94914
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 3540 руб.

268 курсов повышения квалификации от 840 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Инфоурок Геометрия Другие методич. материалыПрезентация на тему "Доказательства теоремы Пифагора"

Презентация на тему "Доказательства теоремы Пифагора"

библиотека
материалов
Преподаватель лицея при КазГАСА Ауэлбекова Г.У. «Теорема Пифагора и различные...
ЦЕЛЬ : Основная задача состоит в том, чтобы рассмотреть различные способы док...
Из биографии Пифагора Самое большее, что известно сейчас народонаселению об э...
Сейчас существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треуг...
Из истории теоремы Из истории теоремы Строго говоря, хоть теорема и называетс...
Формулировки Формулировки теоремы в переводе с греческого, латинского и немец...
Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного тр...
AJ- высота, опущенная на гипотенузу. Докажем, что её продолжение делит постро...
S треугольника ABD=1/2 Sпрямоугольника BJLD, т.к. у треугольника ABD и Прямоу...
Доказательство индийского математика Бхаскари а в с в а - в в в с Метод Бхаск...
Доказательство Вальдхейма а в с а в с Вальдхейм пользуется тем, что площадь п...
Доказательство Хоукинса А В С А1 В1 а в Д с а в с 1. Повернём прямоугольный ∆...
Геометрическое доказательство. ( Метод Гофмана) Построим треугольник ABC с пр...
Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугол...
Алгебраическое доказательство (метод Мёльманна) Площадь данного прямоугольни...
Имеем: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) Отсюда следует, что с2= а2+b2 Теорем...
Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора по праву является одной из основны...
Теорема Пифагора в литературе. Пифагор- это не только великий математик, но и...
1. Мысль — превыше всего между людьми на земле. 2. Не садись на хлебную меру...
Но, конечно, одна из самых главных заслуг Пифагора – это доказательство теоре...
Легенда о смерти Пифагора. Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный к...
Любовный треугольник Пифагора. Здесь не помогут ямб и дольник, хорей и дактил...
Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема П...
Заключение На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500 дока...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Преподаватель лицея при КазГАСА Ауэлбекова Г.У. «Теорема Пифагора и различные
Описание слайда:

Преподаватель лицея при КазГАСА Ауэлбекова Г.У. «Теорема Пифагора и различные способы её доказательства». 2016

2 слайд ЦЕЛЬ : Основная задача состоит в том, чтобы рассмотреть различные способы док
Описание слайда:

ЦЕЛЬ : Основная задача состоит в том, чтобы рассмотреть различные способы доказательства теоремы Пифагора. Показать, какое значение имеет теорема Пифагора в развитии науки и техники, в математике в целом.

3 слайд Из биографии Пифагора Самое большее, что известно сейчас народонаселению об э
Описание слайда:

Из биографии Пифагора Самое большее, что известно сейчас народонаселению об этом уважаемом древнем греке, укладывается в одну фразу: "Пифагоровы штаны на все стороны равны". Авторов этой дразнилки явно отделяют от Пифагора века, иначе бы они дразниться не посмели. Потому что Пифагор - вовсе не квадрат гипотенузы, равный сумме квадратов катетов. Это знаменитый философ. Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора. Он первый дал название своему роду деятельности. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. В его философии много космического. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучать алгебру с геометрией, музыку и астрономию. Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески "математикой". Что касается пресловутого треугольника с его гипотенузой и катетами, то это, согласно великому греку, больше, чем геометрическая фигура. Это "ключ" ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".

4 слайд Сейчас существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треуг
Описание слайда:

Сейчас существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах. Обратная теорема Пифагора: Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. в а с

5 слайд Из истории теоремы Из истории теоремы Строго говоря, хоть теорема и называетс
Описание слайда:

Из истории теоремы Из истории теоремы Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора. Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал. Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь». Как видим, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 500 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии. .

