Презентация на тему: «О необходимости ». Выполнил: Шубин Дмитрий Сергеевич, ученик 5А класса, МАОУ Гимназия №10. Руководитель: Додуладенко Светлана Николаевна, учитель математики

• 1 слайд

  МАОУ города Новосибирска «Гимназия № 10»
  О необходимости <округления к чётному>
  Выполнил: Шубин Дмитрий Сергеевич, ученик 5А класса, МАОУ Гимназия №10
  Руководитель проекта: Додуладенко Светлана Николаевна, учитель математики
  г. Новосибирск 2018 г.
  

• 2 слайд

  Округление: определение, необходимость, требования
  Операция, позволяющая уменьшить количество знаков в числе за счёт замены числа его приближённым значением с определённой точностью, в математике называется округлением.
  
  Причины использования операции округления: упрощение вычислений; технические ограничения; невозможность указать точное значение какой-либо величины в данный момент времени; излишняя точность неоправданна.
  
  Правила округления очень важны. Основное требование, предъявляемое к ним, заключается в том, что операции округления в идеале не должны давать накопления ошибок округления. Да, при округлении каждого числа возникнет некоторая ошибка округления, но множество проведенных в ходе вычислений операций округления должны взаимно компенсировать друг друга, чтобы результат был представлен с такой же точностью, как и первоначальные параметры.
  
  Если не соблюдать этого требования, то легко представить себе ситуацию, когда первоначальные данные представлены с максимальной ошибкой округления в половину младшего разряда, а итоговая величина будет иметь погрешность уже в разряде десятков или даже сотен.
  2
  

• 3 слайд

  Округляем отбрасыванием «лишнего»
  Самый простой способ округления - просто отбросить дробную часть (лишние знаки десятичной дроби). Математическое название подобного метода округления - «округление к меньшему по модулю» или «округление к нулю».
  
  Например, 15,9 → 15; −0,9 → 0; −5,1 → −5.
  
  При таком округлении вносится погрешность в пределах единицы последнего сохраняемого разряда, причём в положительной части числовой оси погрешность всегда отрицательна, а в отрицательной — положительна. Если оперировать с числами одного знака, то погрешность будет накапливаться с каждой математической операцией и следующей за ней операцией округления.
  
  Простой пример может наглядно показать недопустимость подобного способа округления: необходимо сложить миллион чисел, перед вводом в вычислительное устройство числа округляются до целого отбрасыванием дробной части. Каждая операция округления исходных чисел вносит ошибку от 0 до 0,9(9), так как все числа положительные то итоговое значение будет вычислено с ошибкой от 0 до 1 000 000, в то время как правильно выбранный метод округления должен был сохранить первичную ошибку от 0 до 0,9(9).
  3
  

• 4 слайд

  Округляем к ближайшему
  Предыдущий метод округления практически никогда не применяется, вместо него используется другой метод - округление к ближайшему целому. Согласно этого метода число округляется до ближайшего целого числа.
  
  В общем случае, когда число в десятичной системе округляют до n-ого разряда, правило может быть сформулировано следующим образом:
  
  если в следующем за ним младшем разряде стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в n-ном разряде сохраняют, а все следующие младшие разряды обнуляют;
  
  если в следующем за ним младшем разряде стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в n-ном разряде увеличивают на единицу, а все следующие младшие разряды обнуляют;
  
  Например: 15,9 → 16; −0,9 → −1; −5,1 → −5; 2,5 → 3.
  
  Максимальная погрешность округления составляет ±0,5 последнего сохраняемого разряда. Здесь крайне важен один момент - при округлении число изменяется в большую или в меньшую сторону, а не как в предыдущем способе, где оно изменялось всегда в одну сторону. Поэтому при использовании данного способа округления ошибки округления на разных этапах вычисления не будут накапливаться, а, наоборот, могут взаимно компенсировать друг друга, сохранив в итоге суммарную ошибку округления в ±0,5 последнего сохраняемого разряда.
  4
  

• 5 слайд

  Округление «половинок»
  или внимание к мелочам
  Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда в следующем за округляемым младшем разряде стоит цифра 5, а все последующие разряды равны нулю.
  
  Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда.
  
  Если следующий за округляемым младший разряд не равен 5 или равен 5, но все последующие разряды не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3. А вот как быть с числом 2,5?
  
  Рассмотрим это на примере округления до целого десятичных дробей с тремя значащими цифрами после запятой:
  5
  

• 6 слайд

  Округление «половинок»
  или внимание к мелочам
  1. Число Х,000 будет округлено до Х с погрешностью округления равной нулю.
  
