Презентация на тему "Решение не геометрических задач геометрическим методом."

• 1 слайд

  Геометрическое решение негеометрических задач
  Г.Новосибирск МБОУ Гимназия№4
  Учитель высшей квалификационной категории Баринова Л.Л
  

• 2 слайд

  Содержание
  Системы уравнений.
  Тригонометрия.
  Взаимосвязанные иррациональности.
  Экстремумы.
  

• 3 слайд

  Системы уравнений
  Природа написана на языке математики.
  Галилей.
  

• 4 слайд

  Задача 1
  Условие
  Для положительных x, y, z из условий
  y²+z²=50,
  x²+xy+y²/2=169,
  x²+xz+z²/2=144,
  не находя значений x, y, z вычислите значение выражения xy+yz+xz.
  

• 5 слайд

  Решение
  y²/2+z²/2=25
  x²+xy+y²/2=169
  x²+xz+z²/2=144
  

• 6 слайд

  Решение
  SAOB=1/2*xy/√2*sin135°=1/4xy
  SAOC=1/2*y/√2*z/√2 =1/4yz
  SBOC=1/2*x*z/√2*sin135°=1/4xz
  SABC=1/2*5*12=30
  Заметим, что значение выражения xy+yz+xz=120 равно учетверенной площади треугольника АВС. Итак, xy+yz+xz=120.
  Ответ:120.
  
  

• 7 слайд

  Тригонометрия
  Арифметические знаки − это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры − это нарисованные фигуры.
  Д.Гильберт
  
  

• 8 слайд

  Задача 2
  Докажите, что sin2α=2sinα*cosα
  (формула синуса двойного угла).
  
  
  
  

• 9 слайд

  Решение
  Рассмотрим ∆АВС
  (АВ=ВС=1),
  угол АВС=2α, высоты AD и BE.
  AD=sin2α, AE=EC=sinα,
  BE=cosα/
  Так как ∆АВС~ ∆CAD, то AB/AC=BE/AD, т.е. 1/2sinα=cosα/sin2α,
  Sin2α=2sinα*cosα.
  
  

• 10 слайд

  Взаимосвязанные иррациональности
  Математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит.
  М.Ломоносов
  

• 11 слайд

  Задача 3
  Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
  f(x)=√x²+4 +√x²-3x√3+9
  
  В природе все подлежит измерению, все может быть сосчитано.
  Н.Лобачевский
  
  

• 12 слайд

  Решение
  ∆ADC (AC=2, CD=x, угол ACD=90°) и
  ∆BCD (BC=3, CD=x, угол BCD=30°).
  Из ∆ADC AD=√x²+4 (по теореме Пифагора), а из
  ∆BCD DB=√x²+9-3x√3(по теореме косинусов)
  Min f(x)=min(AD+DB)=AB
  Из ∆ABC
  AB=√2²+3²-2*2*3*cos120°=√19 (по теореме косинусов).
  Ответ:√19
  

• 13 слайд

  Об экстремумах
  И нет движенья – ни вперед, ни назад, ни вверх и ни вниз.
  Т. Элиот
  

• 14 слайд

  Подсказка
  BH=√ab – среднее геометрическое
  BO=(a+b)/2 – среднее арифметическое
  √ab ≤ (a+b)/2
  2√a+b ≤ a+b
  

• 15 слайд

  Задача 4
  Условие
  При каком значении аргумента x функция
  f(x) принимает наименьшее значение? Вычислите min f(x).
  5x²+4x+20
  f(x)= 2x , x>0.
  
  

• 16 слайд

  Решение
  5x²+4x+20 1
  2x 2
  
  1 1 20
  2 2 x
  
  5x²+4x+20
  2x
  X=2
  Ответ: min f(x)=f(2)=12.
  
  
  
  
  
  
  
  =
  (
  5x+
  20
  x
  )
  +2
  (5x+
  20
  
  x
  )
  +2
  ≥
  *2
  √
  5x*
  +2
  =12
  

• 17 слайд

  Задача 5
  Доказать, что:
  из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат;
  из всех прямоугольников с заданной площадью наименьший периметр имеет квадрат.
  
  

• 18 слайд

  Доказательство
  Пусть одна из сторон равна x, тогда при заданном периметре P=4a вторая сторона равна 2a-x.
  S(x)=(2a-x)x
  
  (2a-x)x ≤ , ((2a-x+x)/2)²=a²
  
  (2a-x)x=a² <=> x²-2xa+a²=0 <=> x=a
  Max S(x)=a² при x=a.
  
  
  
  2a-x-x
  2
  ( )
  2
  

• 19 слайд

  Доказательство
  2)Пусть сторона прямоугольника равна x, тогда при заданной площади S(x)=a² другая его сторона равна a²/x.
  P(x)=2(a²/x+x)
  2(a²/x+x) ≥ 2*2√x* , 2*2√x* =4a
  2(x+a²/x)=4a <=> x²-4ax+a²=0 <=> x=a
  Min P(x)=4a при x=a.
  Что и требовалось доказать.
  a²
  x
  a²
  x
  

• 20 слайд

  Терпенье и труд все перетрут.
  Поговорка
  

Краткое описание документа:

Великий русский поэт А.С.Пушкин, однажды , решив задачу, воскликнул:"В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии". Презентация посвящена решению разных типов не геометрических задач геометрическими методами. Презентация поможет учащимся 9-11 классов на этапе итогового повторения. Решения, предложенные в презентации отличаются от привычных, решения в основном "лежат в рисунке".