Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Департамент образования и науки Кемеровской области
ГОУ СПО «Мариинский многопрофильный техникум»
Дифференциальное и интегральное
исчисление в механике
Автор: Дмитрий Бурдаков, студент
I курса гр. ТА-14 (190631 Техническое
обслуживание и ремонт автомобилей)
Руководитель: Г.М. Захарова
2 слайд
Цель работы: доказать, что без знания дифференциального и интегрального исчислений нельзя понять основ современной техники и объяснить фундаментальную роль в системе теоретических и прикладных знаний данного раздела в механике.
3 слайд
В рамках достижения цели были поставлены следующие задачи:
На конкретных примерах показать, что дифференциальное и интегральное исчисления открыли возможность для научного описания количественного и качественного изучения переменных величин и движения в широком смысле этого слова.
2. Практическим путём с помощью конкретных задач объяснить фундаментальную роль в системе теоретических и прикладных знаний данного
раздела в моей будущей профессии автомеханика.
4 слайд
Методы исследования:
теоретический - изучение
дополнительной литературы
и Интернет-ресурсов; анализ учебной
литературы;
практический – решение конкретных
прикладных задач.
5 слайд
Своё доказательство я начну с того, что представлю вашему вниманию фотографию набегающей на берег штормовой океанской волны. Мы остановили мгновение, нам удалось поймать волну, и можем теперь без спешки внимательно изучать её во всех подробностях
6 слайд
Но, остановив волну, мы лишили её движения и жизни. Её зарождение, развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - всё это оказалось вне нашего поля зрения, потому что мы не располагаем пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодным для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей.
7 слайд
А движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, технической механики, геологии, биологии, социологии и др.
8 слайд
Таким языком стал математический анализ,
составляющий основу математических методов
описания переменных величин и их взаимосвязей.
МММ
математический
анализ
9 слайд
В наши дни без математического анализа невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что всё это – динамические процессы, которые повлекли за собой появление основных понятий в математическом аппарате анализа – дифференциальное и интегральное исчисление.
10 слайд
Итак, дифференциальное исчисление – это раздел математического анализа, связанный главным образом с понятием производной и дифференциала функции. В данном разделе изучаются правила вычисления производных и применение производных к исследованию функций.
11 слайд
Кроме того, одним из основных понятий данного раздела является понятие дифференциального уравнения, с помощью которых записываются многие физические законы.
Например, известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна имеющемуся количеству вещества и вычисляется с помощью уравнения:
12 слайд
Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Интегральное исчисление так же возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики.
Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределённого и определённого интегралов.
13 слайд
Выполнив данную работу, я провёл в своей группе
деловую игру «пресс – конференция» и ответил
на вопросы, которые были заданы мне
«корреспондентами» популярных СМИ
14 слайд
Корреспондент журнала «Юный техник» спросил: «Какими конкретными примерами вы можете подтвердить связь дифференциального и интегрального исчисления с технической механикой?»
Я предложил рассмотреть
следующие задачи:
Задача 1. При запуске двигателя его шкив в течение первых нескольких секунд вращается согласно уравнению φ = 0,2t³. Определить скорость и ускорение точек, расположенных на ободе шкива, в момент времени t = 5секундам.
Решение:
15 слайд
Задача 2. Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону s(t) = 2t² + 3t –1 Найти кинетическую энергию тела
(m v²/2) через 3 с после начала движения.
Решение:
Найдём скорость движения тела в любой момент времени t:
2. Вычислим скорость тела в момент времени t = 3с:
3. Определим кинетическую энергию тела в момент t = 3с:
16 слайд
Задача 3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону
v = (29,4 – 9,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъёма.
Решение:
Найдём время, в течение которого тело поднималось вверх:
29,4 – 9,8t = 0 (в момент наибольшего подъёма скорость равна нулю), → 9,8t = 29,4 → t = 3(c).
2. Далее находим наибольшую высоту подъёма:
Задача 4. Какую работу совершает сила в 10 Н при растяжении
пружины на 2 см?
Решение:
По закону Гука сила F пропорциональна растяжению пружины, т.е. F = kx
2. Отсюда находим
17 слайд
Решение:
3. Теперь находим работу:
Задача 5. Сила в 60 Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть её до 20 см?
Находим Т.к. пружину требуется растянуть на
0,06 (м) , то
18 слайд
Корреспондента журнала «За рулём»
интересовал следующий вопрос:
«Могут ли с помощью дифференциального
и интегрального исчисления делать
какие –либо расчёты автомеханики
и автомобилисты?»
Предлагаю вашему
вниманию несколько задач.
Задача 6. Для автомобиля, движущегося со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) = 30t - 16t², где s(t) – путь в метрах, - время торможения в секундах. Необходимо рассчитать, в течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки автомобиля? Какое расстояние пройдёт автомобиль с начала торможения до полной его остановки?
Решение:
Находим скорость:
В момент остановки v (t) = 0, т.е. 30 – 32t = 0, отсюда
3. Тормозной путь равен:
19 слайд
Задача 7. В момент времени t легковой автомобиль ВАЗ-21014
находится на расстоянии
км от места
отправления. Найти его ускорение через 2 часа.
Решение:
Находим
Находим
При t = 2 имеем а = 3*4 + 24*2 +32 = 92 (км/ч²).
Задача 8. Скорость движения автомобиля задаётся формулой:
v = (4t³ - 2t+ 1) м/с. Найти путь, пройденный автомобилем за первые 4 секунды от начала движения.
Решение:
1. Воспользуемся формулой:
20 слайд
Задача 9. Скорость движения механического средства изменяется по закону v(t) = 2t м/с. Найти длину пути, пройденного данным средством за 3-ю секунду его движения.
Решение:
Задача 10. Определить силу давления бензина на стенку бака автомобиля «ВАЗ-21014», длина которого 60 см, а высота – 25 см (считая бак полностью заполненным бензином).
Решение:
Здесь у = f (x) = 0,6; a = 0; b = 0,25 (м); γ = 740 кг/м³.
2. Теперь воспользуемся формулой:
21 слайд
Корреспондент популярного журнала
«Наука и жизнь» задал такой вопрос:
«А может ли данная тема пригодиться
в повседневной жизни?»
Конечно, например:
Задача 11. Около АЗС необходимо разбить прямоугольную площадку периметром 120 м. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы она имела наибольшую площадь?
Решение:
Задача сводится на нахождение наибольшего значения функции.
1. Пусть длина площадки будет х, тогда ширину обозначим (60 – х).
2. Составим функцию: у = х*(60 – х) = 60х - х².
3. Найдём критическую точку: ; 60 – 2х = 0, а х = 30
4. Подтвердим данное значение второй производной:
22 слайд
Решение:
Задача 12. В авторемонтной мастерской ученику слесаря предложили из квадратного листа жести, сторона которого а = 60 см, изготовить ящик для хранения мелких запчастей, вырезая по всем углам равные квадраты и загибая оставшуюся часть. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы ящик имел наибольший объём?
Обозначим сторону вырезаемых по углам квадратов через х. Дном коробки
является квадрат со стороной а – 2х, а высота коробки равна стороне х
вырезаемого квадрата.
Тогда V = (a – 2x)² x. Преобразуем функцию V = a² x – 4ax² + 4x³
3. Далее
23 слайд
4. Очевидно, что значение х = а/2 не отвечает условию, т.к. в этом случае квадрат был бы разрезан на 4 равные части и никакой коробки не получилось бы.
5. Исследуем функцию на экстремум в критической точке
х = а/6: ,
т.е. при х = а/6 достигается максимум.
6. Ответ: т.к. а = 60, то х = 10 см.
Спецкор газеты «Студенческий меридиан»
спросил: «Кроме выше перечисленных задач, где студентам ещё придётся использовать знания дифференциального и интегрального
исчисления?»
Ответ: знания данной темы студентам
необходимы при изучении многих других дисциплин. Например,
в геометрии решаем задачи на вычисление площадей плоских фигур и выводим формулы объёмов геометрических тел (конуса, цилиндра, пирамиды и др.); в электротехнике находим э.д.с. (электродвижущую силу);
в биологии можем рассчитать скорость размножения бактерий.
24 слайд
Выполняя данную исследовательскую работу,
я ознакомился с учебником А.И. Аркуши
«Техническая механика» и выяснил, что кроме
выше перечисленных задач следует отметить,
что в данном пособии многие формулы выводятся
через интеграл.
Например, работа переменной силы на криволинейном пути:
элементарная работа при повороте колеса на угол
определяется по формуле
где - вращающий момент.
25 слайд
В заключение своей работы я пришёл к следующему выводу: математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), а его основу составляют дифференциальное и интегральное исчисления, играющие фундаментальную роль в системе теоретических и прикладных знаний в моей будущей профессии автомеханика.
26 слайд
Спасибо
за
внимание!
27 слайд
ЛИТЕРАТУРА
Савин А.П.Энциклопедический словарь юного математика.
Педагогика, 1985 г.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.
Учебное пособие для техникумов. -М.; Высшая школа, 1990
3. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая
механика и сопротивление материалов.- М.; Высшая школа, 1989
4. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с
решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2011.
5. Интернет – ресурсы.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 609 929 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Захарова Галина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.