• 

  1 слайд

  Основные вычислительные методы
  Численные методы в программировании
  

• 

  2 слайд

  Тема 1 «Решение алгебраических
  и
  трансцендентных
  уравнений»
  1.1 Концепция методов решения алгебраических и
  трансцендентных уравнений
  

• 

  3 слайд

  Нелинейные уравнения – это уравнения вида f(x)=0
  
  Алгебраические уравнения
  Трансцендентные уравнения
  

• 

  4 слайд

  число x*, если f(x*)=0
  корень уравнения f(x)=0 – это ….
  x2–e-x =0
  Пример.
  f(x)= x2–e-x
  X*
  Y=f(x)
  y
  x
  

• 

  5 слайд

  корень k-й кратности уравнения f(x)=0 – это
  число x*, если при x=x* вместе с функцией f(x) равны нулю
  ее производные до (k-1) порядка включительно:
  k=1 – однократный или простой корень уравнения f(x)=0
  

• 

  6 слайд

  число x , если |x-x*|<e
  приближенное значение корня уравнения f(x)=0 с погрешностью e – это
  

• 

  7 слайд

  Этапы решения
  нелинейного уравнения
  
  1 Постановка задачи
  2 Отделение корня
  3 Уточнение корня
  4 Анализ полученного результата
  

• 

  8 слайд

  Пример. Решить уравнение
  tg(x2-3)+ex-3 =0
  1 Постановка задачи
  

• 

  9 слайд

  Определение числа корней алгебраических уравнений
  Пример:
  Общее число корней :
  число положительных корней :
  число отрицательных корней :
  6 корней
  4 либо 2 либо 0
  +, -, +, +, -, +
  2 либо 0
  +, -, -, +, +, +
  - общее число корней
  - число положительных корней
  - число отрицательных корней
  теорема Декарта
  

• 

  10 слайд

  2 Отделение корней
  1 Графический метод
  1.1 Построить график функции
  f(x)
  x2–e-x =0
  Пример.
  f(x)= x2–e-x
  цель этапа – найти интервал неопределенности
  [a, b] , т.е. интервал, где содержится строго один корень.
  [a, b] =[0,2]
  

• 

  11 слайд

  f(x)=0
  f1(x)=f2(x)
  y=f1(x)
  y=f2(x)
  x2–e-x =0
  Пример.
  y=f1(x)= x2
  y=f2(x)= e-x
  1.2 Преобразовать исходное уравнение
  
  [a, b] =[0,2]
  Y=f2(x)
  Х*
  x
  Y=f1(x)
  y
  

• 

  12 слайд

  теорема Больцано-Коши
  (необходимое и достаточное условие
  существования корней) :
  основан на свойстве непрерывных функций
  Если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) на концах его имеет
  противоположные знаки, т.е. f(a)*f(b)<0, то внутри отрезка [a,b] существует
  точка с, в которой значение функции равно 0, т.е. f(c)=0.
  Если функция f(x) к тому же еще и строго монотонна, то корень на
  отрезке [a,b] единственный
  Графический метод
  

• 

  13 слайд

  2 Отделение корней
  2.2 Аналитический метод
  Метод Штурма
  Критические точки функции f(x) – это …
  точки, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует
  Пример:
  5x-6x-3=0
  f’(x)=5x * ln5-6
  5x * ln5-6=0
  График
  

• 

  14 слайд

  График функции f(x)=5x-6x-3
  функция f(x)=5x-6x-3 дважды пересекает ось х
  

• 

  15 слайд

  3 Уточнение корней
  Методы уточнения корней:
  прямые методы
  итерационные методы
  одношаговые
  многошаговые
  x0, x1, …, xk…
  итерационные методы
  Условие окончания итераций:
  

• 

  16 слайд

  3 Методы уточнения корней
  1 перебор всех возможных значений функции
  (метод сканирования, метод бисекций)
  2 замена нелинейной функции той или иной более простой
  функцией (линейной, параболической), близкой к исходной
  нелинейной и поиск корня этой функции
  (метод касательных, хорд, параболической аппроксимации )
  3 нелинейное уравнение вида f(x)=0 сводят к одной из форм
  вида g(x)=(x) и стремятся обеспечить равенство левой и
  правой частей
  (метод простых итераций)
  Идеи методов можно сгруппировать по трем основным направлениям:
  

• 

  17 слайд

  Как найти общее число корней алгебраического уравнения?
  Контрольные вопросы:
  2) Что дает отделение корней?
  3) Какие способы отделения корней вы узнали?
  4) Для чего нужны критические точки функции f(x)?
  5) Сколько корней может быть у функции, если у
  нее существует только одна критическая точка?
  

• 

  18 слайд

  Тест:
  2 Корень уравнения называется простым, если
  
  А) это простое число
  Б) он однократный
  В) он вычисляется просто
  Г) его значение очевидно
  
  1 Корнем уравнения f(x)=0 называется значение х*, при котором
  
  А) производная функции f(x) в этой точке равна нулю
  Б) функция f(x) в этой точке равна нулю
  В) производная функции f(x) в этой точке не существует
  Г) функция f(x) в этой точке не существует
  
  3 Уравнение f(x)=0 имеет корень на отрезке [a,b], если функция f(x) на [a,b]
  
  А) непрерывна
  Б) монотонно возрастает
  В) на концах отрезка имеет значения разных знаков
  Г) дифференцируема
  
  

• 

  19 слайд

  4 Критические точки функции f(x) – это точки, в которых
  
  А) функция f(x) равна нулю или не существует
  Б) функция f(x) меняет знак с “минуса на “плюс”
  В) производная функции f(x) равна нулю или не существует
  Г) производная функция f(x) меняет знак с “минуса ” на “плюс”
  
  
  5 Алгебраическое уравнение будет иметь корней
  А) 2
  Б) 3
  В) 4
  Г) 7
  
  

• 

  20 слайд

  Ответы к тесту:
  Б
  Б
  В
  В
  Г
  
  

• 

  21 слайд

  2 Корень уравнения называется простым, если
  А) это простое число
  Б) он однократный
  В) он вычисляется просто
  Г) его значение очевидно
  
  1 Корнем уравнения f(x)=0 называется значение х* , при котором
  А) производная функции f(x) в этой точке равна нулю
  Б) функция f(x) в этой точке равна нулю
  В) производная функции f(x) в этой точке не существует
  Г) функция f(x) в этой точке не существует
  
  3 Уравнение f(x)=0 имеет корень на отрезке [a,b], если функция f(x) на [a,b]
  А) непрерывна
  Б) монотонно возрастает
  В) на концах отрезка имеет значения разных знаков
  Г) дифференцируема
  
  Ответы к тесту:
  

• 

  22 слайд

  4 Критические точки функции f(x) – это точки, в которых
  
  А) функция f(x) равна нулю или не существует
  Б) функция f(x) меняет знак с “минуса на “плюс”
  В) производная функции f(x) равна нулю или не существует
  Г) производная функция f(x) меняет знак с “минуса ” на “плюс”
  
  
  5 Алгебраическое уравнение будет иметь корней
  А) 2
  Б) 3
  В) 4
  Г) 7
  
  

• 

  23 слайд

  Домашнее задание:
  1 Определить, сколько корней будет иметь
  уравнение, сколько из них положительных, сколько
  отрицательных
  

Краткое описание материала