Презентация на тему "Метод мажорант"

• 1 слайд

  
  Метод мажорант.
  
  
  Школьникам
  Учителям
  Авторы: Конон Ксения, Кармаз
  Алексей,Клебан Евгений.
  Руководитель: Шмык Анеля Валентивовна
  ГУО СШ№5 г.Новогрудок, 2014
  
  

• 2 слайд

  В материалах, предлагаемых выпускникам для решения на едином государственном экзамене, есть задачи, требующие специальных методов решения, которые, к сожалению, не изучаются в школе. Один из таких методов-метод мажорант. Красивейший способ решения сложных задач.
  

• 3 слайд

  Содержание.
  Определение мажоранты функции
  
  Примеры функций, имеющих мажоранту
  
  Метод мажорант
  
  Примеры решения задач методом мажорант
  

• 4 слайд

  Определение мажоранты функции.
  Мажорантой функции f(x) на множестве P называется такое число M, что либо f(x) ≤M для всех x є P, либо f(x) ≥ M для всех x є P.
  

• 5 слайд

  Примеры функций, имеющих мажоранту.
  1.Тригонометрические функции .
  
  f(x)=sin x
  -1≤ sin x ≤ 1
  M=1, M=-1
  
  
  f(x)=cos x
  -1≤ cos x ≤ 1
  M=1, M=-1
  
  
  
  
  f(x)=sin x
  f(x)=cos x
  M
  M
  M
  M
  

• 6 слайд

  
  2.Квадратичная функция.
  
  f(x)= ax²+bx+c,
  (p ; n) -
  вершина параболы
  
  M=n=(4ac-b²)/4a
  
  
  
  
  f(x)=-x²-2x
  M
  M
  f(x)=x²- 4x+1
  

• 7 слайд

  3. Функции, содержащие переменную под знаком модуля.
  
  
  f(x)=|g(x)|
  0 ≤|g(x)|<+∞
  M=0
  
  
  
  
  f(x)=|3-2x|
  f(x)=|-3ctg(x-2)|
  M
  M
  

• 8 слайд

  4. Функции, содержащие переменную под знаком корня.
  
  f(x)= √g(x)
  0 ≤ √g(x) <+∞
  
  M=0
  
  
  
  
  
  
  M
  M
  f(x)= x
  f(x)= -2ln(3x-4)+3
  

• 9 слайд

  В более сложных случаях для того, чтобы определить мажоранту, нужно провести исследование функции, применяя различные методы . При этом можно использовать свойства неравенств, некоторые известные равенства и неравенства, определение возрастающей и убывающей
  функций и т. д.
  

• 10 слайд

  Метод мажорант.
  Теорема1. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу. Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений
  
  Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = A+B равносильно системе уравнений
  
  Теорема 3. Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)·g(x)= А·B равносильно системе уравнений (при условии, что A>0 и B>0)
  

• 11 слайд

  
  Примеры решения задач методом мажорант. 1.Найдите мажоранту и область значения функции
  (Рассмотрим два способа.)
  
  1. Графический.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Очевидно, E (f) =[3;+∞], М=0
  
  M
  2. Аналитический.
  Оценим выражение
  
  0 ≤ x² <+∞
  1≤ x²+1<+∞
  3≤ <+∞
  E (f) =[3;+∞], М=0
  Очевидно, что графический
  способ не всегда удобен, так
  как может потребоваться
  строить графики очень
  сложных функций! Поэтому
  мы будем учиться решать
  такие задания аналитически!
  
  
  
  f(x)=
  2
  1
  3
  x
  +
  2
  1
  3
  x
  +
  2
  1
  3
  x
  +
  2
  1
  3
  x
  +
  f(x)=
  

• 12 слайд

  
  Найдите область значения функции.
  
  Пример.
  
  
  
  
  
  
  
  
  Решение.
  