6 слайд Формулировки Формулировки теоремы в переводе с греческого, латинского и немец
Описание слайда:

Формулировки Формулировки теоремы в переводе с греческого, латинского и немецкого языков У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

7 слайд Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного тр
Описание слайда:

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой строится высота и продолжающий её луч , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника с квадратом над катетом , равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат гипотенузой и прямоугольника над другим катетом аналогичным образом. Равенство площадей прямоугольника и устанавливается через конгруэнтность треугольников и , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов и соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при . Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников и , равна сумме площадей квадратов над катетами. ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

8 слайд AJ- высота, опущенная на гипотенузу. Докажем, что её продолжение делит постро
Описание слайда:

AJ- высота, опущенная на гипотенузу. Докажем, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат На два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих Квадратов, построенных на катетах. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH. Треугольник ABD=BFC (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBC=углу ABD).

9 слайд S треугольника ABD=1/2 Sпрямоугольника BJLD, т.к. у треугольника ABD и Прямоу
Описание слайда:

S треугольника ABD=1/2 Sпрямоугольника BJLD, т.к. у треугольника ABD и Прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. АНАЛОГИЧНО, S треугольника FBC=1/2 S прямоугольника ABFH(BF-общее Основание, AB-общая высота). Отсюда, учитывая, что S треугольника ABD =S треугольника FBC, имеем: S BJLD=S ABFH. АНАЛОГИЧНО, используя равенство треугольников BCK и ACE, доказывается, Что S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. S треугольника=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD Теорема доказана. A L B D

10 слайд Доказательство индийского математика Бхаскари а в с в а - в в в с Метод Бхаск
Описание слайда:

Доказательство индийского математика Бхаскари а в с в а - в в в с Метод Бхаскари заключается в следующем: выразить площадь квадрата, построенного на гипотенузе ( с ² ), как сумму площадей треугольников ( 4S = 4· 0,5 а в) и площадь квадрата ( а – в ) ². То есть получается, что с ² = 4 · 0,5 а в + ( а – в ) ² с ² = 2 а в + а ² - 2 а в + в ² с ² = а ² + в ² Теорема доказана.

11 слайд Доказательство Вальдхейма а в с а в с Вальдхейм пользуется тем, что площадь п
Описание слайда:

Доказательство Вальдхейма а в с а в с Вальдхейм пользуется тем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, а площадь трапеции равна произведению полусуммы параллельных оснований на высоту. Теперь, чтобы доказать теорему, достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями S трапеции = 0,5(а + в) (а + в) = 0,5 (а + в) ² S трапеции = 0,5 а в + 0,5 а в + 0,5 с ² Приравнивая правые части, получаем 0,5 (а + в) ² = 0, 5 а в + 0,5 а в + 0,5 с ² (а + в) ² = а в + а в + с ² а ² + 2 а в + в ² = 2 а в + с ² с ² = а ² + в ² Теорема доказана

12 слайд Доказательство Хоукинса А В С А1 В1 а в Д с а в с 1. Повернём прямоугольный ∆
Описание слайда:

Доказательство Хоукинса А В С А1 В1 а в Д с а в с 1. Повернём прямоугольный ∆АВС (с прямым углом С) вокруг центра в точке С на 90º таким образом, чтобы он занял положение А1 В1 С , как показано на рисунке. 2. Продолжим гипотенузу В1 А1 за точку А1 до пересечения с линией АВ в точке Д. Отрезок В1 Д будет высотой ∆В1АВ ( так как ∟В1ДА = 90º). 3. Рассмотрим четырёхугольник А1АВ1В. С одной стороны SА1АВ1В =SСАА1 + SСВВ1 =0,5в · в + 0,5а · а=0,5(а² + в²) С другой стороны SА1АВ1В = SА1ВВ1 + SАА1В1 = 0,5 с · ВД + 0,5 с · АД = = 0,5 · с ·(АД + ВД) = 0,5 · с ² Приравнивая полученные выражения, получим 0,5 (а² + в²) = 0,5 с² а² + в² = с² Теорема доказана.

