Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Презентация на тему "Параметрически заданные кривые". 11 класс профильный уровень
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация на тему "Параметрически заданные кривые". 11 класс профильный уровень

Выберите документ из архива для просмотра:

30.46 КБ Пареметрические кривые.docx
588.08 КБ Презентация.pptx
65.01 КБ гипоциклоида.gif
23.82 КБ движение точки по лучу.png
69.83 КБ спираль Архимеда.png
11.57 КБ эпициклоида.jpg

Выбранный для просмотра документ Пареметрические кривые.docx

библиотека
материалов





Параметрически заданные кривые.

Построение графиков параметрически заданных кривых.





























(Слайд 1) План:

  1. Вступление

    1. Представление работы

    2. Обоснование выбора темы

  2. Основная часть

    1. Цели

    2. Основная часть

  3. Завершение

    1. Подведение итогов





Тема работы выбрана не случайно, так как параметрически заданным кривым в настоящее время уделяется немало внимания.

(Слайд 2) Цели:

Рассмотреть различные виды кривых и их практическое применение.

Основная часть.

В курсе математического анализа мы знакомились с исследованием функций f:R-R и построением их графиков с помощью дифференциального исчисления. Однако, существуют и так называемые параметрически заданные кривые, описание которых задаётся системой x=Ф(t); y=Ш(t); tc[a,b], где Ф и Ш непрерывны на отрезке. Таким образом, параметрически заданная кривая – это отображение из отрезка в пространство.

Справедлива теорема о строении парамертически заданной кривой в окрестности её обыкновенной точки, то есть в точке tо, где Ф’(tо) и Ш’(tо) не равны нулю одновременно. А именно: существует окрестность точки Utо, образ которой при отображении x=Ф(t); y=Ш(t); tc[a,b] есть график непрерывно дифференцируемой функции h(x) или g(y) при этом h’(x)=Ш’(tо)/Ф’(tо) или g’(y)=Ф’(tо)/Ш’(tо). И для этих «кусков» параметрически заданных кривых можно применять методы исследования, как для f:R-R. Покажем это на примерах.

(Слайд 3) 1. X=tlnt; Y=lnt/t.

(слайд 4) 2. Архимедова спираль  (Слайд 5) спираль, плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, (Слайд 6) в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так: p=kф, где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.











Параметрические уравнения:

x = t * Cos (t); y = t * Sin (t), где t oт 0 дo бесконечности.

(Слайд 7) 3. Гиперболическая спираль — (Слайд 8) плоская кривая. Уравнение гиперболической спирали есть обратное для уравнения Архимедовой спирали и записывается так: pф=a.

Параметрические уравнения:

X=a(cos(t))/t; Y=a(sin(t))/t

(Слайд 9) 4. Гипоциклоида (Слайд 10) так называется кривая, описываемая произвольной точкой М окружности радиуса r, катящейся без скольжения изнутри по другой, неподвижной, окружности радиуса R = kr.

В зависимости от отношения радиусов окружностей получаются различные по форме кривые.

Параметрические уравнения:

http://school-collection.edu.ru/dlrstore-wrapper/0225031a-d456-47d1-ac9c-2f7fc88c4cd0/image002.gif

(Слайд 11) 5. Астроида – (Слайд 12) плоская кривая, служащая траекторией точки, лежащей на окружности радиуса r, катящейся без трения изнутри по неподвижной окружности радиуса R = 4r. Является частным случаем гипоциклоиды.

Параметрические уравнения:

http://school-collection.edu.ru/dlrstore-wrapper/0f52b84b-4819-4d76-91a7-41cfced6e22b/image004.gif

Отрезок касательной к астроиде, заключенный между осями координат, для любой точки астроиды имеет одну и ту же длину, равную R.

(Слайд 13) 6. «Лист Декарта» - (Слайд 14) плоская фигура, ограниченная петлёй кривой X^3+Y^3=3aXY (a>0). Симметрична относительно прямой Y=X.

Параметрические уравнения:

x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}

Из найденных точек пересечения кривой и биссектрисы (X=3a/2; Y=3a/2) следует, что кривая пересекает точку (0,0) дважды, образую тем самым петлю. Но при всем при этом кривая берёт своё начало в точке О при t стремящемся к минус бесконечности, затем при t стрем. к -1 происходит разрыв, после которого кривая пересекает точку О при t=0 и возвращается в неё при t стрем. к плюс бесконечности. При этом кривая только один раз проходит через точку O=(0,0). А начало и конец её самой кривой не принадлежат.