  2. Число Х,001 будет округлено до Х с погрешностью округления равной −0,001, но при этом число Х,999 будет округлено до Х+1 с погрешностью округления равной +0,001. Ранее нами было показано, что числа Х,001 и Х,999 встречаются с равной вероятностью, следовательно суммарная погрешность округления будет равна нулю.
  
  3. Количество чисел от Х,001 до Х,499 равно количеству чисел от Х,501 до Х,999 (аналогично и для любого другого количества округляемых разрядов). Следовательно, каждая отрицательная погрешность округления из первого диапазона будет скомпенсирована положительной погрешностью округления из второго диапазона, что в сумме даст нулевую погрешность округления.
  
  4. Куда отнести число Х,500 (т.е. у которого после запятой 5 с последующими нулями)?
  
  6
  

• 7 слайд

  Округление «половинок»
  или внимание к мелочам
  Одно из решений указанной проблемы - округление к четному. Округление для этого случая происходит к ближайшему чётному, то есть
  
  2,5 → 2, 3,5 → 4.
  
  Исходя из предположения, что количество четных и нечетных цифр в числе одинаково, это приведет к равномерному распределению при округлении чисел вида Х,500...00 в меньшую и большую сторону - половина чисел будет округлена в меньшую сторону, другая половина - в большую сторону, что исключит накопление погрешностей при округлении.
  
  Для иллюстрации необходимости специальной обработки «половинок» рассмотрим следующий практический пример. Предположим, что нам необходимо найти сумму следующего числового ряда:
  
  0,5+1,5+2,5+3,5+4,5+5,5+6,5+...+97,5+98,5+99,5
  
  Для расчетов нам придется использовать калькулятор, который не позволяет вводить дроби, поэтому числа перед вводом придется округлить до целого. Округление до ближайшего целого дает погрешность одной операции в ±0,5.
  
  Такую же погрешность надо получить и на выходе при использовании правильного метода округления.
  7
  

• 8 слайд

  Округление «половинок»
  или внимание к мелочам
  1. Найдем значение алгебраически без округлений: (99,5+0,5)*100/2=5000, среднее равно 5000/100=50.
  
  2. Округлим числа из ряда в соответствии с правилом «округление к ближайшему целому» без учета особого случая с «половинками». После округления получим ряд:
  
  1+2+3+4+5+6+7+...98+99+100
  
  Его сумма равна: (100+1)*100/2=5050, среднее равно 5050/100=50,5. Видно, что при вычислении суммы ряда погрешность составила +50, что является совершенно неудовлетворительным результатом.
  
  3. Округлим с учетом правила «округление к четному». После округления получим ряд:
  
  0+2+2+4+4+6+6+...98+98+100
  
  Его сумма равна: 0+100+2*2+2*4+2*6+...2*98 = 100+2*(2+4+6+...98) = 100+2*[(98+2)/2*49] = 5000, среднее равно 5000/100=50. В итоге получили погрешность даже меньше, чем погрешность, возникающая при округлении одного числа.
  8
  

• 9 слайд

  Случайное округление
  Стоит заметить, что последний способ не является идеальным вариантом округления. Его недостаток - при округлении необходимо смотреть не только отбрасываемый разряд, но и все следующие за ним разряды (нули там или нет) и последний оставляемый разряд (четный он или нечетный). А это сопряжено с техническими сложностями при реализации.
  
  Например: 2,5→2, но 2,500000001→3, а 3,5→4.
  
  Кроме того, предположение о равенстве четных и нечетных чисел не всегда справедливо, более того, использование этого метода округления изменяет распределение чисел в пользу четных за счет нечетных.
  
  Самым математически точным методом округления является случайное округление. Рассмотрим его подробнее. Но вначале один пример:
  9
  

• 10 слайд

  Случайное округление
  Предположим, что в результате эксперимента мы получаем некоторые положительные величины, каждая из которых меньше единицы. Далее, проведя два миллиона экспериментов, мы получили один миллион значений в 0,2 и еще миллион значений в 0,3. Каждый раз полученную величину мы прибавляли к счетчику, значение которого изначально было равно нулю. В результате всего эксперимента значение счетчика будет
  
  1000000*0,2+1000000*0,3 = 200000 + 300000 = 500000.
  
  А теперь представим, что мы имеем счетчик, который после выполнения каждой операции округляется до целого значения, с соблюдением всех изложенных выше правил. Какое значение мы получим в этом случае после выполнения всего эксперимента?
  
  Очевидно, что это будет 0, так как после каждого прибавления в счетчике будет величина меньше 0,5, а значит счетчик будет округляться до нуля. И так все два миллиона раз, с итоговым результатом, равным 0.
  
  Для решения указанных проблем как раз и предназначено случайное округление. Другое его название вероятностное округление.
  10
  

• 11 слайд

  Случайное округление
  Например, рассмотрим число 1,8. Этому числу до 2 недостает всего 0,2, но больше 1 оно на 0,8. Поэтому при случайном округлении оно будет округлено до 2 с вероятностью 1-0,2=0,8, то есть 80%, а до 1 будет округлено с вероятностью 1-0,8=0,2, то есть 20%.
  
  Что такое вероятность округления 0,8 или 0,2 (80% и 20%)? Для каждого конкретного случая округления нельзя сказать точно, в какую сторону будет оно произведено, в большую или меньшую. Но для большого количества округлений такие выводы уже можно будет сделать.
  
  Например, проведя 100 округлений числа 1,8 мы получим 80 двоек (80%) и 20 единиц (20%). Еще точнее можно сказать для миллиона округлений: 800 тысяч двоек и 200 тысяч единиц.
  
  При этом совершенно нельзя утверждать, что будет идти 8 двоек и за ними 2 единицы, с многократным повторением такой последовательности. Нет, этот процесс совершенно случаен!
  
  Но чем больше операций округления числа 1,8 до целого мы будем выполнять, тем все ближе и ближе будет соотношение двоек к единицам к пропорции 80 к 20.
  11
  

• 12 слайд

  Случайное округление
  А теперь вернемся к нашему эксперименту с двумя миллионами измерений, в ходе которого мы получили один миллион значений в 0,2 и еще миллион значений в 0,3. Только теперь будем использовать случайное округление.
  
  Так как перед каждым округлением дробная часть счетчика будет равна либо 0,2, либо 0,3, то можно считать, что один миллион раз мы будем округлять 0,2 и один миллион раз 0,3.
  
  Посчитаем, что мы получим в результате случайного округления:
  
  0,2 с вероятность 80% будет округляться до 0 и с вероятностью 20% будет округляться до 1. После одного миллиона округлений к нулю оно будет округлено 800 тысяч раз, а к 1 будет округлено 200 тысяч раз. Итого, накопленная сумма будет равна: 800000*0+200000*1=200000.
  
  0,3 с вероятность 70% будет округляться до 0 и с вероятностью 30% будет округляться до 1. После одного миллиона округлений к нулю оно будет округлено 700 тысяч раз, а к 1 будет округлено 300 тысяч раз. Итого, накопленная сумма будет равна: 700000*0+300000*1=300000.
  
  Итого, после выполнения всего эксперимента значение счетчика будет равно: 200000+300000=500000. То есть будет аналогично накопленному в счетчике значению, когда округление после каждой операции не выполнялось. Прекрасный результат, округление не внесло никаких ошибок.
  12
  

• 13 слайд

  Случайное округление
  Частным случаем вероятностного округления будет округление чисел, дробная часть которых точно равна 0,5, то есть округление «половинок», о которых мы говорили при рассмотрении метода округления к ближайшему целому. При вероятностном округлении такие числа будут округляться к меньшему и большему числу с одинаковой вероятностью.
  
  Понятно, что вероятностное округление дает совершенно бессмысленный результат при проведении единичных операций округления. Этот метод предназначен для округлений в ходе решения задач, которые требуют триллионов арифметических операций.
  
  Если вероятностный метод округления настолько хорош, то почему же он практически не используется в современной вычислительной технике. Основная причина заключается в том, что для его работы необходимо использовать генератор случайных чисел, на основании которых и принимать решение об округлении в ту или иную сторону.
  
  Подобные генераторы случайных чисел используются в криптографии, но их основная проблема - очень низкая производительность, для генерации одного числа им необходимы минимум минуты. Сравните это с тем, что современный процессор может выполнять несколько десятков миллиардов арифметических операций в секунду, и на каждой операции он выполняет округление в связи с конечной точностью представления числа в двоичном коде.
  13
  

• 14 слайд

  Заключение
  Мне сначала показалось, что тема по округлению чисел очень скучная. Но это оказалось не так. Потому что округление чисел применяется не только на уроках математики для решения примеров и в науке, но и в обычной жизни.
  
  Числа округляют тогда, когда полная точность не нужна или невозможна. Вот зачем нам это правило!
  14
  Но вне зависимости от причин, по которым мы выполняем округление, мы должны внимательно подходить к используемому алгоритму округления и его точности, иначе результаты наших вычислений будут далеки от истины.
  π=3.1415
  92653589793
  23846264338327
  950288419716939937510
  58209749445923078164062862089
  

• 15 слайд

  СПАСИБО
  ЗА ВНИМАНИЕ
  15