13 слайд Геометрическое доказательство. ( Метод Гофмана) Построим треугольник ABC с пр
Описание слайда:

Геометрическое доказательство. ( Метод Гофмана) Построим треугольник ABC с прямым углом С. Построим BF=CB, BFCB Построим BE=AB, BEAB Построим AD=AC, ADAC Точки F, C, D принадлежат одной прямой.

14 слайд Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугол
Описание слайда:

Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2 Соответственно: а2+ b 2 =с 2 Теорема доказана.

15 слайд Алгебраическое доказательство (метод Мёльманна) Площадь данного прямоугольни
Описание слайда:

Алгебраическое доказательство (метод Мёльманна) Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5ab, с другой 0.5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r=0.5(a+b-c)). A C

16 слайд Имеем: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) Отсюда следует, что с2= а2+b2 Теорем
Описание слайда:

Имеем: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) Отсюда следует, что с2= а2+b2 Теорема доказана. A C

17 слайд Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора по праву является одной из основны
Описание слайда:

Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора по праву является одной из основных теорем математики. Значение этой теоремы заключается в том, что при ее помощи можно вывести большую часть теорем в геометрии. Ценность ее в современном мире также велика, поскольку теорема Пифагора применяется во многих отраслях деятельности человека. Например, ее используют при расположении молниеотводов на крышах зданий, при производстве окон некоторых архитектурных стилей и даже при вычислении высоты антенн операторов мобильной связи. И это далеко не весь перечень практического применения данной теоремы. Вот почему очень важно знать теорему Пифагора и понимать ее значение.

18 слайд Теорема Пифагора в литературе. Пифагор- это не только великий математик, но и
Описание слайда:

Теорема Пифагора в литературе. Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени.Познакомимся с некоторыми его философскими высказываниями…

19 слайд 1. Мысль — превыше всего между людьми на земле. 2. Не садись на хлебную меру
Описание слайда:

1. Мысль — превыше всего между людьми на земле. 2. Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). 3. Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь). 4. По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). 5. Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык). 6. Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду). 7. В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).

20 слайд Но, конечно, одна из самых главных заслуг Пифагора – это доказательство теоре
Описание слайда:

Но, конечно, одна из самых главных заслуг Пифагора – это доказательство теоремы, которая носит его имя Теорема Пифагора нашла свое отражение и в литературе. А точнее в : В легендах. В стихах и песнях. В анекдотах.

21 слайд Легенда о смерти Пифагора. Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный к
Описание слайда:

Легенда о смерти Пифагора. Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда ночной караул прибыл на место происшествия, в колеблющемся свете факелов все увидели распростертого на земле Старца и неподалеку от него - мальчика 12 лет с лицом, перекошенным от ужаса. - Кто это? - спросил начальник караула у мальчика. - Это Пифагор, - ответил тот. - Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем. -Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили. - Сколько их было? -Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и накинулись на него. Начальник караула стал на колени и приложил руки к груди старца. - Конец, - сказал он.

22 слайд Любовный треугольник Пифагора. Здесь не помогут ямб и дольник, хорей и дактил
Описание слайда:

Любовный треугольник Пифагора. Здесь не помогут ямб и дольник, хорей и дактиль грудь не выставят. Попав в любовный треугольник, готовься выдюжить и выстоять, на плечи взять хрустальным грузом сознанье: разобьешься вдребезги! - И по его гипотенузе пройти, страховкою побрезговав; измерить все своим аршином, и торопясь - ведь все мы смертные! - его углы, его вершины постичь без всякой геометрии: лбом - об углы! Вершины - приступом сердечным, нитроглицериновым (уж если кудри серебристые, не дорожить же сердцевиною!) Ни теореме Пифагора не поддается он, ни времени - Любви Бермудский Треугольник разносторонний, тазобедренный...

23 слайд Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема П
Описание слайда:

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать. А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. Эти стихи написал немецкий писатель-романист А Шамиссо в начале XIX в., участвуя в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик».

24 слайд Заключение На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500 дока
Описание слайда:

Заключение На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

25 слайд
Описание слайда:

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.