Презентация на тему: Лекция 2. "Законы распределения случайных величин."

• 1 слайд

  Лекция 2. Законы распределения случайных величин.
  к.п.н., преподаватель высшей категории
  Никитин М.Е.
  
  Раменское, 2015
  
  Электронный курс лекций
  «Комбинаторика»
  

• 2 слайд

  Законы распределения случайных величин
  Законы распределения дискретных случайных величин (биномиальный, Пуассона).
  Законы распределения непрерывных случайных величин (равномерный, нормальный, показательный.)
  
  

• 3 слайд

  Биномиальный закон
  Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ..., n
  с вероятностями
  где p+q=1, p>0, q>0,
  

• 4 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  4
  Биномиальный закон
  Ряд распределения
  pn
  причем
  

• 5 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  5
  Биномиальный закон
  n, p
  

• 6 слайд

  многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами
  n=5 и p (для  p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8)
  
  20.09.2020
  6
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 7 слайд

  Пример
  Примерно 20% судебных дел – это дела по обвинению в краже. В порядке прокурорского надзора проверено 4 наудачу отобранных дела.
  Каково наивероятнейшее значение дел о краже среди отобранных и какова вероятность этого значения?
  20.09.2020
  7
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 8 слайд

  РЕШЕНИЕ
  20.09.2020
  8
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 9 слайд

  РЕШЕНИЕ
  20.09.2020
  9
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 10 слайд

  Закон Пуассона
  Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями
  е = 2,71828...
  

• 11 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  11
  Закон Пуассона
  Ряд распределения
  причем
  

• 12 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  12
  Закон Пуассона
  а
  

• 13 слайд

  Многоугольники распределения
  случайной величины X, имеющей
  закон распределения Пуассона с параметром  a
  (для a=0,5; 1; 2; 3,5; 5).
  20.09.2020
  13
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 14 слайд

  При больших n, малых р
  Формула
  Бернулли
  Формула
  Пуассона
  
  Применение закона Пуассона
  20.09.2020
  14
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 15 слайд

  Пример
  Примерно 0,1% судебных дел – это дела по обвинению в убийстве. Проверено 200 наудачу взятых судебных дел.
  Какова вероятность того, что среди них
  дел о убийстве буде: 0, 1, 2, 3 ?
  20.09.2020
  15
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 16 слайд

  Решение
  n = 200, p = 0,001, n·p = 0,2
  0,9999
  0,8187
  0,8186
  0,9999
  0,1638
  0,1639
  0,0164
  0,0163
  0,0010
  0,0011
  20.09.2020
  16
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 17 слайд

  Вероятности того, что за промежуток времени длиной t наступит m событий простейшего потока
   – это среднее число событий потока, происходящих в единицу времени (интенсивность).
  Применение закона Пуассона
  20.09.2020
  17
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 18 слайд

  Пример
  В дежурную часть органов внутренних дел за час в среднем поступает 30 сообщений различного характера.
  Какова вероятность, что за минуту поступит 2 сообщения?
  20.09.2020
  18
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 19 слайд

  Решение
  Количество сообщений, поступающих в час  = 30,
  t = 1(мин) = 1/60 (час),
  20.09.2020
  19
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 20 слайд

  Равномерный закон
  Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е. если
  где
  

• 21 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  21
  Равномерное распределение
  Кривая распределения
  

• 22 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  22
  Равномерный закон
  

• 23 слайд

  Пример
  Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления.
  Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
  20.09.2020
  23
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 24 слайд

  Решение
  Ошибка превысит заданную точность, если
  Х[0,02, 0,08]
  20.09.2020
  24
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 25 слайд

  Нормальный закон
  Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если плотность вероятности f(x) имеет вид:
  

• 26 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  26
  Нормальное распределение
  Кривая распределения
  

• 27 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  27
  Нормальный закон
  а, 
  Ф(х) – функция Лапласа
  

• 28 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  28
  Функция Лапласа
  Ф(–х) = – Ф(х)
  

• 29 слайд

  a = 1
  При изменении параметра а форма графика функции не изменяется, а происходит лишь смещение вдоль оси абсцисс вправо, если он возрастает, и влево, если убывает.
  a = 3
  a = 6
  20.09.2020
  29
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 30 слайд

  a = 1,  = 1
  a = 3,  = 1
  a = 6,  = 1
  20.09.2020
  30
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 31 слайд

   = 3
   = 1
   = 2
  При изменении параметра s изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр убывает, то кривая становится более островершинной, если увеличивается, то кривая становится более пологой.
  20.09.2020
  31
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 32 слайд

   = 3
   = 1
   = 2
  20.09.2020
  32
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 33 слайд

  Доска
  Гальтона
  20.09.2020
  33
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 34 слайд

  Правило «трех сигм»
  если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале
  (а–3, а+3).
  20.09.2020
  34
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 35 слайд

  20.09.2020
  35
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 36 слайд

  Показательный (экспоненциальный) закон
  Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если её плотность вероятности f(x) имеет вид:
  

• 37 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  37
  Показательное распределение
  Кривая распределения
  

• 38 слайд

  20.09.2020
  Никитин Михаил Евгеньевич
  38
  Показательный закон
  
  

• 39 слайд

  Пример
  На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей.
  Найти среднее время ожидание очередной машины контролером Т, – если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону
  20.09.2020
  39
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 40 слайд

  Решение
  20.09.2020
  40
  Никитин Михаил Евгеньевич
  

• 41 слайд

  Спасибо за внимание!
  

Краткое описание документа:

Основная задача теории вероятностей, оперирующей случайными величинами, – это определение закона распределения случайной величины, то есть установление соответствия между возможными значениями случайной величины и вероятностью наблюдения этих значений. Формы закона распределения случайной величины 1) Ряд распределения – это таблица, где перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Данная форма закона распределения используется только для дискретных случайных величин, так как перечислить все значения непрерывной случайной величины просто невозможно, да и вероятность наблюдения каждого из ее значений близка к нулю. Х 1 х 2 х 3 х 4 х Р 1 р р2 3 р р4 Ряд распределения Графическим изображением ряда является многоугольник распределения. 2) Функция распределения случайной величины F(x), которая равна вероятности того, что случайная величина Х в результате эксперимента примет значение, меньшее х . То есть F(x) P(X x) . 2 Данную форму закона распределения случайной величины можно использовать как для непрерывной, так и для дискретной случайной величины. Свойства функции распределения случайной величины: 1) Функция распределения удовлетворяет неравенству: 0 F(x) 1. 2) Функция распределения является неубывающей функцией, то есть если 1 2 x x , то ( ) ( ) 1 2 F x F x . 3) Вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, лежащее в интервале (а,b), равна приращению функции распределения на этом интервале, то есть P( X ) F( ) F( ) . Следует отметить, что функция распределения случайной величины не позволяет (как многоугольник распределения) наглядно представить, какие из своих значений непрерывная случайная величина принимает с большей вероятностью, а какие с меньшей. Для этого используется функция плотности распределения случайной величины f(x), являющейся дифференциальной кривой от функции F(x), то есть f (x) F (x). График функции f(x) называется кривой распределения. Из графика следует, что свои значения, лежащие в интервале (а,b), случайная величина принимает с большей вероятностью, чем какие-либо другие значения.