Презентация на тему "Квадратичная функция" 8-9 классы.

• 1 слайд

  «Эти замечательные точки параболы….» Номинация «Неизвестное об известном»

• 2 слайд

  «Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе , который нас окружает». Норберт Винер (американский учёный, выдающийся математик и философ, основоположник кибернетики и теории искусственного интеллекта).

• 3 слайд

  Здравствуйте, ребята! Меня зовут Парабэл. Я хочу научить вас строить замечательную кривую – параболу. Для этого вам нужно посмотреть эту презентацию. Для построения любой параболы вы должны работать по следующему алгоритму: 1. Вычислить координаты вершины параболы. 2. Найти шаги параболы, т.е. а) коэффициент а при х² это будет первый шаг от вершины вдоль оси ОУ. б) 2а - это будет второй и последующие шаги вдоль оси ОУ. И это всё! Очень легко и интересно!

• 4 слайд

  Сначала построим график функции: у = х² Построение идёт от вершины в следующем порядке: 1 шаг: 1 клетка вправо, 1 вверх 2 шаг: 1 клетка вправо, 3 вверх 3 шаг: 1 клетка вправо, 5 вверх и т.д. Аналогично от вершины влево 4 шаг: 1 клетка влево, 1 вверх 5 шаг: 1 клетка влево, 3 вверх 6 шаг: 1 клетка влево, 5 вверх и т.д. Ребята, все ли вы знаете, что построить любую параболу можно очень просто: Смотрите как легко!

• 5 слайд

  y x 3 2 1 0 1 2 3 4 -1 -2 -1 A (2;3) О СИСТЕМА КООРДИНАТ О с ь а б ц и с с Ось ординат Координатная плоскость A(2;3) Абсцисса Ордината

• 6 слайд

  y x -10 -8 -6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 5 у = х2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

• 7 слайд

  y x -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 (0;0) (1;1) (2;4) (3;9) (-1;1) (-2;4) (-3;9) у = х2 9 8 7 6 5 4 3 2 1

• 8 слайд

  Построение графика функции у = х2 Координаты вершины Вправо по оси ОХ 1 1 1 1 Вверх по оси ОУ 1 3 5 7 шаг 1 2 2 2 Первый шаг равен а (а=1), коэффициенту перед х2. Следующие шаги равны а ·2=1·2 = 2. Абсцисса точки х 0 1 2 3 4 Ордината у 0 1= 0+1 4=1+3 9=4+5 16=9+7

• 9 слайд

  Я, кажется, знаю, на чём основано такое построение любой параболы. На факультативе мы изучали метод математической индукции. Используя этот метод, можно доказать следующее утверждение: сумма нечётных натуральных чисел равна квадрату количества этих чисел, то есть 1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) = n2, где n – натуральное число.

• 10 слайд

  Сумма нечетных натуральных чисел равна квадрату количества этих чисел, то есть 1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) = n2, где n – натуральное число. Доказательство: 1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) = n2. 1) Пусть n =1, тогда 1=1² 2) Пусть n = k, k >1. 1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) = k² - это верно, 3) Докажем данное утверждение при n = k + 1 тогда имеем: 1 + 3 + 5 + ... + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2; 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2; Итак, методом математической индукции мы доказали, что 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = n², где n – натуральное число

• 11 слайд

  Построение графика функции у = 0,5х2 Координаты вершины Вправо по оси ОХ 1 1 1 1 Вверх по оси ОУ 0,5 1,5 2,5 3,5 Шаг 0,5 1 1 1 Первый шаг равен а (а=0,5), коэффициенту передх2. Следующие шаги равны а ·2=0,5· 2 =1 Абсцисса точки х 0 1 2 3 4 Ордината у 0 0,5= = 0 +0,5 2= = 0,5+1,5 4,5= = 2+2,5 8= = 4,5+3,5

• 12 слайд

  Если коэффициент передх² отличен от 1, то первый шаг по оси ОУ равен коэффициентуа, а затем следующие шаги2а. Если у = 0,5х² , то первый шаг (по оси ОУ) будет равена= 0,5; а остальные2а=2·0,5= 1. По оси ОХвправоили влево от абсциссы координаты вершины параболы на 1 единичныйотрезок. у = 0,5х² По оси ОХ (единичных отрезков) По оси ОУ (единичных отрезков) 1 шаг 1 вправо Вверх0,5 2 шаг 1 вправо Вверх 0,5 + 1 = 1,5 3 шаг 1 вправо Вверх 1,5 + 1= 2,5 4 шаг и т. д. 1 вправо (аналогично влево) Вверх 2,5 + 1 = 3,5

• 13 слайд

  y x -10 -8 -6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 1 1 1 1 1 1 1 1 1,5 0,5 2,5 0,5 1,5 2,5 у = 0,5х2 3,5 3,5 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

• 14 слайд

  y x -10 -8 -6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 у = 0,5х2 (0;0) (1;0,5) (2;2) (3;4,5) (4;8) (-1;0,5) (-2;2) (-3;4,5) (-4;8) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

• 15 слайд

  Построение графика функции у= 2х2 Координаты вершины Вправо по оси ОХ 1 1 1 1 Вверх по оси ОУ 2 6 10 14 Шаг 2 4 4 4 Первый шаг равен а (а=2), коэффициенту передх2. Следующие шаги равныa·2=2·2 =4 Абсцисса точки х 0 1 2 3 4 Ордината у 0 2= 0+2 8=2+6 18=8+10 32=18+14

• 16 слайд

  Если коэффициент передх² отличен от 1, то первый шаг по оси ОУ равен коэффициентуа, а затем следующие шаги2а. Если у = 2х² , то первый шаг (по оси ОУ) будет равена=2, а остальные2а= 2·2= 4. По оси ОХ вправо или влево от абсциссы координаты вершины параболы на 1 единичныйотрезок. у = 2х² По оси ОХ (единичных отрезков) По оси ОУ (единичных отрезков) 1 шаг 1 вправо Вверх2 2 шаг 1 вправо Вверх 2 +4 =6 3 шаг 1 вправо Вверх 6 +4 =10 4 шаг и т. д. 1 вправо (аналогично влево) Вверх 10 + 4 = 14 и т. д.

• 17 слайд

  y x -10 -8 -6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 1 1 1 1 1 1 2 6 2 6 у = 2х2 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

• 18 слайд

  y x -10 -8 -6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10 у = 2х2 (0; 0) (1; 2) (-1; 2) (-2; 8) (2; 8) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

• 19 слайд

  Если вершина параболы находится не в начале координат, то это не меняет принцип построения. Координаты вершины принимаем как (0;0), а построение параболы идёт аналогичным образом, т. e. построение зависит только от коэффициента перед х2.

• 20 слайд

  А давай проверим это на практике! Пусть вершина параболы находится не в начале координат, и коэффициент отличен от 1.

• 21 слайд

  Построение графика функции y = - 4х2 + 4х - 5 Координаты вершины Вправо по оси ОХ 1 1 1 1 Вниз (а =- 4) по оси ОУ - 4 - 12 - 20 - 28 шаг - 4 - 8 - 8 - 8 Первый шаг равен а (а = - 4), коэффициенту перед х2. Следующие шаги равны 2а=2· ( -4) = - 8. Абсциссаточки х 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 Ордината у - 4 - 8 = = - 4+ (- 4) -20= =-8+(-12) - 40= =-20+(-20) -68= =-28+(-40)

• 22 слайд

  Если у = - 4х² + 4х – 5, топервый шаг (по оси ОУ) будет равена= –4, а остальные2а= 2·(- 4) = - 8. По оси ОХ вправо или влево от абсциссы координаты вершины параболы на 1 единичныйотрезок. у = - 4х² + 4х – 5 По оси ОХ (единичных отрезков) По оси ОУ (единичных отрезков) 1 шаг 1 вправо Вниз–4 2 шаг 1 вправо Вниз–4 – 8 = - 12 3 шаг 1 вправо Вниз– 12 – 8 = - 20 4 шаг и т. д. 1вправо (аналогично влево) Вниз–20 – 8 = - 28

• 23 слайд

  y x -2 -4 -6 - 8 -10 -12 -14 1 1 1 - 4 - 4 у = -4х2 +4х - 5 - 8 - 8 1

• 24 слайд

  2 -2 -4 -6 - 8 -10 -12 -14 y x у = -4х2 +4х - 5 (0,5; -4) (1,5; -8) (-0,5; -8)

• 25 слайд

  Построение графика функции y= - 0,75x2 + 3x -7 Координаты вершины Вправо по оси ОХ 1 1 1 1 Вниз (а =- 0,75) по оси ОУ -0,75 -2,25 -3,75 -5,25 Шаг -0,75 -1,5 -1,5 -1,5 Первый шаг равен а (а= - 0,75), коэффициенту передх2. Следующие шаги равны 2а = 2 · (- 0,75) = - 1,5. Абсцисса точки х 2 3 4 5 6 Ордината точки у - 4 -4,75 = = - 4+ (-0,75) -7= = - 4,75+ (-2,25) -10,75= = -7+(-3,75) -16= = -10,75+(-5,25)

• 26 слайд

  Если у = - 0,75х² + 3х – 7, топервый шаг (по оси ОУ) будет равена= –0,75, а остальные2а= 2·(- 0,75) = - 1,5. По оси ОХ вправо или влево от абсциссы координаты вершины параболы на 1 единичныйотрезок. у = - 0,75х² + 3х – 7 По оси ОХ (единичных отрезков) По оси ОУ (единичных отрезков) 1 шаг 1 вправо Вниз– 0,75 2 шаг 1 вправо Вниз –0,75 – 1,5 = - 2,25 3 шаг 1 вправо Вниз –2,25 – 1,5 = - 3,75 4 шаг и т. д. 1 вправо (аналогично влево) Вниз –3,75 – 1,5 = - 5,25

• 27 слайд

  -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 y x 1 1 - 0,75 - 0,75 у = - 0,75х2 +3х - 7 - 5,25 - 2,25 - 3,75 - 2,25 - 3,75 - 5,25 1 1 1 1 1 1

• 28 слайд

  -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 y x у = - 0,75х2 +3х - 7 (2;- 4) (3;- 4,75) (4; - 7) (5; - 10,75) (1; - 4,75) (0; - 7) ( - 1; - 10,75)

• 29 слайд

• 30 слайд

  Разнятся лики квадратичны В единой сущности Твоей. Ты график функции обычной, Прекрасен в простоте своей!

• 31 слайд

  Ганбат Болор – Эрдэнэ, 8 «А» класс Иванец Данил , 11 «А» класс Дмитриев Сергей Степанович, учитель математики Болдын Лхагвасурэн, 7 «Б» класс Иванец Ольга Николаевна, учитель математики Авторы работы: