  б) развивающие: развивать вычислительные навыки обучающихся;
  в) воспитательные:
  -организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;
  -стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
  -учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;
  

• 

  3 слайд

  Ход занятия
  Организационный момент.
  Актуализация опорных знаний.
  Изучение нового материала
  Физкультминутка
  Закрепление изученного материала.
  Проверка и обсуждение заданий.
  Итог урока.
  Домашнее задание.
  
  

• 

  4 слайд

  Актуализация опорных знаний
  Какие числа называют натуральными? Приведите пример.
  Какие числа называют целыми? Приведите пример.
  Какое число называют делителем натурального числа a?
  Какое число называют кратным натуральному числу a?
  Назовите все делители числа 56.
  Назовите все двухзначные числа, кратные числу 17.
  
  
  

• 

  5 слайд

  Запись 0:0 не имеет числового значения, т.к. для всех целых b справедливо равенство 0=b*0 и потому 0:0 не определено однозначно.
  
  Определение. Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует целое число k, такое, что a=bk.
  
  Пример. –48 делится на 8, так как существует целое число –6, что -48=8*(-6).
  
  Изучение нового материала Понятие делимости
  Не имеет числового значения запись а:0, т.к. в этом случае нет ни одного целого числа с, что а = 0*с
  

• 

  6 слайд

  Признаки делимости
  Число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается четной цифрой
  Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
  Число делится на 4 (n-ую степень 2) тогда и только тогда, когда число, выраженное двумя ( n) последними цифрами, делится на 4 (n-ую степень 2).
  Число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда на 3 (9) делится его сумма цифр.
  Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность его цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.
  
  

• 

  7 слайд

  Деление с остатком
  Основой применения понятия деления с остатком является следующая теорема:
  Теорема о делении с остатком. Для любого целого числа a и натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r , таких, что a=bq + r , где q – целое, r – натуральное число или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; …; b – 1.
  Пример. Найдем остаток, который получается при делении на 9 числа 286167.
  Решение. Исходя из признака делимости числа на 9, остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления на 9 суммы его цифр. Сумма цифр данного числа равна 30 и при делении на 9 дает в остатке 3. Значит, 286167 = 9р + 3, где р – натуральное число.
  
  

• 

  8 слайд

  Свойство деления с остатком
  Числа a и b дают при делении на n равные остатки тогда и только тогда, когда разность a - b делится на n.
  Пример 1. 204 и – 71 при делении на 5 дают равные остатки, так как 204 – (- 71)=275 , а 275 делится на 5.
  Пример 2. Найдем остаток от деления числа 1763 на 14.
  Решение. 17 ≡ 3 (mod 14). Тогда 1763≡363 (mod 14). Чтобы найти остаток от деления 363 на 14, воспользуемся тем, что 33≡ -1(mod 14). Значит, (33)21≡(-1)21 (mod 14). Но (-1)21= -1 и 1≡13 (mod 14). Тогда по свойству транзитивности
  1763≡13 (mod 14), т.е. остаток от деления 1763 на 14 равен 13.
  Ответ: 13.
  
  

• 

  9 слайд

  Алгоритм Евклида
  Пусть при делении а на b, получается остаток r, не равный нулю, т.е. a = bq + r, где 0<r<b. Отсюда r = a - bq . Из свойств делимости вытекает, что если числа а и b делятся на m, то число r также делится на m, а если числа b и r делятся на k , то и число а делится на k. Значит, множество общих натуральных делителей чисел a и b совпадает с множеством общих делителей чисел b и r, поэтому НОД(a, b) = НОД(b, r).
  
  
  

• 

  10 слайд

  Пример. Найти НОД(527, 1984).
  Решение.
  Разделим большее число на меньшее, а затем будем последовательно делить делитель на получившийся остаток, пока деление не будет выполнено на цело:
  1984
  3
  1581
  403
  527
  527
  1
  403
  124
  403
  403
  3
  372
  31
  124
  4
  124
  0
  124
  31
  Ответ: НОД(1984;527)=31.
  

• 

  11 слайд

  Физкультминутка
  

• 

  12 слайд

• 

  13 слайд

• 

  14 слайд

• 

  15 слайд

• 

  16 слайд

• 

  17 слайд

• 

  18 слайд

• 

  19 слайд

• 

  20 слайд

• 

  21 слайд

• 

  22 слайд

• 

  23 слайд

  Закрепление изученного материала
  Класс делится на группы и в каждой группе выбирается консультант.
  Каждой группе учащихся в конвертах даются задания. Консультант раздает каждому ученику по одной задаче и через 10 минут решения собираются и сдаются учителю. Затем продолжается обсуждение и решение в группе остальных упражнений.
  
  

• 

  24 слайд

  Задания группам
  1. Докажите, что сумма квадрата целого числа и самого числа есть число четное.
  2. Докажите, что 1³ + 2³ +…+ 9³ не делится на 10.
  3. Докажите, что если n не кратно ни 3, ни 2 и n > 3, то n² при делении на 24 дает остаток, равный 1.
  4. Числа 2146, 1991 и 1805 дают равные остатки при делении на натуральное число n > 1. Найдите число n.
  5. Найдите НОД всех шестизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений).
  

• 

  25 слайд

  Проверка и обсуждения заданий
  Готовые решения одного из пяти заданий записываются на доске каждой группой. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий.
  
  

• 

  26 слайд

  Итог занятия
  Сформулируйте теорему о делении с остатком.
  Сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 11.
  
  
  

• 

  27 слайд

  Домашнее задание
  Стр. 22-26, № 3.8; № 3.24; №3.69.
  
  Сборник задач по алгебре для 8-9 классов под ред. М.Л. Галицкого.
  

• 

  28 слайд

  Спасибо за урок!
  

Краткое описание материала