Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация " Начальный курс по подготовке к олимпиадам по математике"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация " Начальный курс по подготовке к олимпиадам по математике"

библиотека
материалов
1. Теория чисел 2. Делимость. Признаки делимости 3. Простые и составные числа...
10. Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. 11. Решен...
Множество положительных целых чисел называется натуральными числами 1 2 5 67...
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1....
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1....
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1....
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1....
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1....
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1....
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1....
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1....
3 7 1 13 15 11 5 17 9 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Соберите букеты Оглавление
1. Лягушка прыгала по прямой и вернулась обратно. Длина прыжка одинаковая. Мо...
2. Сумма трех чисел – нечетное число. Сколько слагаемых нечетно? Решение Пуст...
4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться? 1 2 1 2 О...
4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться? 1 2 Оглав...
5. Лягушка прыгает по прямой. За один раз она прыгает на 15 или 17 см вправо...
6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия...
Осталось по одному цвету, которые надо расставить так, чтобы не нарушать симм...
6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в шахматном по...
7. 8 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 2Х4. При нажати...
7. 200 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40. При на...
8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне зап...
8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне зап...
Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают ли...
Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вв...
3 7 1 13 15 11 5 17 9 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Букеты из четных и нечетных цвет...
Действительные числа Натуральные числа Целые числа Целые положительные числа...
Оглавление
Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п5 – 5п3 + 4п. Чтобы найти делите...
Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остал...
Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остал...
1) 12 = _________ 2) 24 = _________ 3) 75 = __________ 4) 48 = ______ 5) 72 =...
Число, на которое делится каждое число ряда чисел, называется наибольшим общи...
Число, которое делится на каждое число ряда чисел, называется наименьшим общи...
В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, 5. 120 = 2 · 3 · 4 · 5 Оглавле...
Числа а и b называются взаимно простыми, если имеют делители 1 и само число....
21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 =1 6 28 = 256 31 = 3 35 = 24...
Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014 Известно: 21 = 2...
137 4 3 12 17 4 16 1 Остаток 137 = 4 · 34 + 1 Целая часть Если а делится на b...
Определим остатки при делении числа п на 2. ВЫВОДЫ Если число делится на 2 с...
Определим остатки при делении числа п на 4. ВЫВОДЫ Если число делится на 4 с...
ВЫВОД Если число п делится на т с остатком, то эти остатки 1, 2, 3…т - 1 Зада...
Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п2 + п + 1 делится на...
т – целое число; п – натуральное число Множество рациональных чисел - Q Оглав...
Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или раздел...
Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п. Приведем числите...
Всякое натуральное число может быть представлено в виде: п = а1 + а2 · 10 + а...
Делится на 9 2010 2 1005 3 67 5 2010 = 2 · 3 · 5 · 67 Заметим, что цифры в де...
abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+ 111b+11c+d...
Индукция – это переход от частного к общему. Метод используется для доказател...
1 + 3 + 5 … + (2п - 1) = п2 Шаг 1. п = 1 1 = 12 - верно Шаг 2. предположение...
п = 1 - верно п = k - верно п = k + 1 Выделим в выражении левой части выражен...
Задача 12. Докажите, что 1 +23 + 33 +…+ п3 = (1+2+3+…+n)2 п = 1 13 = 12 - ве...
Задача 13. Найдите сумму Сначала необходимо выявить закономерность и создать...
Задача 14. Докажите, что для любого натурального п 5п + 3 делится на 4 п = k...
Уравнение, содержащее несколько переменных и решаемое в целых числах называет...
Задача 15. В клетке находятся кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Сколько в...
Уравнение ах + bу = с имеет целые решения, если свободный член делится на НОД...
Заметим, что а и b взаимно просты. Решите уравнение 5х + 8у = 39 в целых числ...
Решите уравнение -23х + 79у = 1 в целых числах. Перебор для нахождения х0 и у...
Состоит из разложения на множители выражения, равного свободному члену и подб...
Задача 17. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 0 в целых числах. Чтобы разложи...
Задача 19. Решите уравнение 3(х2 + ху + у2) = х + 8у в целых числах. Представ...
Задача 20. Решите уравнение x2 – xy + y2 = x + y в целых числах. Будем решать...
Задача 21. Решите уравнение 3n + 7 = 2m в натуральных числах. Определим после...
Заметим, что периодичность последних цифр у 3п и 2т равна 4. Рассмотрим совпа...
Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах. Способ 1. Зам...
Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах. Способ 2. Зам...
Задача 23. Решите уравнение х2 + 4ху + 13у2 = 58 в целых числах. a2 + b2 > 0....
В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 к...
«Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 крол...
хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца. z k Если в k клетка...
хотя бы одна клетка останется свободной. Если в k клетках сидят z голубей, пр...
Таким образом, применяя данный метод, надо: Определить, что удобно в задаче п...
1.В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся, как минимум, 2 ученика, отмеч...
3. В 8 «Б» классе учится 27 школьников, знающих 109 песен. Докажите, что найд...
5. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено 5 точек. Д...
Числовая последовательность – это набор чисел, каждое из которых стоит на опр...
аn = kn + b - линейная зависимость от n Каждый член, начиная со второго, раве...
Геометрическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начи...
bn = kan - показательная зависимость от n Каждый член, начиная со второго, ра...
6. Доказать, что среди разных шести целых чисел найдутся два числа, разность...
7. Доказать, что число N5 оканчивается на ту же цифру, что число N. 1 · 1 · 1...
8. В коробке лежат шарики 4-х разных цветов (много белых, много черных, много...
9. Сколькими способами можно поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в ка...
9. Сколькими способами можно поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в ка...
10. Сколькими способами можно поставить на доску 8  шашек разного цвета так,...
Пример 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна,...
Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет по...
Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очен...
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайск...
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайск...
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайск...
95 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 1. Теория чисел 2. Делимость. Признаки делимости 3. Простые и составные числа
Описание слайда:

1. Теория чисел 2. Делимость. Признаки делимости 3. Простые и составные числа 4.. Деление с остатком. НОД и НОК 5. Обыкновенная дробь. Сократимость. 6. Десятичная запись числа. 7. Метод математической индукции. 8. Методы решения уравнений в целых числах. 9. Принцип Дирихле.

№ слайда 3 10. Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. 11. Решен
Описание слайда:

10. Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. 11. Решение логических задач. Оглавление Проверь себя Перейти к оглавлению Проверить свое решение Справка Переход к справочному материалу

№ слайда 4 Множество положительных целых чисел называется натуральными числами 1 2 5 67
Описание слайда:

Множество положительных целых чисел называется натуральными числами 1 2 5 67 234 18 При работе с натуральными числами используются прописные латинские буквы: n, m, k, l и т.д. Оглавление

№ слайда 5 Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1.
Описание слайда:

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Сумма двух четных чисел - четное число нечетное число Оглавление

№ слайда 6 Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1.
Описание слайда:

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Сумма двух четных чисел - 2. Сумма двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число Оглавление

№ слайда 7 Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1.
Описание слайда:

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Сумма двух четных чисел - 2. Сумма двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Сумма четного и нечетного чисел - четное число Оглавление

№ слайда 8 Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1.
Описание слайда:

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Сумма двух четных чисел - 2. Сумма двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Сумма четного и нечетного чисел - четное число нечетное число Оглавление

№ слайда 9 Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1.
Описание слайда:

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Произведение двух четных чисел - четное число нечетное число Оглавление

№ слайда 10 Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1.
Описание слайда:

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Произведение двух четных чисел - 2. Произведение двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число Оглавление

№ слайда 11 Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1.
Описание слайда:

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Произведение двух четных чисел - 2. Произведение двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Произведение четного и нечетного чисел - нечетное число Оглавление

№ слайда 12 Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1.
Описание слайда:

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Произведение двух четных чисел - 2. Произведение двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Произведение четного и нечетного чисел - четное число четное число Оглавление

№ слайда 13 3 7 1 13 15 11 5 17 9 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Соберите букеты Оглавление
Описание слайда:

3 7 1 13 15 11 5 17 9 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Соберите букеты Оглавление

№ слайда 14 1. Лягушка прыгала по прямой и вернулась обратно. Длина прыжка одинаковая. Мо
Описание слайда:

1. Лягушка прыгала по прямой и вернулась обратно. Длина прыжка одинаковая. Могла ли лягушка сделать 17 прыжков? Решение. Нет. Чтобы вернуться назад, лягушка должна сделать столько же прыжков, сколько их сделала вперед. Пусть лягушка сделала n прыжков. Тогда обратно должна сделать тоже n прыжков, т.е. 2n прыжка. Это четное число. Оглавление

№ слайда 15 2. Сумма трех чисел – нечетное число. Сколько слагаемых нечетно? Решение Пуст
Описание слайда:

2. Сумма трех чисел – нечетное число. Сколько слагаемых нечетно? Решение Пусть числа а = 2n, b = 2n + 1 Тогда возможно: а + а + а а + а + b а + b + b b + b + b = 6n = 4n + 1 = 4n + 2 = 6n + 3 нечетно нечетно Ответ: 1, 3 3. Определите четность суммы: 1 + 2 + 3 +…+ 1999 Для решения используем более короткий ряд: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + 8 + 9 В ряду 4 пары – нечетное, четное. Их сумма – число четное (нечетное умножить на четное равно четному числу). Плюс нечетное число. Сумма будет нечетна. В ряду 1 + 2 + 3 +…+ 1999 999 пар (1998 : 2) – нечетно. Сумма – нечетна (нечетное умножить на нечетное равно нечетному числу). Последнее число нечетно, следовательно сумма будет четна Оглавление

№ слайда 16 4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться? 1 2 1 2 О
Описание слайда:

4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться? 1 2 1 2 Оглавление

№ слайда 17 4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться? 1 2 Оглав
Описание слайда:

4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться? 1 2 Оглавление

№ слайда 18 5. Лягушка прыгает по прямой. За один раз она прыгает на 15 или 17 см вправо
Описание слайда:

5. Лягушка прыгает по прямой. За один раз она прыгает на 15 или 17 см вправо или влево. Может ли она за 20 прыжков оказаться на 101 см от исходного положения? Нет не может. Координата при каждом прыжке меняется. Но за 20 прыжков Координата будет четной. 15 · 20 = 300; 17 · 20 = 340; (15 + 17)·20 – четное; (15 - 17)·20 – четное ВЫВОДЫ Если какие-то объекты можно разбить на пары, то их количество четно. Пары: чет - нечет Оглавление

№ слайда 19 6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия
Описание слайда:

6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали? Раскрасим симметрично относительно диагонали клетки. Будем брать по паре одного цвета. Оглавление

№ слайда 20 Осталось по одному цвету, которые надо расставить так, чтобы не нарушать симм
Описание слайда:

Осталось по одному цвету, которые надо расставить так, чтобы не нарушать симметрию. Ответ: Все клетки раскрашены в разные цвета. 6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали? Клеток по диагонали - 9 Клеток в столбцах и строках без них 8. Для симметрии разобьем цвета по парам. Останется по одному цвету 9 раскрасок. Оглавление

№ слайда 21 6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в шахматном по
Описание слайда:

6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Левый нижний край – в черный цвет. Можно ли расставить 5001 шашку черного цвета на черных клетках? Рассмотрим шахматную доску 8Х8 Пара черное – белое повторяется в строке 4 раза (четное число раз). В квадрате 100Х100 - 50 Ответ: нельзя. Четное число Оглавление

№ слайда 22 7. 8 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 2Х4. При нажати
Описание слайда:

7. 8 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 2Х4. При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели. Сначала лампочки не горят. Нажмите на лампочки первого ряда. Нажмите на лампочки второго ряда. Вывод! Чтобы зажглись все лампочки нужно нажать один раз на каждую, т.е. 8 раз. Горит – не горит это пара. Всего лампочек 2Х4 = 8. Оглавление

№ слайда 23 7. 200 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40. При на
Описание слайда:

7. 200 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40. При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите а) наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели, б) количество изменений состояний одной лампочки. Сначала лампочки не горят. а) Всего 50Х40 =2000 б) Всего 89 40 + 50 = 90, 90 – 1 = 89 Оглавление

№ слайда 24 8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне зап
Описание слайда:

8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике. Анализ. Произведение равно 1 или – 1 Сумма равна 0, если количество плюсов равно количеству минусов. - 1 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 1 1 1 1 -1 1 Следовательно, количество произведений 1 равно количеству - 1 Пусть количество 1 = n Пусть количество -1 = m Пусть n = m - нечетно Количество звеньев - четно n = m В этом случае при любой расстановке получится сторона , имеющая одинаковый знак с соседними. 1 -1 1 -1 1 Оглавление

№ слайда 25 8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне зап
Описание слайда:

8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике. 1 -1 -1 -1 1 Пусть n = m - четно Количество звеньев - четно Пусть n = m = 2k Всего вершин n + m = 2k + 2k = 4k Следовательно, количество сторон кратно 4. Для решения нужно добавить еще два звена -1 -1 -1 -1 Ответ: Количество сторон кратно 4. Оглавление

№ слайда 26 Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают ли
Описание слайда:

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0? Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков? Задача 3. В таблице, где имеются 15 отрицательных чисел , можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из всех положительных чисел? Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно? Оглавление

№ слайда 27 Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вв
Описание слайда:

Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно? Задача 6. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то дописать к  оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске? Задача 7. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «—» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю? 8. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек? Оглавление

№ слайда 28 3 7 1 13 15 11 5 17 9 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Букеты из четных и нечетных цвет
Описание слайда:

3 7 1 13 15 11 5 17 9 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Букеты из четных и нечетных цветов Любое число, делящееся на два, можно назвать четным. Оглавление

№ слайда 29 Действительные числа Натуральные числа Целые числа Целые положительные числа
Описание слайда:

Действительные числа Натуральные числа Целые числа Целые положительные числа Целые положительные, отрицательные и нуль Рациональные числа Иррациональные числа Целые и дробные числа* и нуль Бесконечная непериодическая десятичная дробь Множество действительных чисел - R Множество натуральных чисел - N Множество целых чисел - Z * обыкновенные, конечные десятич. и периодические дроби Оглавление

№ слайда 30 Оглавление
Описание слайда:

Оглавление

№ слайда 31 Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п5 – 5п3 + 4п. Чтобы найти делите
Описание слайда:

Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п5 – 5п3 + 4п. Чтобы найти делители, надо число разложить на множители п5 – 5п3 + 4п = п(п4–5п2+4) = п(п4 –п2–4п2+4)=п((п–1)(п+1)(n -2)(n + 2) Расположим множители в порядке возрастания ( п – 2)(п – 1)п(п + 1)(п + 2) – 5 последовательных натуральных чисел Среди любых 5 – ти последовательных чисел найдутся числа, делящиеся на 2k, 3m, 4l, 5 p Делителями от 2 до 10 являются 2, 3, 4, 5 Оглавление

№ слайда 32 Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остал
Описание слайда:

Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остальные числа называются составными. Простые Составные Оглавление

№ слайда 33 Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остал
Описание слайда:

Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остальные числа называются составными. 3 7 1 13 23 11 5 17 19 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Простые Составные

№ слайда 34 1) 12 = _________ 2) 24 = _________ 3) 75 = __________ 4) 48 = ______ 5) 72 =
Описание слайда:

1) 12 = _________ 2) 24 = _________ 3) 75 = __________ 4) 48 = ______ 5) 72 = _________ 6) 250 = _________ 7) 54 = __________ 8) 80 = _______ Разложение числа на простые множители: 864 22·3 23·3 52·3 24·3 23·32 53·2 33·2 24·5 2 432 2 216 2 108 2 54 2 27 33 Оглавление

№ слайда 35 Число, на которое делится каждое число ряда чисел, называется наибольшим общи
Описание слайда:

Число, на которое делится каждое число ряда чисел, называется наибольшим общим делителем. НОД НОД равен произведению общих множителей каждого числа ряда Пример: Найдите НОД для чисел 45, 75, 120. 45 = 3·3· 5 75 = 3· 5·5 120 = 23 3· 5 Общие множители: 3 и 5 Берутся общие в меньшей степени НОД(45,75,120) = 15 Все числа делятся на 15 Оглавление

№ слайда 36 Число, которое делится на каждое число ряда чисел, называется наименьшим общи
Описание слайда:

Число, которое делится на каждое число ряда чисел, называется наименьшим общим кратным. НОК НОК равен произведению общих множителей каждого числа ряда Пример: Найдите НОК для чисел 45, 75. 45 = 3·3· 5 75 = 3· 5·5 НОК(45,75) = 3·5·3·5 = 225 225 делится на 45 и 75 Из 45 не хватает множителя 3 Из 75 не хватает множителя 5 Для устного нахождения НОК можно взять наибольшее число и умножать его последовательно на 2, 3, 4 и т.д., до тех пор пока не получится число, которое делится на каждое. НОК(30, 12) 30·2 = 60, 60 : 12 = 5 - делится = 60 Берутся все множители в большей степени. Оглавление

№ слайда 37 В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, 5. 120 = 2 · 3 · 4 · 5 Оглавле
Описание слайда:

В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, 5. 120 = 2 · 3 · 4 · 5 Оглавление

№ слайда 38 Числа а и b называются взаимно простыми, если имеют делители 1 и само число.
Описание слайда:

Числа а и b называются взаимно простыми, если имеют делители 1 и само число. Пример: 35 и 12; 46 и 27; 3 и 5 Если а и b взаимно простые, то НОД(а, b) = ab Оглавление

№ слайда 39 21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 =1 6 28 = 256 31 = 3 35 = 24
Описание слайда:

21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 =1 6 28 = 256 31 = 3 35 = 243 32 = 9 36 = 729 33 =27 37 = 2187 34 = 81 38 = 37·3 ВЫВОДЫ Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующей ряду окончаний при последовательном возведении в степень. Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014 Известно, что окончаний при возведении 2n – 4( 2, 4, 8, 6) Все окончания будут повторяться через 4. Период равен 4 Разделим 2014 на 4: 2014 : 4 = 503 и 2 в остатке 2, 4, 8, 6 Ответ: 4 Оглавление

№ слайда 40 Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014 Известно: 21 = 2
Описание слайда:

Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014 Известно: 21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 =1 6 28 = 256 Окончаний 4: 2, 4, 8, 6 ВЫВОДЫ Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующему ряду окончаний при последовательном возведении в степень Оглавление

№ слайда 41 137 4 3 12 17 4 16 1 Остаток 137 = 4 · 34 + 1 Целая часть Если а делится на b
Описание слайда:

137 4 3 12 17 4 16 1 Остаток 137 = 4 · 34 + 1 Целая часть Если а делится на b с остатком, то a = bq + r q – целая часть деления r – остаток деления Задача 4. Запишите число, делящееся на 3 и с остатком 2 Таких чисел множество: n = 3k + 2 Например, п = 3k + 2 означает, что число делится на 3 и в остатке 2. Оглавление

№ слайда 42 Определим остатки при делении числа п на 2. ВЫВОДЫ Если число делится на 2 с
Описание слайда:

Определим остатки при делении числа п на 2. ВЫВОДЫ Если число делится на 2 с остатком, то этот остаток равен 1 Определим остатки при делении числа п на 3. ВЫВОДЫ Если число делится на 3 с остатком, то эти остатки могут быть 1 и 2 Оглавление Число Остаток 2 0 3 1 4 0 5 1 6 0 7 1 Число Остаток 3 0 4 1 5 2 6 0 7 Повтор

№ слайда 43 Определим остатки при делении числа п на 4. ВЫВОДЫ Если число делится на 4 с
Описание слайда:

Определим остатки при делении числа п на 4. ВЫВОДЫ Если число делится на 4 с остатком, то эти остатки 1, 2, 3 Определим остатки при делении числа п на 5. ВЫВОДЫ Если число делится на 5 с остатком, то эти остатки могут быть 1, 2, 3, 4 Оглавление Число Остаток 4 0 5 1 6 2 7 3 8 повтор Число Остаток 5 0 6 1 7 2 8 3 9 4 10 повтор

№ слайда 44 ВЫВОД Если число п делится на т с остатком, то эти остатки 1, 2, 3…т - 1 Зада
Описание слайда:

ВЫВОД Если число п делится на т с остатком, то эти остатки 1, 2, 3…т - 1 Задача 5. Докажите, что квадраты натуральных чисел при делении на 3, не дают остаток 2 Остаток при делении п2 на 3 может быть только 1. * Отметим. Одной таблиц не достаточно для решения. Нужно доказательство. Так как остатки при делении на 1 или 2, то п = 3k + 1 или п = 3k + 2 п = 3k + 1. n2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1 = 3m + 1 п = 3k + 2. n2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k) + 4 = 3l + 4, но 4 делится на 3 с остатком 1. Следовательно, остаток может быть только 1. Оглавление Число п2 Остаток 4 1 9 0 16 1 25 1 36 повтор

№ слайда 45 Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п2 + п + 1 делится на
Описание слайда:

Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п2 + п + 1 делится на 2015? 2015 делится на 5. Рассмотрим деление с остатком числа п на 5. Остатки: 1, 2, 3, 4 п = 5k + 1, тогда п2 + п + 1 = 25k2 + 15k + 3 = 5l + 3 Остаток 3 п = 5k + 2, тогда п2 + п + 1 = 25k2 + 25k + 7 = 5l + 7 Остаток 2 п = 5k + 3, тогда п2 + п + 1 = 25k2 + 35k + 13 = 5l + 13 Остаток 3 п = 5k + 4, тогда п2 + п + 1 = 25k2 + 45k + 21 = 5l + 17 Остаток 2 Число п не делится на 2015. Оглавление

№ слайда 46 т – целое число; п – натуральное число Множество рациональных чисел - Q Оглав
Описание слайда:

т – целое число; п – натуральное число Множество рациональных чисел - Q Оглавление

№ слайда 47 Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или раздел
Описание слайда:

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и тоже чсло, неравное нулю. Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменетель на общие множители. Чтобы сократить дробь, надо разложить числитель и знаменатель на простые множители. Несократимая дробь – дробь, не имеющая общих множителей. Оглавление

№ слайда 48 Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п. Приведем числите
Описание слайда:

Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п. Приведем числитель и знаменатель к виду так, чтобы часть kn была бы одинаковой. В числителе число n делится на 6 и в остатке 3 В знаменателе число п делится на 6 и в остатке 4 Пусть числитель и знаменатель делится q, q > 1, натуральное число. k = Заметим, что если два числа делятся на q, то их сумма или разность тоже делится на q Делится на q, если q = 1. Противоречие. q > 1. Оглавление

№ слайда 49 Всякое натуральное число может быть представлено в виде: п = а1 + а2 · 10 + а
Описание слайда:

Всякое натуральное число может быть представлено в виде: п = а1 + а2 · 10 + а3 · 102 …+ аn – 1 · 10n – 1 + an · 10n Например, 123 = 3 + 2 · 10 + 1· 102 = 3 + 20 + 100 Требование десятичной записи обозначается чертой над числом. 123 п показывает разряд Трехзначное число xyz представить в виде десятичной записи: Оглавление

