Презентация на тему "Теорема Виета"

• 1 слайд

  
  Теорема Виета
  Выполнила: Учитель МБОУ СШ №2
  г. Димитровграда
  Пахомова О.В.
  
  

• 2 слайд

  Теорема: Если a1, a2, …an — корни многочлена
  xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an, (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты a1, a2,…an выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:
  a1 = - (a1 +a2 + … + an)
  a2 = a1a2 + a1a3 + … + a1an + a2a3 + … + an-1an
  a3 = - (a1a2a3 + a1a2a4 + … + an-2an-1an)
  an-1 = (-1)n-1(a1a2…an-1 + a1a2…an-2an + … + a2a3…an)
  an = (-1)na1a2…an
  Иначе говоря (−1)kak равно сумме всех возможных произведений из k корней.
  
  
  

• 3 слайд

  Если старший коэффициент многочлена a0 ≠ 1, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен. Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что a0 = 1
  
  Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (теорема единственности), получаем формулы Виета.
  
  

• 4 слайд

  Приведем примеры решения задач на применение теоремы Виета.
  Задача 1.
  Решить уравнение x2 - 7x + 12 =0.   
  Решение.
    D=72 — 4·12 = 1 >0,  уравнение имеет корни.
  Претенденты на роль корней это два числа, которые в произведении дают 12. Причем, знаки у них одинаковые (либо оба корня положительные, либо оба - отрицательны).  Но так как их сумма x1 + x2 = +7, значит, они положительны.
  Какие это пары?  Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.  Но только 3+4=7, значит,  корни x1=3, x2=4.
  

• 5 слайд

  Задача 2
  Решить уравнение x2 + x — 12 =0.
  Решение.
  Корни имеют разные знаки, т.к. их произведение равно  -12. Например, такие пары: 1 и -12  или -1 и 12  или 2 и -6 или -2 и 6 или  3 и -4 или -3 и 4.
  Проверим, какая пара в сумме дает  -1.    Это  3 и -4.   
  Ответ: x1=3, x2=-4.
  

• 6 слайд

  Задача 3
  Разложить на множители:
  х³ + 3х² + 2х;
  х³ - 9х² - 22х.
  Решение.
  1) х³ + 3х² + 2х = х(х² + 3х + 2)= ( далее находим корни квадратного трехчлена х²+ 3х + 2 по теореме Виета, они равны  - 2 и -1) = х(х + 2)(х + 1)
  2) аналогично, х³ - 9х² - 22х = х(х² - 9х - 22)= х(х - 11)(х + 2)
  
  

• 7 слайд

  Задача 4
  Не решая уравнения х² - 3х  - 10 = 0, вычислите сумму кубов его корней.
  Решение.
  Пусть х1 и х2 - корни данного уравнения. Выполним преобразования суммы кубов и  подставим значения суммы и произведения корней, вычисленные по теореме Виета: х13+ х23= (х1+ х2) (х12- х1 х2+ х22) = 3((х1+ х2)2 - 3 х1 х2) =
  3(9 + 30) = 117
  

• 8 слайд

  Вклад Франсуа Виета в математику
  Виет Франсуа родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам. Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки, Виет пришел к мысли составить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы. Затем он приступил к разработке тригонометрии и приложению ее к решению алгебраических уравнений. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти-Генриха IV.
  

• 9 слайд

  Но главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики.
  Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Так, например, у Кардано рассматривались 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят.
  

• 10 слайд

  Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Правда, у самого Виета алгебраические символы еще были мало похожи на наши. Например, кубическое уравнение Виет записывал так: А cubus + В рlanum in A3 aequatur D solito. Здесь еще, как видим, много слов. Но ясно, что они уже играют роль наших символов. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики.
  

• 11 слайд

  Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении коэффициентов уравнения через его корни, полученной им самостоятельно, хотя, как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения (даже более общего вида, чем квадратного) была известна Кардано, а в таком виде, в каком мы пользуемся для квадратного уравнения,-древним вавилонянам. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x. Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам.
  

• 12 слайд

  Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали. Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру.
  

• 13 слайд

  После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции. В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Подозревают, что он был убит.