Презентация на тему "Самоотображающиеся фракталы"

• 1 слайд

  Самоотображающиеся фракталы
  
  
  
  
  
  
  
  

• 2 слайд

  Содержание
  САМОИНВЕРСНЫЕ ФРАКТАЛЫ, АПОЛЛОНИЕВЫ СЕТИ И МЫЛО
  КАНТОРОВА ПЫЛЬ И ПЫЛЬ ФАТУ.
  ФРАКТАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ И ФРАКТАЛЬНЫЕ ЭВОЛЮЦИИ
  
  

• 3 слайд

  САМОИНВЕРСНЫЕ ФРАКТАЛЫ, АПОЛЛОНИЕВЫ СЕТИ И МЫЛО
  Первые самоинверсные фракталы были представлены на суд публики в 80-х гг. XIX в. Анри Пуанкаре и Феликсом Клейном вскоре после того, как Вейерштрасс построил непрерывную, но не дифференцируемую функцию – примерно в одно время с множествами Кантора и задолго до кривых Пеано и Коха и их масштабно-инвариантных родственников. Ирония заключается в том, что самоподобные фракталы нашли себе надежное место под солнцем в качестве материала для всевозможных контрпримеров и математических игр, в то время как самоинверсные фракталы образовали узкоспециальный раздел теории автоморфных функций. Теорией этой некоторое время никто не занимался, затем она возродилась, но в весьма абстрактной форме. Одна из причин того, что самоинверсные фракталы оказались полузабыты, состоит в том, что их действительная форма оставалась неисследованной.
  
  

• 4 слайд

  Многие нелинейные фракталы имеют «органический внешний вид».
  Одни фракталы, построенные согласно нелинейным правилам, напоминают то насекомых, то головоногих, тогда как другие похожи на растения.
  Следующей по сложности геометрической фигурой после прямой является в евклидовой геометрии окружность, причем окружность остается окружностью не только при преобразовании подобия, но и при преобразовании обратными радиусами, т. е. инверсии.
  

• 5 слайд

  Предельное множество инверсной группы
  Самым интересным самоинверсным множеством является самое маленькое. Оно называется предельным множеством (и обозначается буквой L ), поскольку является также множеством предельных точек преобразований любой исходной точки под действием операций группы G. Оно принадлежит клану любой затравки S . Проясним формальное определение: множество L  состоит из таких предельных точек, которые не могут быть получены конечным числом инверсий. На интуитивном уровне это множество можно представить как область скопления бесконечно малых потомков.
  Множество L  можно свести к точке или окружности, однако в общем случае оно является фрагментированным и/или/ иррегулярным фрактальным множеством.
  Множество  L стоит в мозаике особняком, как «множество бесконечно малых плиток». Оно играет по отношению к конечным элементам мозаики такую же роль, какую играют концы ветвей (см. главу 16) по отношению к самим ветвям. Однако здесь ситуация проще: подобно  L мозаика F  представляет собой самоинверсное множество без остатка.
  Множество L  называется аполлониевым, если оно состоит из бесконечного количества окружностей вместе с их предельными точками. В данном случае его фрактальность является исключительно следствием фрагментации.
  

• 6 слайд

  Упаковка Лейбница.  Аполлониева упаковка похожа на конструкцию, которую я называю круговой упаковкой Лейбница, так как,  насколько мне известно, впервые она была описана в письме Лейбница к де Броссу: «Представьте себе окружность, а затем впишите в нее еще три окружности  наибольшего возможного радиуса, конгруэнтные друг другу: повторите аналогичную операцию с каждой из этих окружностей и с каждым промежутком между ними. А теперь вообразите, что этот процесс продолжен до бесконечности…»
  
  

• 7 слайд

  Аполлониевы сети самоинверсны
  Вернемся к началу построения аполлониевой сети: трем касательным окружностям. Добавим сюда любую из соответствующих аполлониевых окружностей и назовем получившиеся четыре окружности   - окружностями. Все четыре показаны на нижеследующем рисунке жирными линиями.
  
  Существует четыре комбинации из трех  Г - окружностей (мы будем называть их триплетами), и каждой из них соответствует окружность, ортогональная каждой окружности триплета. Возьмем эти новые окружности в качестве генератора и обозначим через C1 , C2, C3 и C4 (на рисунке ниже они показаны тонкими линиями). АГ - окружность, ортогональную окружностям  Ci , Cj, и Ck обозначим как Гi,j,k .
  

• 8 слайд

  Даже самое поверхностное рассмотрение показывает, что наименьшее (замкнутое) множество, самоинверсное по отношению к четырем порождающим окружностям  , представляет собой аполлониеву сеть, построенную на четырех  - окружностях. Любопытно, что об этом наблюдении никто явным образом не сообщает, хотя оно должно быть известно довольно широко.
  При более тщательном изучении мы увидим, что каждая окружность в сети преобразуется в одну из  - окружностей, проходя через уникальную последовательность инверсий относительно окружностей  . Таким образом, принадлежащие аполлониевы сети окружности можно рассортировать на четыре клана, причем клан, нисходящий от окружности  , мы будем обозначать как G .
  
  

• 9 слайд

  Аполлониева модель смектической структуры.
  Жидкие кристаллы- это прекрасные и таинственные субстанции, они подвижны, как жидкости, однако с оптической точки зрения ведут себя подобно кристаллам. Их длинные цепеобразные молекулы имеют довольно сложную структуру. Некоторые жидкокристаллические фазы называются смектическими (от греч.  , что означает «мыло»), так как моделируют мылообразные органические системы. Молекулы смектического жидкого кристалла расположены в слое вертикально и параллельно друг другу, как колосья на поле, при этом толщина слоя равна длине молекулы. В результате получаются очень гибкие и прочные слои или листы, которые, будучи деформированными, стремятся вернуть себе прежнюю форму. При низких температурах слои располагаются один на другом, точно листы в книге, образуя при этом твердый кристалл. Однако при повышении температуры становится возможным легко сдвигать слои относительно друг друга. Каждый слой представляет собой двумерную жидкость.
  
  

• 10 слайд

  Самоинверсный фрактал (построение Мандельброта)
  Самографический фрактал 
  (вблизи предела Пеано)
  
  

• 11 слайд

  Знаменитый самоинверсный фрактал, исправленный вариант (построение Мандельброта)
  

• 12 слайд

   КАНТОРОВА ПЫЛЬ И ПЫЛЬ ФАТУ.
  Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.
  Классическое множество Кантора, или пыль Кантора, названо по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Существование пыли Кантора отмечалось до этого Генри Смитом в 1875 году или еще ранее.Это множество хорошо известно студентам из курса математического анализа как пример множества нулевой меры Лебега, чья мощность равна мощности континуума. Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого множества.
  
  

• 13 слайд

  Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасывания средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок [0,1], и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3,2/3). На следующем и всех остальных шагах мы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, мы получаем (рис. 2.1) последовательность множеств:
  
  Рис. 1.1
  Построение пыли
  Кантора.
  
  
  Предельное множество С, которое представляет
  собой пересечение множеств, называется классической пылью Кантора.
  

• 14 слайд

  Свойства канторовой пыли:
  1. Канторова пыль есть самоподобный фрактал размерности
  2. Канторова пыль не содержит интервалов положительной длины. Это очевидно из построения.
  3. Сумма длин интервалов, удаленных при построении множества С, в точности равна 1.
  4. Удивительный результат сравнения множества Кантора с интервалом состоит в том, что мощности этих множеств равны. Два множества обладают равной мощностью, если существует взаимно однозначное соответствие между точками этих множеств. В случае конечных множеств данное утверждение тривиально. Для бесконечных множеств, таких как интервал или множество Кантора, понятие мощности требует аккуратного обращения. В качестве простой иллюстрации сказанного достаточно заметить, что отрезки [0,1] и [0,2] — равной мощности, несмотря на то, что второй интервал в два раза длиннее первого.
  5. Классическая канторова пыль представляет собой пример компактного, совершенного и вполне разрывного множества. Более того, можно утверждать, что топологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество можно непрерывно преобразовать в пыль Кантора, причем существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает.
  

• 15 слайд

  Пыль фату
  Пыль Фату Множество Жюлиа
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  В голоморфной динамике, мно́жество Жюлиа́ J(f)  рационального отображения   — множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если f  полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа _ множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.
  Множество ФатуF(f) дополнение к множеству Жюлиа. Иными словами, динамика итерирования f на F(f)  регулярна, а на J(f)  хаотична.
  Эти множества названы по именам французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату, положивших начало исследованию голоморфной динамики в начале 20 века.
  
  

• 16 слайд

  Определение и свойства
  Определения:
  Пусть рациональное отображение. Множество Фату состоит из точек z, таких, что в 
  ограничении на достаточно малую окрестность z последовательность итераций образует нормальное семейство в смысле Монтеля. Множество Жюлиа дополнение к множеству Фату.
  Это определение допускает следующую эквивалентную переформулировку: множество Фату это множество тех точек, орбиты которых устойчивы по Ляпунову. (Эквивалентность переформулировки неочевидна, но она следует из теоремы Монтеля.)
  Свойства:
  Как мгновенно следует из определений, множество Жюлиа всегда замкнуто, а множество Фату открыто.
  Множество Жюлиа для отображения степени, большей 1, всегда непусто (иначе можно было бы выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность из итераций.) В отношении же множества Фату аналогичное утверждение неверно: существуют примеры, в которых множество Жюлиа оказывается всей сферой Римана. Такой пример можно построить, взяв отображение  удвоения на торе     (динамика которого, очевидно, везде хаотична), и пропустив его через   -функцию Вейерштрасса  .
  Множество Жюлиа является замыканием объединения всех отталкивающих периодических орбит.
  Множества Фату и Жюлиа оба полностью инвариантны под действием f, то есть совпадают как со своим образом, так и с полным прообразом:
  Множество Жюлиа J(F) является границей (полного) бассейна притяжения любой притягивающей или суперпритягивающей орбиты; частным случаем этого является утверждение, что J(F) это граница заполненного множества Жюлиа (поскольку для полиномиального отображения бесконечность -- суперпритягивающая неподвижная точка, а заполненное множество Жюлиа есть дополнение к её бассейну притяжения). Кроме того, взяв полиномиальное отображение с тремя различными притягивающими неподвижными точками, получаем пример трёх открытых (естественно, несвязных) множеств на плоскости с общей границей.
  Если открытое множество U пересекает множество Жюлиа, то, начиная с некоторого достаточно большого n, образ    совпадает со всем множеством Жюлиа J. Иными словами, итерации растягивают сколь угодно маленькую окрестность в множестве Жюлиа на всё множество Жюлиа.
  

• 17 слайд

  ФРАКТАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ И ФРАКТАЛЬНЫЕ («ХАОТИЧЕСКИЕ») ЭВОЛЮЦИИ
  Понятие аттрактора
  Рассмотрим для начала простейший аттрактор – точку. «Орбита», определяемая движением маленького шарика после помещения его в воронку, начинает с некоторой спиралевидной траектории, точная форма которой зависит от исходных положения и скорости шарика, однако, в конце концов, сходится к горловине воронки; если диаметр шарика превышает диаметр отверстия воронки, то он там и останется. Для нашего шарика начало горловины воронки является устойчивой точкой равновесия, или устойчивой неподвижной точкой. В рамках достаточно удобной альтернативной описательной терминологии горловину воронки можно назвать притягивающей точкой, или аттрактором.
  

• 18 слайд

  В физической системе устойчивыми и притягивающими могут быть также окружность или эллипс. Например, мы все полагаем, что солнечная система устойчива, подразумевая, что если орбите Земли и суждено претерпеть какие- либо возмущения, то она, в конце концов «притянется» назад на свою теперешнюю колею.
  Аттрактор может быть точкой, конечным множеством точек, кривой, разнородностью, или даже сложным комплексом с фрактальной структурой, известным как странный аттрактор. Если переменная является скаляром, аттрактор представляет собой подмножество вещественной числовой прямой. Описывая аттрактор в хаотических динамических системах, он является одним из достижений теории хаоса. Траектория динамической системы в аттракторе не удовлетворяет любым особым ограничениям для оставшихся на аттракторе исключениям, вперед и назад во времени. Траектория может быть периодической и хаотической.
  
  

• 19 слайд

  Понятие репеллера
  Мы можем также поместить наш шарик в положение неустойчивого равновесия – например, на кончике карандаша. Если начальное положение не совпадает в точности с точкой равновесия, то шарик словно отталкивается прочь и достигает состояния устойчивого равновесия где-то в другом месте.
  Множество всех положений неустойчивого равновесия (вместе с их предельными точками) называется отталкивающим множеством, или репеллером.
  Во многих случаях аттракторы и репеллеры меняются местами при смене знаков в уравнениях. Имея дело с силой тяжести, достаточно изменить направление ее действия. Рассмотрим, например, в основном горизонтальную поверхность с прогибами в обоих направлениях. Предположим, что сила тяжести направлена вниз, поместим шарик на верхней стороне поверхности и обозначим притягивающий прогиб буквой , а отталкивающий – буквой . Если теперь поместить шарик на нижней стороне поверхности и предположить, что сила тяжести направлена вверх, то прогибы и поменяются местами. В этой главе такие обмены играют центральную роль.
  
  

• 20 слайд

  Фрактальные аттракторы. «хаос»
  Бóльшая часть элементарной механики имеет дело с динамическими системами, аттракторами которых являются точки, почти окружности и другие фигуры евклидовой геометрии. Однако в действительности такие фигуры представляют собой редкие исключения, и поведение большинства динамических систем несравнимо более сложно: их аттракторы и репеллеры имеют явную тенденцию к фрактальности.
  Аттракторы классифицируют по:
  Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.
  Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные — зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).
  Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же — термин «минимальный» в значении «неделимый»).
  Предельным циклом является периодическая орбита системы, которая изолирована. Примеры включают маятник часов, схему настройки радио и сердцебиения во время отдыха. (Предельный цикл идеального маятника не пример аттрактора предельного цикла, потому что ее орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника, недалеко от любой точки периодической орбиты есть еще один момент, который принадлежит другой периодической орбите.
  
  

• 21 слайд

  Предельный тор
  Может быть больше, чем одна частота периодической траектории системы через состояние предельного цикла. Например, в физике, одна частота может диктовать скорость, с которой планета вращается вокруг звезды в то время как вторая частота описывает колебания расстояния между этими двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональную фракцию (т.е. они несоизмеримы), траектория больше не закрывается, а предельный цикл становится предельным тором.
  Странный аттрактор
  Аттрактор называется странным, если он имеет фрактальную структуру. Это часто бывает, когда динамика на нем хаотична, но существуют также странные аттракторы, которые не хаотичны.
  Примеры странных аттракторов включают в себя Дважды прокрученный аттрактор, аттрактор Хенона, Rössler аттрактор, и аттрактор Лоренца.
  

• 22 слайд

  Спасибо за внимание!