  0 ≤ 3sin²x ≤ 3
  1 ≤ 1 + 3sin ² x ≤ 4
  
  0 ≤ log (1+3sin x) ≤ 2
  
  
  0,25 ≤ 0,5 ≤ 1
  
  E(f) = [ 0,25; 1]
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Задания для самостоятельной работы.
  
  
  f(x)=
  2
  2
  log (1+3sin x)
  0,5
  
  
  log (1+3sin x)
  2
  2
  2
  2
  1) f(x) =
  1
  1-2
  4
  x
  2) f(x) =
  3
  7
  log
  17+ 16+ lg x
  3) f(x) =
  8
  π
  ( (3sinx-cosx+2))
  arctg
  1
  4
  

• 13 слайд

  2.Решите уравнения.
  Задания для самостоятельной работы.
  
  
   
  
  Пример.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Решение.
  3 + 3 = log (4 -|x|)
  x
  -x
  2
  2
  1
  1
  3
  3
  2
  
  log (4-|x|) ≤ 2.
  3 + 3 = 2
  log (4-|x|) = 2
  ≥ 2 , то
  x
  а) Так как
  б) 4-|x|≤ 4
  a +
  x
  Из а), б) получим
  a
  +
  x
  ≥ 2.
  Ю
  м
  п
  п
  н
  п
  п
  о
  -x
  
  x = 0
  1) 2 sinxcosx = sin46º
  2) сos²(sinx)=1+ log (x²-6x+10)
  3) 2 + 2 = -4x² - x²
  1
  4)
  x+1
  x²- 4x +5
  1-x
  1
  10
  1
  +
  x²- 4x +29
  1,4
  =
  

• 14 слайд

  3. Решите неравенства.
  
  Пример.
  
  
  
  
  Решение.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Правая часть неравенства не больше единицы, а левая – больше, значит, корней нет.
  
  
  
  
  
  Задания для самостоятельной работы.
  cosx - z³ ≥ y² +
  3
  π
  а) 1≤ cosx ≤ 1
  - ∞< cosx - z ³ ≤ 1
  +
  - ∞< - z ³ ≤ 0
  б) y² + ≥ >1
  3
  π
  π
  3
  1) 2 - 2cosx + y - x²-1 ≤0
  y
  2) 2x + 2- x ² ≥ 3
  x ² -2x+2
  2
  3) x² + 4x + 6≤
  y ² - 6y +10
  6
  4) cos3x ≤ x +1
  

• 15 слайд

  4.Различные задания
  Пример.
  Найти наибольшее целое
  значение c, при котором
  решение неравенства
  ||2x+4|-7|-13 ≤ 2c ²
  удовлетворяет условию
  x є [-37;35].
  Решение.
  -37 ≤ x ≤ 35
  -70 ≤ 2x+4 ≤ 74
  0 ≤│2x+4│≤ 74
  0 ≤ ││2x+4│-7│≤ 67
  -13 ≤ ││2x+4│-7│-13 ≤ 54
  Для выполнения неравенства,
  надо, чтобы -13≤2с²≤54.
  То есть наибольшее целое
  с=5.
  
  
  Задания для самостоятельной работы.
  1) Найти сумму целых значений
  функции
  
  
  2) Из множества значений функции удалили целые числа. Сколько получится числовых промежутков?
  
  
  
  
  2
  f(x)=3 36cos x -12sinx + 27
  2
  sin2x + cos2x
  f(x)= 3+ 4arcsin
  

• 16 слайд

  Пример задания группы B
  Решите неравенство
  Решение.
  
  
  
  
  
  Так как, левая часть неравенства не больше1, а правая -
  
  равна 1, то
  
  
  
  7 · log (6x-x ² -7) ≥ 1
  2
  -|x- 3|
  a) 0 < 7 ≤ 1
  -|x-3|
  б) log (6x-x ²-7)=log (2-(x-3) ²) ≤ log 2 =1
  2
  2
  2
  м
  п
  п
  н
  п
  п
  о
  log (6x-x ² -7) =1
  2
  7 = 1
  -|x- 3|
  
  x = 3
  

• 17 слайд

  Решите самостоятельно задания
  
  1. (2011 г.) cos ²(x+1) · lg(9-2x-x ²) ≥1.
  
  
  2. Типовые тестовые задания.
  Под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко)
  
  м
  п
  п
  н
  п
  п
  о
  25 + 3 ·10 -4 · 4 > 0
  x
  x
  x
  log (x ² -12|x|+37) - log (x ² -12|x|+37 )≥ 0
  1-
  37
  1+
  37
  x²
  x²
  Удачи в изучении математики!