-
Курсы
-
Другое
Найдено 57 материалов по теме
Предпросмотр материала:
Графическое
решение
квадратных
уравнений
Алгебра 8 класс
Немного истории
Еще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский,
Аль- Хорезми
.
Евклид Омар Хайям
Решали уравнения
геометрическими и
графическими способами
Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов:
ax2 + bx +c = 0
ax2 = -bx – c
ax2 + c = - bx
a(x + b/2a)2 = ( 4ac - b2 )/4a
Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0
Алгоритм графического решения квадратных уравнений
Ввести функцию f(x), равную левой части и g(x) , равную правой части
Построить графики функций y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости
Отметить точки пересечения графиков
Найти абсциссы точек пересечения, сформировать ответ
Способы графического решения квадратного уравнения
ах² + bх + с = 0
Способ поcтрое-
ния параболы y=ах² +bx+c
Способ поcтрое-
ния прямой
у= bx+c и параболы у = ах²
Способ поcтрое-
ния прямой
у= bx и параболы у = ах²+с
Способ выделе-ния полного квадрата
I
II
III
(a)
(b)
Способ поcтрое-
ния прямой
у= с и параболы у = ах²+ bx
(в)
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.
Графическое решение квадратного уравнения
Иллюстрация на одном примере
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
Способ 1
Построить график функции y=ax2+bx+c
Найти точки пересечения графика с осью абсцисс
Решить уравнение
1 способ
Построим график функции у =
График-парабола, а=1>0,ветви вверх.
Вершина ( )
=-
Х ο = 1
(1; -4)-вершина
3. Ось параболы
4. Дополнительные точки:
х
у
1
-4
0
-1
2
3
0
-3
-3
0
Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0.
Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3.
-1
1
-1
3
х
3
о
у
Алгоритм построения параболы
найти координаты вершины; провести ось параболы;
отметить на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы; найти значения функции в этих точках;
провести параболу через полученные точки.
Пусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0
а = 1>0, ветви вверх
Координаты вершины x۪۪ ο =-b/2a; x۪۪ ο =1 .
y ο = 1² - 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4)
Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1
Построить по таблице график y=x2 -2x -3
Примеры графического решения квадратных уравнений
3
-1
Решение уравнения x2-2x –3=0
Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ
у=x2 – 2x -3
Графический способ решения квадратных уравнений
Парабола и
прямая
касаются
Парабола и прямая
пересекаются
Квадратное уравнение имеет два равных корня
Квадратное уравнение не имеет корней
Квадратное уравнение имеет два различных корня
Парабола и прямая не
пересекаются и не касаются
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
Способ 2(а)
Построить графики функции y=ax2 и у = bx+ с
Найти абсциссы точек пересечения графиков.
x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде x2 = 2x +3
Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y=x2 иy= 2x + 3
3
-1
Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
2 способ
Преобразуем уравнение
к виду
Построим в одной системе координат графики функций
-это парабола
-это прямая
х
у
0
1
3
5
3
-1
3
Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения: -1 и 3
Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения: -1 и 3
4 x2 – 4x + 1 =0
Представим в виде 4x2 = 4x -1
1). Построим графики функций:
у = 4 x2 , у = 4x - 1
2). Строим параболу у = 4 x2
а = 4, ветви вверх
хο = - ; хο= 0; ; уο= 0.
По шаблону строим параболу
3). Строим прямую у = 4x - 1
-1
0
1
3
1
0,5
Корнем уравнения является
абсцисса точки пересечения: 0,5
-1
-1
у
х
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
Способ 2 (b)
Преобразовать уравнение к виду
ax2+с = bx
Построить:
параболу y = ax2+с и прямую y = bx
Найти абсциссы точек пересечения
графиков функции.
x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде x2 –3 = 2x
Пусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y=x2 –3 и y =2x
-1
3
Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
y=x2 –3
y =2x
x2 – 4x + 5 =0
Представим в виде x2 +5 = 4x
Пусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4x
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y=x2 +5 и y =4x
Точек пересечения параболы с прямой нет
Ответ: корней нет
y=x2 +5
y =4x
y
x
о
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
Способ 2(в)
Построить графики функции
y=ax2 + bx и у = с
Найти абсциссы точек пересечения графиков.
x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде x2 – 2x = 3
Пусть f(x)= х² - 2х и g(x)=3
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y= х² - 2х и y=3
-1
3
Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
y=3
y= х² - 2х
y
х
о
2
-1
3
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
Способ 3
(выделение полного квадрата)
Преобразовать уравнение к виду
a(x+l)2 = m
Построить:
параболу y = a(x+l)2 и прямую y = m
Найти абсциссы точек пересечения графиков функций.
Выделение квадрата двучлена.
x2 – 2x + 1 = 3 + 1
( x –1)2=4.
x2 – 2x = 3
( x –1)2 - 4 = 0
( x –1)2 - 2² = 0
( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0
( x –3 ) ( x + 1 ) = 0
x –3 = 0
x + 1 = 0
x = 3
x = - 1
x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде (x –1)2=4
Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y= (x –1)2 и y=4
-1
3
Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
y=4
y= (x –1)2
Решите графически уравнение
Группа А
Бычев Андрей
Ерофеева Ксения
Каминская Света
Лобов Егор
Лукьяненко Вероника
Осипов Павел
Циорба Влад
Группа С
Григорьева Катя
Соловьев Илья
Группа В
Баличев Илья
Помигуев Павел
Фролов Саша
х² + 2х – 8= 0
4х² - 8х + 3= 0
3х² + 2х – 1= 0
Сколько нам открытий чудных готовит просвещения дух?
Решить графически уравнение
Как решить уравнение?
Построить график квадратичной функции и абсциссы точек пересечения параболы с осью x будут являться корнями уравнения.
Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть функции, построить графики этих функций, установить точки пересечения графиков функций, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения.
Решить графически уравнение
Построить график функции
Построить график функции
Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций
Построить график функции
Корни уравнения:
точки пересечения
параболы с осью ОХ
Решить графически уравнение
Корни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой
Решить графически уравнение
Корни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой
Итог
Познакомились:
с графическим методом решения квадратных уравнений;
с различными способами графического решения квадратных уравнений.
закрепили знания по построению графиков различных функций.
Заключительное слово учителя:
«Чем больше и глубже вам удастся усвоить азы математики и научиться пользоваться ее методами, тем дальше и быстрее вы сумеете продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займетесь после школы»
Желаю удачи !
Профессия: Методист
Профессия: Педагог-библиотекарь
Профессия: Библиотекарь
Профессия: Специалист по микрокопированию и оцифровке документов
В каталоге 6 544 курса по разным направлениям
Учебник: «Экономика (базовый уровень)», Киреев А.
Тема: 26. Финансовая система