Но более подробно хотелось бы остановиться на такой кривой как циклоида.

(Слайд 15) 7. Циклоида — (Слайд 16) плоская кривая, траектория фиксированной точки окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Параметрическое уравнение:

X=rt – rsin(t); Y=r – rcos(t)

«Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной).

Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован для создания точных механических часов.



Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают такие кривые как – циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида.

(Слайд 17) Также хотелось бы рассмотреть и бобслейные трассы.

Какой из бобов приедет первым. Боб зелёного цвета, катившийся по циклоидальной горке, приходит первым! Как мы видим, циклоида является наиболее подходящей траекторией. Если даны две различные точки, то через эти две точки можно провести циклоиду, с учетом того, что в верхней её точке находится точка возврата.

(Слайд 18) Рассмотрим отдельно задачу о таутохронности циклоиды. Рассмотрим три горки циклоиды, и поставим три боба на разные высоты горок. Невероятно, но все три боба одновременно пересекут линию финиша. Было доказано, что единственной таутохроной является циклоида.

Без знания циклоиды не обошлось и изготовление особо точных часов. Галилео Галилей был первым кто предложил делать маятниковые часы, опираясь на строение циклоиды. Но к сожалению его планам не суждено было сбыться. Следующим кто продолжил создание точных часовых механизмов был Христиан Гюйгенс. Гюйгенс решает задачу о таутохронности, но вопрос как заставить двигаться груз по циклоиде остаётся открытым. (Слайд 19) Пытаясь практически применить полученные знания Гюйгенс делает «щёчки», на которые наматывается верёвка маятника. Получается, что «щечки» представляют собой не что иное, как профиль самой циклоиды. Также эта конструкция помогает посчитать и длину самой циклоиды, которая к слову равна восьми радиусам производящего круга.(Слайд 20)



Как видно из представленной работы, параметрически заданные кривые, в частности циклоида, находят обширное применение на практике, будь то изготовление часов или конструкция бобслейных трасс. Изучая параметрически заданные кривые на парах математического анализа я и не мог предположить, что спектр их применения на столько обширен. И хотя я и рассмотрел конкретно только циклоиду, это отнюдь не означает, что другие рассмотренные мной кривые имеют меньшее значение чем циклоида.

В завершении своего выступления хочу отметить, что изучив параметрически заданные кривые я не намерен останавливаться на достигнутом, а намерен идти дальше и узнать больше об этих интересных и замысловатых «закорючках».

Выбранный для просмотра документ Презентация.pptx

библиотека
материалов
Рассмотреть различные виды параметрически заданных кривых и их практическое...
 X = t * lnt Y = lnt/t.
 X = t * Cos (t) Y = t * Sin (t) Архимедова спираль
X = a * Сos(t)/t Y = a * Sin(t)/t Гиперболическая спираль
Гипоциклоида
Астроида
Лист Декарта
X = r * t – r * Sin(t) Y = r – r * Cos(t) Циклоида
Бобслей
Таутохронность
«Щечки» Гюйгенса
Спасибо за внимание
19 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Рассмотреть различные виды параметрически заданных кривых и их практическое
Описание слайда:

Рассмотреть различные виды параметрически заданных кривых и их практическое применение Цель

№ слайда 2  X = t * lnt Y = lnt/t.
Описание слайда:

X = t * lnt Y = lnt/t.

№ слайда 3  X = t * Cos (t) Y = t * Sin (t) Архимедова спираль
Описание слайда:

X = t * Cos (t) Y = t * Sin (t) Архимедова спираль

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6 X = a * Сos(t)/t Y = a * Sin(t)/t Гиперболическая спираль
Описание слайда:

X = a * Сos(t)/t Y = a * Sin(t)/t Гиперболическая спираль

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 Гипоциклоида
Описание слайда:

Гипоциклоида

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10 Астроида
Описание слайда:

Астроида

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12 Лист Декарта
Описание слайда:

Лист Декарта

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14 X = r * t – r * Sin(t) Y = r – r * Cos(t) Циклоида
Описание слайда:

X = r * t – r * Sin(t) Y = r – r * Cos(t) Циклоида

№ слайда 15
Описание слайда:

№ слайда 16 Бобслей
Описание слайда:

Бобслей

№ слайда 17 Таутохронность
Описание слайда:

Таутохронность

№ слайда 18 «Щечки» Гюйгенса
Описание слайда:

«Щечки» Гюйгенса

№ слайда 19 Спасибо за внимание
Описание слайда:

Спасибо за внимание


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 03.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров259
Номер материала ДВ-303597
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх