Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация на тему Введение понятия определенного интеграла

Презентация на тему Введение понятия определенного интеграла


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика
Введение понятия определенного интеграла
Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из необходимости...
«метод исчерпывания» 		Метод заключался в следующем: для нахождения площади (...
Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечнос...
Попробуем решить задачу Найдем площадь изображения рыбки Как нам действовать?
В это изображение мы попробуем вписать фигуры, площадь которых мы сможем на...
Возникают вопросы: Насколько точно мы вычислим площадь этого изображения? И...
Мы будем бесконечно увеличивать число прямоугольников. Сумма площадей этих пр...
Чем меньше будут прямоугольники , тем точнее мы сможем найти площадь этого из...
Находя объемы, мы так же можем вписывать многогранники (например призмы) Тогд...
Мы можем увеличивать количество сторон у многоугольника, лежащего в основании...
Метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античн...
Архимед еще явным образом не применял общее понятие предела и интеграла, хо...
В ХVІІ в.Йоганн Кеплер (1571 – 1630), который открыл законы движения планет...
«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными...
Рассказывают, что когда Кеплер покупал вино для свадьбы, он был изумлен тем...
Кеплера заинтересовало, насколько точно торговец определял объем бочки при...
Вначале Кеплер нашел формулу для вычисления объема бочки, а затем — и други...
Так, например, для нахождения формулы объема тора Кеплер разбил его меридио...
Отсюда сразу получалось, что объем тора равен объему цилиндра, у которого п...
Математика за чайным столом 		Чтобы получить представление об этих общих мето...
Однако хозяйка тут же приходит нам на помощь: она разрезает лимон на тонкие...
Промер реки 		При проектировании гидроэлектростанций надо знать расход воды в...
Однако и здесь на помощь нам приходит разрезание на «лом­тики». Каждый «ломти...
В отличие от Кеплера итальянский математик Бонавентуро Кавальере (1598 – 16...
Иллюстрация принципа Кавальери 	Объемы (или площади) двух фигур равны,   ес...
Примеры применения метода  неделимых Найти объем призмы или найти площадь круга
Найдем площадь круга Посмотрим как применяется метод неделимых при решении эт...
Парадокс Кавальери 		Математики сразу указали на возможность ошибочного приме...
Кавальери был наиболее ярким и влиятельным представителем «геометрии недели...
Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столет...
Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, изве...
Символ интеграла введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением...
Давайте введем понятие определенного интеграла В школе к понятию определенног...
Рассматривалась непрерывная неотрицательная функция y = f(x) на отрезке [a;...
Верно, мы будем разбивать эту фигуру. Отрезок [a; b] разбиваем на n равных...
и соответствующая площадь криволинейной трапеции приближенно представлялась с...
Верно мы будем увеличивать n. Что же будет меняться?
Далее делалось предположение, что значение этого выражения стремиться к нек...
В итоге это предположение обобщали для любой непрерывной на отрезке функции...
1 из 40

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Введение понятия определенного интеграла
Описание слайда:

Введение понятия определенного интеграла

№ слайда 2 Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из необходимости
Описание слайда:

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов произвольных тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. Об этом свидетельствует «метод исчерпывания» Евдокса, который также использовал Архимед в   ІІІ в. до н. э.

№ слайда 3 «метод исчерпывания» 		Метод заключался в следующем: для нахождения площади (
Описание слайда:

«метод исчерпывания» Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию.

№ слайда 4 Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечнос
Описание слайда:

Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи. Нахождение площади круга

№ слайда 5 Попробуем решить задачу Найдем площадь изображения рыбки Как нам действовать?
Описание слайда:

Попробуем решить задачу Найдем площадь изображения рыбки Как нам действовать?

№ слайда 6 В это изображение мы попробуем вписать фигуры, площадь которых мы сможем на
Описание слайда:

В это изображение мы попробуем вписать фигуры, площадь которых мы сможем найти, и вычислим сумму этих площадей . Например будем вписывать прямоугольники.

№ слайда 7 Возникают вопросы: Насколько точно мы вычислим площадь этого изображения? И
Описание слайда:

Возникают вопросы: Насколько точно мы вычислим площадь этого изображения? И Как нам можно увеличить точность ?

№ слайда 8 Мы будем бесконечно увеличивать число прямоугольников. Сумма площадей этих пр
Описание слайда:

Мы будем бесконечно увеличивать число прямоугольников. Сумма площадей этих прямоугольников будет приближаться к площади изображения рыбки

№ слайда 9 Чем меньше будут прямоугольники , тем точнее мы сможем найти площадь этого из
Описание слайда:

Чем меньше будут прямоугольники , тем точнее мы сможем найти площадь этого изображения

№ слайда 10 Находя объемы, мы так же можем вписывать многогранники (например призмы) Тогд
Описание слайда:

Находя объемы, мы так же можем вписывать многогранники (например призмы) Тогда как можно увеличить точность вычислений?

№ слайда 11 Мы можем увеличивать количество сторон у многоугольника, лежащего в основании
Описание слайда:

Мы можем увеличивать количество сторон у многоугольника, лежащего в основании призмы

№ слайда 12 Метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античн
Описание слайда:

Метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

№ слайда 13 Архимед еще явным образом не применял общее понятие предела и интеграла, хо
Описание слайда:

Архимед еще явным образом не применял общее понятие предела и интеграла, хотя в неявном виде эти понятия использовались.

№ слайда 14 В ХVІІ в.Йоганн Кеплер (1571 – 1630), который открыл законы движения планет
Описание слайда:

В ХVІІ в.Йоганн Кеплер (1571 – 1630), который открыл законы движения планет, успешно осуществил первую попытку развить идеи Архимеда. Кеплер вычислял площади плоских фигур и объемы тел, опираясь на идею разложения фигуры и тела на бесконечное количество бесконечно малых частей. Из этих частей в результате добавления складывалась фигура, площадь (объем) которой известна и что давало возможность вычислить площадь (объем) искомой.

№ слайда 15 «Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными
Описание слайда:

«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер

№ слайда 16 Рассказывают, что когда Кеплер покупал вино для свадьбы, он был изумлен тем
Описание слайда:

Рассказывают, что когда Кеплер покупал вино для свадьбы, он был изумлен тем, как торговец определял вместимость бочки. Продавец брал палку, на которой были нанесены деления, и с ее помощью определял расстояние от наливного отверстия до самой дальней точки бочки. Проделав это одно измерение, он сразу же говорил, сколько литров вина в данной бочке.

№ слайда 17 Кеплера заинтересовало, насколько точно торговец определял объем бочки при
Описание слайда:

Кеплера заинтересовало, насколько точно торговец определял объем бочки при помощи всего одного измерения. Так ученый первым обратил внимание на класс задач, исследование которых привело к созданию интегрального исчисления.

№ слайда 18 Вначале Кеплер нашел формулу для вычисления объема бочки, а затем — и други
Описание слайда:

Вначале Кеплер нашел формулу для вычисления объема бочки, а затем — и других тел вращения (всего 92), которым он дал названия: «лимон», «яблоко», «груша», «айва», «слива», «земляника», «турецкая чалма» и т. п. Для нахождения объемов этих неправильных тел он применил метод «исчерпывания», заполняя тела фигурами, объемы которых поддавались вычислению. Одновременно он разбивал тело на множество элементарных частей.

№ слайда 19 Так, например, для нахождения формулы объема тора Кеплер разбил его меридио
Описание слайда:

Так, например, для нахождения формулы объема тора Кеплер разбил его меридиональными сечениями на бесконечное количество кружков, толщина которых с внешней стороны была несколько большей, чем с внутренней. Объем такого кружка равен объему цилиндра с основанием, равным сечению тора, и высотой, равной толщине кружка в его средней части. .

№ слайда 20 Отсюда сразу получалось, что объем тора равен объему цилиндра, у которого п
Описание слайда:

Отсюда сразу получалось, что объем тора равен объему цилиндра, у которого площадь основания равна площади сечения тора, а высота равна длине окружности, которую описывает точка F — центр сечения тора . .

№ слайда 21 Математика за чайным столом 		Чтобы получить представление об этих общих мето
Описание слайда:

Математика за чайным столом Чтобы получить представление об этих общих методах, попробуем найти объем поданного к столу лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (шар, цилиндр, конус и т. д.), лимон непохож. Что же нам делать, как вы думаете? 

№ слайда 22 Однако хозяйка тут же приходит нам на помощь: она разрезает лимон на тонкие
Описание слайда:

Однако хозяйка тут же приходит нам на помощь: она разрезает лимон на тонкие ломтики. Ровно обрезав край каждого ломтика, можно превра­тить его в низенький цилиндр (рис. 2), объем которого легко высчитать. Прикладывая друг к другу эти цилиндры, мы получим ступенчатое тело.(рис 3)   Его объем равен сумме объемов цилиндров. Если ломтики очень тонки, то объем ступенчатого тела мало отличается от объема лимона, и чем тоньше будут ломтики, тем это отличие будет меньше.

№ слайда 23 Промер реки 		При проектировании гидроэлектростанций надо знать расход воды в
Описание слайда:

Промер реки При проектировании гидроэлектростанций надо знать расход воды в реке, т. е. количество воды, протекающей в данном месте за 1 сек. Ясно, что расход воды в реке равен произве­дению площади поперечного сечения реки на скорость течения. Скорость течения определить довольно просто, а вот площадь поперечного сечения найти гораздо сложнее. Посмотрим на рисунок и попробуем предположить, как нам поступить.

№ слайда 24 Однако и здесь на помощь нам приходит разрезание на «лом­тики». Каждый «ломти
Описание слайда:

Однако и здесь на помощь нам приходит разрезание на «лом­тики». Каждый «ломтик» можно приближенно заменить прямоугольником. Складывая затем площади этих прямоугольников, мы и найдем приближенное значение площади сечения. Чем тоньше будут «ломтики», тем более точное зна­чение площади мы получим.

№ слайда 25 В отличие от Кеплера итальянский математик Бонавентуро Кавальере (1598 – 16
Описание слайда:

В отличие от Кеплера итальянский математик Бонавентуро Кавальере (1598 – 1647), пересекая фигуру (тело) параллельными прямыми (плоскостями), считал их лишенными любой толщины, но прибавлял эти линии. В историю математики вошел так называемый принцип Кавальери, с помощью которого вычисляли площади и объемы. Этот принцип получил теоретическое обоснование позднее с помощью интегрального исчисления.

№ слайда 26 Иллюстрация принципа Кавальери 	Объемы (или площади) двух фигур равны,   ес
Описание слайда:

Иллюстрация принципа Кавальери Объемы (или площади) двух фигур равны,   если равны между собой площади (или длины)  всех соответственных их сечений,   проведенных параллельно некоторой  данной плоскости (или прямой).

№ слайда 27 Примеры применения метода  неделимых Найти объем призмы или найти площадь круга
Описание слайда:

Примеры применения метода  неделимых Найти объем призмы или найти площадь круга

№ слайда 28 Найдем площадь круга Посмотрим как применяется метод неделимых при решении эт
Описание слайда:

Найдем площадь круга Посмотрим как применяется метод неделимых при решении этой задачи…

№ слайда 29 Парадокс Кавальери 		Математики сразу указали на возможность ошибочного приме
Описание слайда:

Парадокс Кавальери Математики сразу указали на возможность ошибочного применения метода неделимых; один из таких примеров привёл сам Кавальери (см. рисунок). Треугольники ABD и BCD состоят из вертикальных неделимых, причём каждой неделимой левого треугольника (EF) можно взаимно-однозначно сопоставить неделимую той же длины (GH) правого треугольника.  Отсюда, согласно принципу Кавальери, следует ошибочный вывод, что площади треугольников равны. Тем не менее ясного правила для избежание ошибок  Кавальери не дал.

№ слайда 30 Кавальери был наиболее ярким и влиятельным представителем «геометрии недели
Описание слайда:

Кавальери был наиболее ярким и влиятельным представителем «геометрии неделимых»  . В его изложении инфинитезимальные представления Кеплера обрели вид общих вычислительных приёмов. Мощь и относительная простота нового метода произвели чрезвычайно сильное впечатление на математиков.

№ слайда 31 Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столет
Описание слайда:

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления  еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм.

№ слайда 32 Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, изве
Описание слайда:

Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

№ слайда 33 Символ интеграла введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением
Описание слайда:

Символ интеграла введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

№ слайда 34 Давайте введем понятие определенного интеграла В школе к понятию определенног
Описание слайда:

Давайте введем понятие определенного интеграла В школе к понятию определенного интеграла нас подводили рассмотрением задачи о вычислении площади криволинейной трапеции.

№ слайда 35 Рассматривалась непрерывная неотрицательная функция y = f(x) на отрезке [a;
Описание слайда:

Рассматривалась непрерывная неотрицательная функция y = f(x) на отрезке [a; b] .Вспомним материал нашего урока, и попробуем найти решение. Как же мы можем найти площадь фигуры под графиком?

№ слайда 36 Верно, мы будем разбивать эту фигуру. Отрезок [a; b] разбиваем на n равных
Описание слайда:

Верно, мы будем разбивать эту фигуру. Отрезок [a; b] разбиваем на n равных частей точками ,

№ слайда 37 и соответствующая площадь криволинейной трапеции приближенно представлялась с
Описание слайда:

и соответствующая площадь криволинейной трапеции приближенно представлялась суммой площадей элементарных прямоугольников Но насколько точно мы найдем эту площадь? Как мы можем увеличить точность?

№ слайда 38 Верно мы будем увеличивать n. Что же будет меняться?
Описание слайда:

Верно мы будем увеличивать n. Что же будет меняться?

№ слайда 39 Далее делалось предположение, что значение этого выражения стремиться к нек
Описание слайда:

Далее делалось предположение, что значение этого выражения стремиться к некоторому числу  при бесконечном увеличении количества точек разбиения отрезка [a; b]. То есть стремиться к искомой площади.

№ слайда 40 В итоге это предположение обобщали для любой непрерывной на отрезке функции
Описание слайда:

В итоге это предположение обобщали для любой непрерывной на отрезке функции y = f(x) (не обязательно неотрицательной) и число  назвали определенным интегралом..


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 28.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров192
Номер материала ДВ-492319
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх