Презентация на тему" комплексные числа"

• 1 слайд

  Комплексные числа
  

• 2 слайд

  ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ
  ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
  
  ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
  Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.
  

• 3 слайд

  Понятие комплексного числа
  Х+А=В - недостаточно положительных
  чисел
  
  А·Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на
  множестве рац.чисел
  Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные
  числа
  
  
  
  Х+5=2
  

• 4 слайд

  Иррациональные
  числа
  Рациональные
  числа
  Действительные числа
  

• 5 слайд

  Решение квадратных уравнений
  
  А · Х²+ В ·Х+ С =0
  При D<0 действительных корней нет
  
  
  Иррациональные
  числа
  Рациональные
  числа
  Действительные числа
  +
  ?
  

• 6 слайд

  Иррациональные
  числа
  Рациональные
  числа
  Действительные числа
  +
  ?
  Комплексные числа
  

• 7 слайд

  Вид комплексного числа
  Х²=-1
  Х=i -корень уравнения
  i- комплексное число, такое , что
  i²=-1
  
  
  
  А + В· i
  ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ
  

• 8 слайд

  
  А и В – действительные числа
  i- некоторый символ , такой, что i²= -1
  А – действительная часть
  В – мнимая часть
  i – мнимая единица
  
  
  А + В· i
  

• 9 слайд

  Геометрическая интерпретация комплексного числа
  

• 10 слайд

  Модуль комплексного числа
  Z=А - В· i
  СОПРЯЖЕННОЕ
  Z= А + В· i
  (Z) = Z
  Комплексно сопряженные числа.
  Z = A + B i=
  

• 11 слайд

  Тригонометрическая форма комплексного числа
  
  Z =r
  φ- аргумент аргумент комплексного числа
  Z=r cos φ + i Z sin φ =
  = r (cos φ+ i sin φ)
  
  Для Z=0 аргумент не определяется
  
  

• 12 слайд

  
  Т.к Z =r =
  
  
  Z= А + В· i= cosφ+i sinφ
  

• 13 слайд

  Сложение и умножение комплексных чисел
  Алгебраическая форма
  Геометрическая форма
  Сумма
  (A+iB) + (C+iD)=
  (A+C)+(B+D)I
  
  
  Произведение
  Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)
  Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
  Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)]
  
  
  Произведение
  (A+iB) · (C+iD)=
  (AC-BD)+(AD+BC)i
  
  
  

• 14 слайд

  Если Z 1= Z2, то получим
  
  Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²=
  r² (cos2 φ+ i sin 2φ)
  Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+
  i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)
  
  
  
  
  
  Формула Муавра
  Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n
  

• 15 слайд

  
  Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*)
  Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения
  является корнем степени n из числа ω.
  
  Z= r (cos φ+ i sin φ)
  ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)
  Вторая формула Муавра
  

• 16 слайд

  Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n
  Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.
  Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень
  

• 17 слайд

  Пример:
  Решить уравнение:
  

• 18 слайд

  Свойства сложения и умножения
  Переместительное свойство:
  
  Сочетательное свойство:
  
  Распределительные свойство:
  Z1 + Z2 = Z1 +Z2
  Z1 · Z2 = Z1 ·Z2
  Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3
  (Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3)
  (Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)
  

• 19 слайд

  Геометрическое изображение суммы комплексных чисел
  

• 20 слайд

  Вычитание и деление комплексных чисел
  Z+ Z2 = Z1
  Вычитание – операция, обратная сложению:
  Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )
  Z= Z1 - Z2 –разность
  Деление – операция, обратная умножению:
  Z · Z2 = Z1
  Разделив обе части на Z2 получим:
  

• 21 слайд

  Геометрическое изображение разности комплексных чисел
  

• 22 слайд

  Примеры:
  Найти разность и частное комплексных чисел
  Решение:
  

• 23 слайд

  Литература
  Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г,
  Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г
  НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г