Презентация на тему: Лекция 1.2. "Классическое определение вероятности"

• 1 слайд

  к.п.н., преподаватель высшей категории
  Никитин М.Е.
  
  Раменское, 2015
  
  
  Лекция 1.2. Основные понятия теории вероятностей. Определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики:
  Электронный курс лекций
  «Комбинаторика»
  Перестановки;
  Размещения;
  Сочетания.
  

• 2 слайд

  Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений (не единичных!).
  
  Зародилась в связи с азартными играми в Швейцарии (XVI – XVII в.в н.э.)
  Отцы-основатели: Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Якоб Бернулли.
  Русские: Чебышев П.Л., Буняковский, Хинчин, Колмогоров.
  
  

• 3 слайд

  Пространство элементарных событий
  Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом.
  
  

• 4 слайд

  Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий Ω
  Случайными событиями будем называть подмножества пространства элементарных событий Ω .
  Определение. Под случайным событием или просто событием будем понимать всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
  События будем обозначать большими латинскими буквами A, B, C, D, …
  
  

• 5 слайд

  Пример
  Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий Ω = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, где w i- выпадение i очков.
  Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, A Ω .
  

• 6 слайд

  Достоверное событие
  Событие Ω называется достоверным событием
  Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда.
  Пример. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е. Ω = {w 1,  w  2,  w  3,  w  4,  w  5,   w  6}, где w i- выпадение i очков,Ω - достоверное событие.
  
  
  

• 7 слайд

  Невозможное событие
  Невозможным событием называется пустое множество Ø .
  Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда.
  Пример. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .
  
  

• 8 слайд

  Совместимость событий
  Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании.
  Совместными называются события, если они могут наступить одновременно в одном испытании
  
  

• 9 слайд

  Противоположное событие
  Два несовместных события, составляющих полную группу, называются противоположными
  Обозначается ,
  Пример. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь Ω = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}, где w i- выпадение i очков, A = {w 2,w 4,w 6},
  =
  

• 10 слайд

  Действия со случайными событиями
  Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.
  Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий
  Ω = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}.
  Событие A + B = {w 2,w 4, w 5, w 6}
  
  

• 11 слайд

  Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям
  A и B. Обозначается AB.
  
  Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий
  Ω = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие
  B - выпадение числа очков, большего четырех,
  B = {w 5, w 6}.
  Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A, и событие B, A B = {w 6}
  A B Ω .
  
  

• 12 слайд

  
  Классическое определение вероятности события.
  Его свойства.
  
  Рассмотрим следующую классическую схему:
  Пространство элементарных исходов Ω - конечно; т.е. состоит из конечного числа элементарных исходов.
  Элементарные исходы i равновозможные.
  
  

• 13 слайд

  Определение:
  Вероятностью события А (обозначение Р(А)) называют отношение числа m благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу n всех несовместных, равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий.
  
  

• 14 слайд

  Свойства вероятности согласно классическому определению.
  
  P(Ω)=1;
  P(Ø)=0;
  0≤P(A)≤1, A- случайное событие.
  

• 15 слайд

  Слабые стороны классического определения вероятности:
  1) Не всегда интересующие нас событие можно представить в виде совокупности элементарных исходов.
  2) Даже если удастся построить пр-во элементных исходов, зачастую нет никаких оснований считать эти исходы равновозможными.
  3) Во многих случаях пр-во элементарных исходов бесконечно
  
  

• 16 слайд

  Статистическое определение вероятности. Относительная частота (частность) события.
  
  В основе статистического определения вероятности лежит понятие частоты.
  Def: О т н о с и т е л ь н о й ч а с т о т о й Ẃ(А) случайного события А - называется отношение числа m испытаний, в которых событие А наступило, к общему
  числу n, фактически
  проведённых испытаний.
  
  

• 17 слайд

  Пример:
  
  # Монета подброшена 100 раз. Герб выпал 47раз. Если А- выпадение герба, то
  Ẃ(А)= =0,47
  
  ! Относительная частота – величина случайная.
  

• 18 слайд

  Свойства относительной частоты:
  Из определения следует, что:
  Ẃ(Ω)=1
  Ẃ(Ø)=0 - Ø-невозможное событие.
  0≤Ẃ(А)≤1
  

• 19 слайд

  Свойство устойчивости:
  Длительные наблюдения показали, что, если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что:
  в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.
  В качестве статистической вероятности случайного события выбирают относительную частоту этого события или число, близкое к относительной частоте.
  
  

• 20 слайд

  Для существования статической вероятности события А требуется:
  
  а)Возможность, хотя бы принципиально,
  производить неограниченное число испытаний, в
  каждом из которых событие А наступает или не
  наступает;
  
  б)Устойчивость относительных частот
  появления А в различных сериях достаточно большого
  числа испытаний.
  Недостатком статистического
  определения является неоднозначность
  статистической вероятности.
  
  

• 21 слайд

  Элементы комбинаторики:
  перестановки; размещения; сочетания.
  
  Комбинаторика – раздел алгебры, занимающийся подсчётом количества комбинаций элементов, которые можно составить по определённым правилам из элементов конечных множеств.
  
  М – конечное множество, содержащее n различных элементов.
  
  M={a1,a2,…,an}
  

• 22 слайд

  1) Перестановки без повторений:
  
  Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
  

• 23 слайд

  Число всех возможных перестановок
  Pn=n! ,
  
  где n!=1•2•3•...•n (n-факториал)
  
  По определению полагаем:
  0!=1
  
  

• 24 слайд

  Задача. Сколькими способами можно расставить трехтомник на полке?
  
  Каждое расположение трёх различных книг в
  определенном порядке (на полке) представляет
  собой перестановку из 3-х книг, и следовательно,
  м. б. реализовано P3=3! =6 различными способами.
  
  

• 25 слайд

  2)Размещения без повторений.
  Размещениями называют комбинации,
  составленные из n различных элементов по
  m элементов, которые отличаются либо
  составом элементов, либо их порядком.
  

• 26 слайд

  Задача. Сколько можно составить сигналов из 7 флагов разного цвета, взятых по 3?
  
  

• 27 слайд

  3)Сочетания без повторений.
  Сочетаниями называют комбинации,
  составленные из n различных элементов по
  m элементов, которые отличаются хотя бы
  одним элементом.
  Число сочетаний:
  

• 28 слайд

  Пример:
  Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 различных деталей?
  

• 29 слайд

  Связь между размещениями, сочетаниями и перестановками:
  Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:
  
  

• 30 слайд

  Замечание:
  Предполагалось, что все n элементы различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.
  Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями:
  
  
  где
  
  

Краткое описание документа:

Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом: Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N: {\ displaystyle \Pr (A)= {\frac {n} {N}}}.