Презентация "Многоугольники на решетке. Формула Пика"

• 1 слайд

  Многоугольники на решетке. Формула Пика.
  Выполнила:Гирикова Александра
  Ученица 9 В класса
  Учитель: Милашова Надежда Юрьевна
  

• 2 слайд

  верно ли, что площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге можно вычислить по формуле Пика?
  Гипотеза:
  

• 3 слайд

  Цель работы:
  научиться вычислять площадь любого многоугольника на квадратной решетке с помощью формулы Пика и показать рациональность ее применения
  
  

• 4 слайд

  Основные задачи
  Изучить формулу Пика и биографию ученого;
  Собрать информацию по теме;
  Рассмотреть различные способы решения задач на нахождение площади многоугольника, изображенного на квадратной решетке;
  Подобрать задачи на вычисление площади для подготовки к ОГЭ, которые можно решить по формуле Пика;
  Приготовить презентацию работы и представить общественности.
  

• 5 слайд

  Георг Алекса́ндр Пик ( 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье.
  Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
  
  В 1899 году австрийский математик Георг Пик обнаружил замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги.
  
  

• 6 слайд

  Теорема Пика
  Пусть В − число узлов решетки внутри многоугольника,
  Г − количество узлов на его границе, S − его площадь.
  Тогда справедлива формула Пика:
  S = В + Г/2 – 1
  
  Пример.
  Для многоугольника на рисунке В = 13 (красные точки),
  Г= 6 (синие точки), поэтому
  S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.
  1см
  

• 7 слайд

  Доказательство теоремы Пика
  Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем В=0 и Г=4, то площадь квадрата равна 0+4/2-1=1
  
  1см
  Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны а и b.
  B=(a-1)(b-1), Г=2a+2b и, по формуле Пика,
  S=(a-1)(b-1)+a+b-1=ab .
  

• 8 слайд

  Задачи на нахождение площади многоугольника
  формула Пика
  

• 9 слайд

  Примеры заданий
  
  Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах – синими. Считаем те и другие: В=12, Г=4. Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.
  
  

• 10 слайд

  Вычисление площади при помощи отрезания “лишнего”
  Тогда площадь квадрата Sкв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь зеленого – 2, площадь фиолетового 15.
  Площадь белого треугольника тогда:
  S=36-6-15-2=13.
  

• 11 слайд

  Примеры заданий
  S=В+Г/2-1=4+4-1=7
  Расчет площади с
  помощью разрезания фигуры
  Проверим: площадь треугольников, составляющих фигуру: голубого – 4, зеленого – 1, оранжевого – 2. Сумма их площадей S=4+1+2=7
  

• 12 слайд

  Задания ОГЭ
  
  

• 13 слайд

• 14 слайд

  Основной вывод
  Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге
  
  

• 15 слайд

  Спасибо за внимание!