№ слайда 50 Делится на 9 2010 2 1005 3 67 5 2010 = 2 · 3 · 5 · 67 Заметим, что цифры в де
Описание слайда:

Делится на 9 2010 2 1005 3 67 5 2010 = 2 · 3 · 5 · 67 Заметим, что цифры в десятичной записи могут быть от 0 до 9 67 > 9. Не может. 335 Оглавление

№ слайда 51 abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+ 111b+11c+d
Описание слайда:

abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+ 111b+11c+d 1111a+ 111b+11c+d = 2011 а может быть равно только 1 (1111) a = 1 с может изменяться от 0 до 9. 11с изменяется от 0 до 99 b может изменяться от 0 до 9. 111b изменяется от 0 до 999 Пусть b = 9, тогда 111b = 999. 1111 + 999 = 2110 > 2011 Пусть b = 8, тогда 111b = 888. 1111 + 888 = 1999 < 2011 11c + d = 2011 – 1999 = 12, следовательно, с = 1, d = 1 Оглавление

№ слайда 52 Индукция – это переход от частного к общему. Метод используется для доказател
Описание слайда:

Индукция – это переход от частного к общему. Метод используется для доказательств тех или иных утверждений с натуральными числами. Алгоритм 1. Доказательство, что утверждение верно для п = 1 2. Принятие за достоверное, что утверждение верно для n = k 3. Доказательство, что утверждение верно для п = k + 1 Оглавление

№ слайда 53 1 + 3 + 5 … + (2п - 1) = п2 Шаг 1. п = 1 1 = 12 - верно Шаг 2. предположение
Описание слайда:

1 + 3 + 5 … + (2п - 1) = п2 Шаг 1. п = 1 1 = 12 - верно Шаг 2. предположение п = k 1 + 3 + 5 … + (2k - 1) = k2 - верно Шаг 3. индуктивный переход. п = k + 1 1 + 3 + 5 … + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 k2 k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 – верно Выделим в выражении левой части выражение для n=k Доказано. Оглавление

№ слайда 54 п = 1 - верно п = k - верно п = k + 1 Выделим в выражении левой части выражен
Описание слайда:

п = 1 - верно п = k - верно п = k + 1 Выделим в выражении левой части выражение для n=k 2k2 + 7k + 6 = 2(k + 2)(k + 3/2) = (k + 2)(2k + 3) Доказано. Оглавление

№ слайда 55 Задача 12. Докажите, что 1 +23 + 33 +…+ п3 = (1+2+3+…+n)2 п = 1 13 = 12 - ве
Описание слайда:

Задача 12. Докажите, что 1 +23 + 33 +…+ п3 = (1+2+3+…+n)2 п = 1 13 = 12 - верно п = k 13 +23 +33+…+k3 = (1+2+3+…+k)2 - верно п = k + 1 13 +23 +33+…+k3 +(k+1)3 = (1+2+3+…+k +(k+1))2 Вычтем из выражения для п = k + 1 выражение для п = k, получим (k + 1)3 (1+2+3+…+k +(k+1))2 - (1+2+3+…+k)2 = (k+1)(2(1+2+3+…+k) +(k+1)) a2 b2 (k + 1)3 Доказано. - Оглавление

№ слайда 56 Задача 13. Найдите сумму Сначала необходимо выявить закономерность и создать
Описание слайда:

Задача 13. Найдите сумму Сначала необходимо выявить закономерность и создать формулу суммы. Потом доказать ее. Докажем, что это так: n = 1 S1 = ½ - верно Доказано Оглавление

№ слайда 57 Задача 14. Докажите, что для любого натурального п 5п + 3 делится на 4 п = k
Описание слайда:

Задача 14. Докажите, что для любого натурального п 5п + 3 делится на 4 п = k + 1 5k + 1 + 3 Докажем, что выражение делится на 4 5k + 1 + 3 = 5 · 5k + 3 = 5 · 5k + 15 – 15 + 3 = 5(5k + 3) - 12 5k + 3 делится на 4 12 делится на 4 Следовательно, все число делится на 4 Оглавление

№ слайда 58 Уравнение, содержащее несколько переменных и решаемое в целых числах называет
Описание слайда:

Уравнение, содержащее несколько переменных и решаемое в целых числах называется диофантовым Решите в натуральных числах уравнение 2х + 5у = 12 1) х =1 2· 1 + 5у = 12; у = 2 (1;2) 2) х =2 2· 2 + 5у = 12; у - дробное 3) х =3 2· 3 + 5у = 12; у - дробное 4) х =4 2· 4 + 5у = 12; у - дробное 5) х =5 2· 5 + 5у = 12; у - дробное 6) х =6 2· 6 + 5у = 12; у = 0 (6;0) 7) х > 6 2· 7 + 5у = 12; у < 0 Ответ: (1;2), (6;0) Оглавление

№ слайда 59 Задача 15. В клетке находятся кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Сколько в
Описание слайда:

Задача 15. В клетке находятся кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Сколько в клетке и тех и других? Пусть кроликов х, у них 4 ноги. Пусть фазанов у, у них 2 ноги. 4х + 2у = 18, 2х + у = 9; у = 9 – 2х Перебор: 1) х = 1; у = 7 2) х = 2; у = 5 3) х = 3; у = 3 4) х = 4; у = 1 5) х = 5; у = -1 < 0 6) х > 5; у < 0 Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1) Оглавление

№ слайда 60 Уравнение ах + bу = с имеет целые решения, если свободный член делится на НОД
Описание слайда:

Уравнение ах + bу = с имеет целые решения, если свободный член делится на НОД(a,b) Решите уравнение 3х – 4у = 1 в целых числах. 3х = 4у + 1 Для целых решений левая часть должна делится на 3, следовательно, и правая часть делится на 3 Пусть у = 3р Тогда 12р + 1 – не делится 3 Пусть у = 3р + 1 Тогда 12р + 4 + 1 – не делится 3 Пусть у = 3р + 2 Тогда 12р + 8 + 1 – делится 3 3х = 12р + 9 х = 4р + 3 12р + 9 – 4у – 1 = 1 12р + 9 – 4у = 1, 4у = 12р + 8 у = 3р + 2 Уравнение имеет бесконечное множество решений Оглавление

№ слайда 61 Заметим, что а и b взаимно просты. Решите уравнение 5х + 8у = 39 в целых числ
Описание слайда:

Заметим, что а и b взаимно просты. Решите уравнение 5х + 8у = 39 в целых числах. 1. Найдем подбором одно из решений х = 1, 2 Нет целых решений. х 0= 3 у0 = 3 2. Запишем по формулам решения: 5х + 8у = 39 х 0= 3 х = 3 - 8 p y = 3 + 5 p у0 = 3 Оглавление

№ слайда 62 Решите уравнение -23х + 79у = 1 в целых числах. Перебор для нахождения х0 и у
Описание слайда:

Решите уравнение -23х + 79у = 1 в целых числах. Перебор для нахождения х0 и у0 сложный. Применим метод понижения коэффициентов. 23х - 79у = -1 Представим 79у как сумму чисел, одно из которых кратно 23 23х - 69у – 10у = -1 23х - 69у = 10у -1 Левая часть делится на 23, следовательно, правая тоже. Подберем у так, чтобы 10у – 1 делилось бы на 23. Очевидно, что у0 = 7 х0 = 24 х = 24 + 79р; у = 7 + 23р Оглавление

№ слайда 63 Состоит из разложения на множители выражения, равного свободному члену и подб
Описание слайда:

Состоит из разложения на множители выражения, равного свободному члену и подбору целых решений. Задача 16. Решите уравнение ху + 2х + 3у =7 в целых числах. Разложим левую часть: ху + 2х + 3у + 6 – 6 = х(у + 2) + 3(у +2) – 6 = (у +2)(х +3) – 6 (у +2)(х +3) – 6 = 7, (у +2)(х +3) – 6 = 7 (у +2)(х +3) = 13 13 имеет множители ±1, ±13. При этом 13>0 Поэтому для решения в целых числах получим системы: Оглавление

№ слайда 64 Задача 17. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 0 в целых числах. Чтобы разложи
Описание слайда:

Задача 17. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 0 в целых числах. Чтобы разложить на множители левую часть решим уравнение относительно х, считая у параметром. х2 - 3ху + 2 у2 = 0 D = 9y2 – 8y2 = y2 (x – y)(x – 2y) = 0 Задача 18. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 11 в целых числах. (x – y)(x – 2y) = 11 Далее см. задачу 16. Оглавление

№ слайда 65 Задача 19. Решите уравнение 3(х2 + ху + у2) = х + 8у в целых числах. Представ
Описание слайда:

Задача 19. Решите уравнение 3(х2 + ху + у2) = х + 8у в целых числах. Представим уравнение относительно одной из переменных либо х, либо у. 3х2 + (3у – 1)х + 3у2 – 8у = 0 D = (3y – 1)2 – 12(3y2 – 8y) = - 27y2 + 90y + 1 Уравнение имеет решения, если D ≥ 0 Решим: - 27y2 + 90y + 1 ≥ 0 27y2 - 90y – 1 = 0 у1 ≈ - 1, … у2 ≈ 2, … -1 ≤ y ≤ 2 y = -1, 0, 1, 2 y = - 1 3х2 - 4х + 11 = 0 нет целых корней y = 0 3х2 - х = 0 целое х = 0 y = 1 3х2 + 2х – 5 = 0 х = 1, х = 5/3 y = 2 3х2 + 5х – 4 = 0 нет целых корней Ответ: (0;0), (1;1) Оглавление

№ слайда 66 Задача 20. Решите уравнение x2 – xy + y2 = x + y в целых числах. Будем решать
Описание слайда:

Задача 20. Решите уравнение x2 – xy + y2 = x + y в целых числах. Будем решать относительно х: х2 – (1 + у)х + у2 – у = 0. D = - 3y2 + 6y + 1 Чтобы корни были бы целыми, дискриминант должен быть полным квадратом. Пусть – 3у2 + 6y + 1 = t2 Оценим t, выделив полный квадрат. - 3((у2 – 2у + 1 – 1) +1 = - 3 (у – 1)2 + 4 - 3(у – 1)2 + 4 = t2 t2 ≤ 4, | t | ≤ 2, -2 ≤ t ≤ 2 t = - 2, - 1, 0, 1, 2 t = - 2 - 3(у – 1)2 + 4 = 4, y = 1 x2 – 2x = 0, x = 0, x = 2 t = - 1 - 3(у – 1)2 + 4 = 1, y = 2, x2 – 3x + 2 = 0, x = 1, x = 2 t = 0 - 3(у – 1)2 + 4 = 0, нет целых решений t = 1 См. t = - 1 у =0 x2 – x = 0, x = 0, x = 1 t = 2 См. t = - 2 Ответ: (0;1), (2;1), (1;2), (2;2), (0;0), (1;0) Оглавление

№ слайда 67 Задача 21. Решите уравнение 3n + 7 = 2m в натуральных числах. Определим после
Описание слайда:

Задача 21. Решите уравнение 3n + 7 = 2m в натуральных числах. Определим последние цифры при последовательном возведении в степень: n = 2, m = 4 Однако для полного ответа необходимо доказать, что это решение единственное. Без этого решение считается неполным. Оглавление n 3n Цифра + 7 1 3 3 10 2 9 9 16 3 27 7 14 4 81 1 8 n 2n Цифра 1 2 2 2 4 4 3 8 8 4 16 6

№ слайда 68 Заметим, что периодичность последних цифр у 3п и 2т равна 4. Рассмотрим совпа
Описание слайда:

Заметим, что периодичность последних цифр у 3п и 2т равна 4. Рассмотрим совпадение последних цифр при п = 2 + 4k и при т = 4 + 4l 32 + 4k = 9 · 34k 24 + 4l = 16 · 24l k=1, l=3 36 + 7 ≠ 216 k=2, l=1 310 + 7 ≠ 28 k=3, l=4 314 + 7 ≠ 220 k=4, l=2 318 + 7 ≠ 212 k=5, l=5 322 + 7 ≠ 224 Ни при каких k и l нельзя добиться равенства. Ответ: п=2, т=4 Оглавление k 3 2 + 4k Цифра + 7 1 36 29 36 2 310 49 56 3 314 69 76 4 318 89 96 l 24 + 4l Цифра 1 28 256 2 212 96 3 216 36 4 220 76 5 322 09 16 5 224 16

№ слайда 69 Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах. Способ 1. Зам
Описание слайда:

Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах. Способ 1. Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое) Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно. х = 2, у = 1 Больше решений нет: 2х2 > 5y2 Ответ: x = 2, y = 1 242 – 245 = - 3 Оглавление х 2х2 1 2 2 8 3 18 4 32 5 50 6 72 7 98 8 128 9 162 у 5у2 1 5 3 45 5 125 7 245 9 405 x =11 242 y = 7 245

№ слайда 70 Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах. Способ 2. Зам
Описание слайда:

Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах. Способ 2. Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое) Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно. 2x2 – 5(2n + 1)2 = 3 2x2 – 20n2 - 20n - 5 = 3 2x2 = 20n2 + 20n + 8 x2 = 10n2 + 10n + 4 Так как х – натуральное, то 10n2 + 10n + 4 будет полным квадратом только если п = 0, то есть х2 = 4 х = 2 2· 4 – 5у2 = 3, у = 1 Ответ: x = 2, y = 1 Оглавление

№ слайда 71 Задача 23. Решите уравнение х2 + 4ху + 13у2 = 58 в целых числах. a2 + b2 &gt; 0.
Описание слайда:

Задача 23. Решите уравнение х2 + 4ху + 13у2 = 58 в целых числах. a2 + b2 > 0. Сумма положительных чисел – положительна. Выделим полный квадрат относительно х: х2 + 4ху + 4у2 – 4у2 + 13у2 = 58 (х + 2у)2 + 9у2 = 58 Так как сумма равна 58, то 9у2 < 58 у2 < 58/9 В целых числах | у | < 2 , y = ± 1, y = 0 у = 1, х2 + 4х + 13 = 58, х2 + 4х – 45 = 0, х = - 9, х = 5 Ответ: (5;1), (-5;-1), (9;-1), (-9;1) При у = 0 целых х нет. у = - 1, х2 - 4х + 13 = 58, х2 - 4х – 45 = 0, х = 9, х = - 5 Знак равно можно опустить, т.к. у будет нецелым числом Оглавление

№ слайда 72 В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 к
Описание слайда:

В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов Не надо бояться дробного числа зайцев — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух. Более общая формулировка «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев» Оглавление Оглавление

№ слайда 73 «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 крол
Описание слайда:

«Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов Не надо бояться дробного числа зайцев — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух. Оглавление

№ слайда 74 хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца. z k Если в k клетка
Описание слайда:

хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца. z k Если в k клетках сидят z зайцев, причем z > k, то Нажмите на заслонку Оглавление

№ слайда 75 хотя бы одна клетка останется свободной. Если в k клетках сидят z голубей, пр
Описание слайда:

хотя бы одна клетка останется свободной. Если в k клетках сидят z голубей, причем z < k, то Нажмите на каждую заслонку Оглавление

№ слайда 76 Таким образом, применяя данный метод, надо: Определить, что удобно в задаче п
Описание слайда:

Таким образом, применяя данный метод, надо: Определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев». Получить «клетки»; чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну (или более). Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле. k - клетки z - зайцы Оглавление

№ слайда 77 1.В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся, как минимум, 2 ученика, отмеч
Описание слайда:

1.В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся, как минимум, 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц. k - месяцы z - ученики k = 12 z = 15 2. В ковре размером 3 х 3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1 х 1 м, не содержащий внутри себя дырок. Решение. Разрежем ковер на 9 ковриков размерами 1 х 1 м. k - дырки z - квадраты k = 8 z = 9 Оглавление

№ слайда 78 3. В 8 «Б» классе учится 27 школьников, знающих 109 песен. Докажите, что найд
Описание слайда:

3. В 8 «Б» классе учится 27 школьников, знающих 109 песен. Докажите, что найдется школьник, знающий не менее 5 песен. k – количество песен z - школьники k = 4 z = 27 4. В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца культуры 400 мест. Доказать, что найдётся школа, ученики которой не поместятся в этот зал. Число школьников из 15 школ, могущих размещаться в зале 15 · 400 = 6000 k – количество мест z – всего школьников k = 6000 z = 6015 Оглавление

№ слайда 79 5. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено 5 точек. Д
Описание слайда:

5. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см. Разобьем треугольник на 4, проведя средние линии. Получим 4 равносторонних треугольника со сторонами 0,5. k – количество точек z – количество ∆ k = 5 z = 4 Оглавление

№ слайда 80 Числовая последовательность – это набор чисел, каждое из которых стоит на опр
Описание слайда:

Числовая последовательность – это набор чисел, каждое из которых стоит на определенном месте. а1, а2, а3, …аn а1 – первый член последовательности аn – последний член последовательности Арифметическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и тоже число. аn - 1 – предыдущий член последовательности аn + 1 – последующий член последовательности d – разность прогрессии аn = a1 + (n – 1)d d = an – an - 1 Оглавление Оглавление

№ слайда 81 аn = kn + b - линейная зависимость от n Каждый член, начиная со второго, раве
Описание слайда:

аn = kn + b - линейная зависимость от n Каждый член, начиная со второго, равен среднеарифметическому двух соседних членов Оглавление

№ слайда 82 Геометрическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начи
Описание слайда:

Геометрическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, отличается от предыдущего в одно и тоже число раз. q – знаменатель прогрессии q = bn / bn - 1 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это прогрессия с |q| < 1 Оглавление

№ слайда 83 bn = kan - показательная зависимость от n Каждый член, начиная со второго, ра
Описание слайда:

bn = kan - показательная зависимость от n Каждый член, начиная со второго, равен среднегеометрическому двух соседних членов Оглавление

№ слайда 84 6. Доказать, что среди разных шести целых чисел найдутся два числа, разность
Описание слайда:

6. Доказать, что среди разных шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5. По признаку деления на число должно оканчиваться на 0 или 5 1. Разность двух чисел оканчивается на 0, если последние цифры равны. Следовательно, если среди 6 чисел, есть числа, оканчивающиеся на одинаковую цифру, то разность будет делится на 5 2. Разность двух чисел оканчивается на 5, если имеются числа с последними цифрами, разность которых равна 5 . |6 – 1| = 5 |7 – 2| = 5 |8 – 3| = 5 |9 – 4| = 5 3. Если последние цифры 0 и 5, разность делится на 5. Следовательно, любой набор из 6 целых чисел содержит хотя бы пару чисел, соответствующую одному из 3 вариантов. Других нет. Наименьшее количество пар равно 1 Оглавление

№ слайда 85 7. Доказать, что число N5 оканчивается на ту же цифру, что число N. 1 · 1 · 1
Описание слайда:

7. Доказать, что число N5 оканчивается на ту же цифру, что число N. 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = …1 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = …2 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = …3 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = …4 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = …5 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = …6 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = …7 8 · 8 · 8 · 8 · 8 = …8 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = …9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Если N оканчивается на 0, то N5 тоже оканчивается на 0 Если N оканчивается на 1, 2,3…9, то N5 тоже оканчивается 1, 2,3…9 Оглавление Последняя цифра N Последняя цифра N5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

№ слайда 86 8. В коробке лежат шарики 4-х разных цветов (много белых, много черных, много
Описание слайда:

8. В коробке лежат шарики 4-х разных цветов (много белых, много черных, много синих, много красных). Какое наименьшее количество шариков надо наощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета? k – цветов z – количество вынутых шариков k = 4 z = ? Исходя из неравенства, наименьшее количество вынутых шариков 5 Оглавление

№ слайда 87 9. Сколькими способами можно поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в ка
Описание слайда:

9. Сколькими способами можно поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? (шашки расставляются в любые клетки). Расставим по главной диагонали Расставим по следующей диагонали Расставим по следующей диагонали Расставим по следующей диагонали Всего 4 варианта и еще 4 по другой главной диагонали Всего 8 способов. Щелкните по каждой клетке диагонали.

№ слайда 88 9. Сколькими способами можно поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в ка
Описание слайда:

9. Сколькими способами можно поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? (шашки расставляются в любые клетки). Аналитический способ Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку в любую из 8 клеток. Во втором столбце — в любую из 7 клеток. (Т. к. нельзя ставить в ту же строку, в которой стоит первая шашка.) Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и т. д. Всего 8 способов. Оглавление

№ слайда 89 10. Сколькими способами можно поставить на доску 8  шашек разного цвета так,
Описание слайда:

10. Сколькими способами можно поставить на доску 8  шашек разного цвета так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? (шашки расставляются в любые клетки). Аналитический способ Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку любого цвета в любую из 8 клеток. Всего 8·8 = 64 Во втором столбце — в любую из 7 клеток, любого цвета 7·8 = 56 < 64 Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку k.любого цвета, в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и т. д. Всего 82 = 64 способов. Оглавление

№ слайда 90 Пример 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна,
Описание слайда:

Пример 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что: Смит самый высокий; играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами? 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 Оглавление Скрипка флейта альт кларнет гобой труба Браун Смит Вессон

№ слайда 91 Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет по
Описание слайда:

Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия. Не врач Не туризм Юра Физик Бег Влад Юрист Регби Врач Туризм Оглавление Имя Юра Тимур Влад Профессия Увлечения

№ слайда 92 Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очен
Описание слайда:

Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что: Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме; парижанка не снимается в кино; та, кто живет в Риме, певица; Линда равнодушна к балету. Где живет Айрис, и какова ее профессия? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Это допущение Оглавление Париж Рим Чикаго Пение Балет Кино Джуди Айрис Линда

№ слайда 93 Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайск
Описание слайда:

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно. 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский; Пусть 1 утверждение верно, тогда 2 и 3 не верны 0 1 1 0 1 Получили противоречие. Оглавление Китайский Японский Арабский Вадим Сергей Михаил

№ слайда 94 Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайск
Описание слайда:

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно. 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский; Пусть 2 утверждение верно, тогда 1 и 3 не верны 0 1 1 0 1 Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский Оглавление Китайский Японский Арабский Вадим Сергей Михаил

№ слайда 95 Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайск
Описание слайда:

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно. 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский; Пусть 3 утверждение верно, тогда 1 и 2 не верны 1 1 0 1 Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский Оглавление Китайский Японский Арабский Вадим Сергей Михаил

Краткое описание документа:

Курс содержит теорию и практические задачи по теории чисел, методу математической индукции, решению уравнений в целых числах, по последовательностям, принципу Дирихле, логическим задачам. Предназначен для учащихся 7 - 11 классов. Используется при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задание 19)

Автор
Дата добавления 10.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров141
Номер материала ДБ-118186
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх