• ОК «СВОЙСТВА ФУНКЦИИ»

  Опр.1. Функцию у= f(x) называют возрастающей на множестве Х , если для любых точек  x₁    и   x₂   из множества Х, таких, что  x₁ < x₂, выполняется  неравенство  f (x₁) < f  (x₂). (Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение  функции)

  Опр.2. Функцию у= f(x) называют  убывающей на множестве Х , если для любых точек x₁  и x₂    из множества Х, таких , что    x₁ < x₂, выполняется  неравенство f (x₁ ) > f(x₂). (Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение  функции)

  Термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием

  монотонная функция

  Опр.3. Функцию у= f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа, т.е., если существует такое число m, что для любого значения х выполняется неравенство f(x) > m

  Опр.4. Функцию у= f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х  меньше  некоторого числа , т.е. , если существует такое число М , что для любого значения х выполняется неравенство f(x) < М

  Если функция ограничена и снизу и сверху на всей области определения, то ее называют ограниченной.

  Опр.5. Число m называют наименьшим значением функции у= f(x) на множестве Х , если:

  1) во  множестве  Х существует такая точка   x₀   , что f(x₀) = m

  2) для любого значения х из множества Х выполняется неравенство  

  Опр.6. Число М называют наибольшим значением функции у= f(x) на множестве Х, если:

  1) во  множестве  Х существует такая точка, что f(x₀) = М

  2) для любого значения  х из множества Х выполняется неравенство

  Утв.1. Если у функции существует  y_наиб,то она ограничена сверху

  Утв.2. Если у функции существует   y_наим,   то она ограничена снизу.

  Опр.7. Точку x₀  называют точкой максимума функции у= f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой  (кроме самой точки  x₀) выполняется неравенство

   Опр.8. Точку x₀  называют точкой минимума функции у= f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой  (кроме самой точки x₀) выполняется неравенство 

  Точки максимума и минимума  объединяют общим названием – точки экстремума

  Опр.9. Функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

  Опр.10. Функция выпукла вверх на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

  Непрерывность функции на отрезке Х – означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва

  Опр. 11. Функцию у= f(x) называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство

  Опр.12. Функцию у= f(x) называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство

  Утв.3.  Если график функции симметричен относительно оси ординат, то функция четная

  Утв.4.  Если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетная

  Алгоритм исследования функций:

  1. Область определения функции.

  2. Четность, нечетность.

  3. Непрерывность

  4. Выпуклость

  5. Нули функции.

  6. Промежутки возрастания, убывания.

  7. Точки экстремума

  8. Ограниченность функции

  9. Наибольшее, наименьшее значение функции

  10.  Множество значений функции.

• 	ФУНКЦИЯ

  

   

  
  

  Ø  КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ:                                                                                

  Ø  ВЕЛИЧИНЫ            постоянные (константы);

                                    переменные                 независимые:  х

                                                                   зависимые (функция): у( х )

  Ø  Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью или функцией.

  Ø  СПОСОБЫ  ЗАДАНИЯ  функции:  аналитический (формула), табличный, графический                

  Ø  ГРАФИК ФУНКЦИИ –   множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции, т.е. множество  точек плоскости (х, у (х)).

  Ø  ПРЯМАЯ  пропорциональность:  функция вида у = kx, где  k¹ 0. График  функции у = kx – прямая, проходящая через  начало координат.

  Ø ОБРАТНАЯ  пропорциональность:  y = ^k/_х  , где  k¹0, x¹0. График функции y = ^k/_х –  гипербола.

  Ø ЛИНЕЙНАЯ  ФУНКЦИЯ:   у = kx+b, где  k и b -  заданные  числа.  График – прямая.

  Ø  k - угловой коэффициент – он меняет  угол наклона графика функции у = kx  к оси  Ох. При  k>0  функция возрастает, при k<0 – убывает. При  k=0  график  функции y = b - прямая, проходящая через точку (0;b), параллельно оси Ох.

  Ø Чтобы из графика  функции  у = kx  получить  график функции  у = kx+b, надо первый  график  параллельно  сдвинуть  вверх при  b>0, или  вниз  при  b<0.

  Ø Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, различны, то прямые пересекаются, если одинаковы, то прямые -  параллельны.

  Ø Область определения функции D(f) - множество всех значений, которые может принимать ее аргумент (т.е. х).

  Ø Если функция задана формулой, то принято считать, что она определена при всех  тех значениях x, при которых эта формула имеет смысл, т. е. могут быть выполнены все действия указанные в выражении.

  Ø Область значений функции Е(f) - множество значений ,которые

  может принимать зависимая переменная, т. е. функция (т.е. у)

  Ø ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

  

• Зачет по теме: «ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА»	Зачет по теме: «ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА»
  Вариант 1.	Вариант 2.
  1.      Что называется графиком функции? 2.      Какая функция называется возрастающей на промежутке? Приведите пример функции, возрастающей  на всей области определения. 3.      Что называется областью значений функции? Найдите область значений функции у = х2 + 2. 4.    Что называют нулями функции? 5.    Какая функция называется нечетной? 6.    Какая функция называется ограниченной сверху? 7.      Если  f(2) < f(1), то функция: а) возрастает, б) убывает. 8.      Укажите область определения и область значений функции: а)  у = 5 – 3х ;     б) у = ;    в)  у =  ;  г)  у = - х2 + 6х – 8;  д) у =   9.  Исследуйте функцию   у =   на четность, нечетность. 10.  Прочитайте график: Дополнительно: Постройте график функции:  а) f(x) =   - x-1, если  -2< x 0;  - 1 , если х > 0.                     ,  если  х < 0 б) f(x) =      x2 ,   если  0 ≤ x < 2;                     х+2, если х ≥ 2.   Для данных функций: а) вычислите f (-1); f (0); f(2); f(5). б) прочитайте график.	1.      Что такое функция? 2.      Какая функция называется  убывающей на промежутке? Приведите пример функции,  убывающей на всей области определения. 3.      Что называется областью  определения функции? Найдите  область определения функции  у = 4.      Как с помощью  графика найти нули функции? 5.      Какая функция называется четной? 6.      Какая функция называется ограниченной снизу? 7.      Если  f(3) > f(4), то функция: а) возрастает; б) убывает. 8.      Укажите область определения и область значений функции: а)  у = 2х - 6;      б)   у = - ;  в)  у =  ;  г) у =  х2 + 6х + 10;   д) у =        9.    Исследуйте функцию  у = 3х3- x   на четность, нечетность. 10.  Прочитайте график: Дополнительно: Постройте график функции:  а)  f(x) =   - x +2, если  -3≤ x 0;  + 2 , если х ≥ 0.                   -    ,  если  х < 0 б) f(x) =     - x2, если  0 ≤ x 2;                    х – 6, если х > 2.   Для данных функций: а) вычислите f (-1); f (0); f(2); f(5). б) прочитайте график.

   

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Свойства функции
    Алгебра 10 класс
    Урок – лекция
    10.06.2022
    

  • 

    2 слайд

    План
    Возрастание и убывание функции
    Ограниченность функции
    Наибольшее и наименьшее значения функции
    Максимум и минимум функции
    Четность и нечетность
    

  • 

    3 слайд

    Определение № 1
    Функцию у= f(x) называют возрастающей на множестве Х , если для любых точек x1 и x2 из множества Х, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
    

  • 

    4 слайд

    Возрастающая функция
    Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
    

  • 

    5 слайд

    Определение № 2
    Функцию у= f(x) называют убывающей на множестве Х , если для любых точек x1 и x2 из множества Х, таких , что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1 ) > f(x2).
    

  • 

    6 слайд

    Убывающая
    функция
    Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
    

  • 

    7 слайд

    Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.
    

  • 

    8 слайд

    Определение № 3
    Функцию у= f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа, т.е., если существует такое число m, что для любого значения х выполняется неравенство f(x) > m
    

  • 

    9 слайд

    Определение № 4
    Функцию у= f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х , если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа , т.е. , если существует такое число М , что для любого значения х выполняется неравенство f(x) < М
    
    

  • 

    10 слайд

    ограниченная сверху
    ограниченная снизу
    

  • 

    11 слайд

    Если функция ограничена и снизу и сверху на всей области определения, то ее называют ограниченной
    

  • 

    12 слайд

    Определение № 5
    Число m называют наименьшим значением функции у= f(x) на множестве Х , если:
    1)во множестве Х существует такая точка x0 , что f(x0) = m
    2) для любого значения х из множества Х выполняется неравенство
    
    

  • 

    13 слайд

    Определение № 6
    Число М называют набольшим значением функции у= f(x) на множестве Х, если:
    1)во множестве Х существует такая точка, что f(x0) = М
    2) для любого значения х из множества Х выполняется неравенство
    
    

  • 

    14 слайд

    Утверждения:
    Если у функции существует yнаиб,
    то она ограничена сверху
    
    Если у функции существует yнаим, то она ограничена снизу.
    
    
    

  • 

    15 слайд

    Определение № 7
    Точку x0 называют точкой максимума функции у= f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки x0) выполняется неравенство
    
    

  • 

    16 слайд

    Определение № 8
    Точку x0 называют точкой минимума функции у= f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой ( кроме самой точки x0) выполняется неравенство
    
    Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума
    
    
    

  • 

    17 слайд

    а) Укажите точки экстремума и определите их вид;
    б) укажите наибольшее и наименьшее значение функции.
    

  • 

    18 слайд

    Выпуклость функции
    Функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
    Функция выпукла вверх на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
    
    Определение № 9,10
    

  • 

    19 слайд

  • 

    20 слайд

    Непрерывность
    функции
    Непрерывность функции на отрезке Х – означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва
    

  • 

    21 слайд

  • 

    22 слайд

    Определение 11
    Функцию у= f(x) называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство
    
    

  • 

    23 слайд

    Определение 12
    Функцию у= f(x) называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство
    
    

  • 

    24 слайд

  • 

    25 слайд

    Утверждения:
    Если график функции симметричен относительно оси ординат, то функция четная
    
    Если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетная
    
    
    

  • 

    26 слайд

    Алгоритм исследования функции
    1. Область определения функции
    2. Четность , нечетность
    3. Непрерывность
    4. Выпуклость
    5. Нули функции
    6. Промежутки возрастания и убывания
    7. Точки экстремума
    8. Ограниченность функции
    9. Наибольшее и наименьшее значения функции
    10. Множество значений функции
    

  • 

    27 слайд

    Прочитайте график:
    

Краткое описание материала