Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Олимпиада
А я смогу!
2 слайд
Часть 2. Задание 19
Арифметика и алгебра
1. Теория чисел
2. Делимость. Признаки делимости
3. Простые и составные числа
4.. Деление с остатком. НОД и НОК
5. Обыкновенная дробь. Сократимость.
6. Десятичная запись числа.
7. Метод математической индукции.
8. Методы решения уравнений в целых числах.
9. Принцип Дирихле.
3 слайд
Часть 2. Задание 19
Арифметика и алгебра
10. Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
11. Решение логических задач.
В режиме демонстрации прейдите к оглавлению
Оглавление
Проверь себя
Перейти к оглавлению
Проверить свое решение
Справка
Переход к справочному материалу
4 слайд
1. Натуральные числа
Множество положительных целых чисел называется натуральными числами
1
2
5
67
234
18
Обозначение:
N
При работе с натуральными числами используются прописные латинские буквы: n, m, k, l и т.д.
Оглавление
5 слайд
Четность, нечетность
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.
n = 2k, где k принадлежит N -
четное число
n = 2k +1, где k принадлежит N -
нечетное число
Свойства четности, нечетность
1. Сумма двух четных чисел -
четное число
нечетное число
Оглавление
6 слайд
Четность, нечетность
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.
n = 2k, где k принадлежит N -
четное число
n = 2k +1, где k принадлежит N -
нечетное число
Свойства четности, нечетность
1. Сумма двух четных чисел -
2. Сумма двух нечетных чисел -
четное число
нечетное число
четное число
Оглавление
7 слайд
Четность, нечетность
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.
n = 2k, где k принадлежит N -
четное число
n = 2k +1, где k принадлежит N -
нечетное число
Свойства четности, нечетность
1. Сумма двух четных чисел -
2. Сумма двух нечетных чисел -
четное число
нечетное число
четное число
3. Сумма четного и нечетного чисел -
четное число
Оглавление
8 слайд
Четность, нечетность
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.
n = 2k, где k принадлежит N -
четное число
n = 2k +1, где k принадлежит N -
нечетное число
Свойства четности, нечетность
1. Сумма двух четных чисел -
2. Сумма двух нечетных чисел -
четное число
нечетное число
четное число
3. Сумма четного и нечетного чисел -
четное число
нечетное число
Оглавление
9 слайд
Четность, нечетность
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.
n = 2k, где k принадлежит N -
четное число
n = 2k +1, где k принадлежит N -
нечетное число
Свойства четности, нечетность
1. Произведение двух четных чисел -
четное число
нечетное число
Оглавление
10 слайд
Четность, нечетность
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.
n = 2k, где k принадлежит N -
четное число
n = 2k +1, где k принадлежит N -
нечетное число
Свойства четности, нечетность
1. Произведение двух четных чисел -
2. Произведение двух нечетных чисел -
четное число
нечетное число
четное число
Оглавление
11 слайд
Четность, нечетность
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.
n = 2k, где k принадлежит N -
четное число
n = 2k +1, где k принадлежит N -
нечетное число
Свойства четности, нечетность
1. Произведение двух четных чисел -
2. Произведение двух нечетных чисел -
четное число
нечетное число
четное число
3. Произведение четного и нечетного чисел -
нечетное число
Оглавление
12 слайд
Четность, нечетность
Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.
n = 2k, где k принадлежит N -
четное число
n = 2k +1, где k принадлежит N -
нечетное число
Свойства четности, нечетность
1. Произведение двух четных чисел -
2. Произведение двух нечетных чисел -
четное число
нечетное число
четное число
3. Произведение четного и нечетного чисел -
четное число
четное число
Оглавление
13 слайд
3
7
1
13
15
11
5
17
9
2
8
10
12
14
16
18
4
6
Соберите букеты
Оглавление
14 слайд
Решение задач
1. Лягушка прыгала по прямой и вернулась обратно. Длина прыжка одинаковая. Могла ли лягушка сделать 17 прыжков?
Решение. Нет.
Чтобы вернуться назад, лягушка должна сделать столько же прыжков, сколько их сделала вперед.
Пусть лягушка сделала n прыжков. Тогда обратно должна сделать тоже n прыжков, т.е. 2n прыжка. Это четное число.
Оглавление
15 слайд
2. Сумма трех чисел – нечетное число. Сколько слагаемых нечетно?
Решение
Пусть числа а = 2n, b = 2n + 1
Тогда возможно:
а + а + а
а + а + b
а + b + b
b + b + b
= 6n
= 4n + 1
= 4n + 2
= 6n + 3
нечетно
нечетно
Ответ: 1, 3
3. Определите четность суммы: 1 + 2 + 3 +…+ 1999
Для решения используем более короткий ряд: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + 8 + 9
В ряду 4 пары – нечетное, четное. Их сумма – число четное (нечетное умножить на четное равно четному числу).
Плюс нечетное число. Сумма будет нечетна.
В ряду 1 + 2 + 3 +…+ 1999 999 пар (1998 : 2) – нечетно. Сумма – нечетна (нечетное умножить на нечетное равно нечетному числу).
Последнее число нечетно, следовательно сумма будет четна
Оглавление
16 слайд
4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться?
1
2
1
2
Оглавление
17 слайд
4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться?
1
2
Оглавление
18 слайд
5. Лягушка прыгает по прямой. За один раз она прыгает на 15 или 17 см вправо или влево. Может ли она за 20 прыжков оказаться на 101 см от исходного положения?
Нет не может. Координата при каждом прыжке меняется. Но за 20 прыжков Координата будет четной.
15 · 20 = 300; 17 · 20 = 340; (15 + 17)·20 – четное; (15 - 17)·20 – четное
ВЫВОДЫ
Если какие-то объекты можно разбить на пары, то их количество четно.
Пары: чет - нечет
Оглавление
19 слайд
6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали?
Раскрасим симметрично относительно диагонали клетки. Будем брать по паре одного цвета.
Оглавление
20 слайд
Осталось по одному цвету, которые надо расставить так, чтобы не нарушать симметрию.
Ответ: Все клетки раскрашены в разные цвета.
6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали?
Клеток по диагонали - 9
Клеток в столбцах и строках без них 8.
Для симметрии разобьем цвета по парам. Останется по одному цвету 9 раскрасок.
Оглавление
21 слайд
6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Левый нижний край – в черный цвет. Можно ли расставить 5001 шашку черного цвета на черных клетках?
Рассмотрим шахматную доску 8Х8
Пара черное – белое повторяется в строке 4 раза (четное число раз). В квадрате 100Х100 - 50
Количество черных клеток равно
Количество черных клеток в квадрате 100Х100 равно
Ответ: нельзя.
Четное число
Оглавление
22 слайд
7. 8 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 2Х4. При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели. Сначала лампочки не горят.
Нажмите на лампочки первого ряда.
Нажмите на лампочки второго ряда.
Вывод! Чтобы зажглись все лампочки нужно нажать один раз на каждую, т.е. 8 раз.
Горит – не горит это пара. Всего лампочек 2Х4 = 8.
Оглавление
23 слайд
7. 200 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40. При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите а) наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели, б) количество изменений состояний одной лампочки. Сначала лампочки не горят.
а) Всего 50Х40 =2000
б) Всего 89
40 + 50 = 90, 90 – 1 = 89
Оглавление
24 слайд
8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике.
Анализ.
Произведение равно 1 или – 1
Сумма равна 0, если количество плюсов равно количеству минусов.
- 1
1
- 1
1
1
- 1
1
- 1
1
1
1
-1
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
Следовательно, количество произведений 1 равно количеству - 1
Пусть количество 1 = n
Пусть количество -1 = m
Пусть n = m - нечетно
Количество звеньев - четно
n = m
В этом случае при любой расстановке получится сторона , имеющая одинаковый знак с соседними.
1
-1
1
-1
1
Оглавление
25 слайд
8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике.
1
- 1
1
- 1
1
1
1
-1
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
Пусть n = m - четно
Количество звеньев - четно
Пусть n = m = 2k
Всего вершин n + m = 2k + 2k = 4k
Следовательно, количество сторон кратно 4.
Для решения нужно добавить еще два звена
-1
-1
-1
-1
Ответ: Количество сторон кратно 4.
Оглавление
26 слайд
Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?
Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?
Задача 3. В таблице, где имеются 15 отрицательных чисел , можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из всех положительных чисел?
Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?
Решаем самостоятельно
Оглавление
27 слайд
Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?
Задача 6. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то дописать к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?
Задача 7. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «—» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
8. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?
Оглавление
28 слайд
3
7
1
13
15
11
5
17
9
2
8
10
12
14
16
18
4
6
Букеты из четных и нечетных цветов
Любое число, делящееся на два, можно назвать четным.
Оглавление
29 слайд
Действительные числа
Действительные числа
Натуральные числа
Целые числа
Целые положительные
числа
Целые положительные,
отрицательные и нуль
Рациональные числа
Иррациональные числа
Целые и дробные
числа* и нуль
Бесконечная
непериодическая
десятичная дробь
Множество действительных чисел - R
Множество натуральных чисел - N
Множество целых чисел - Z
* обыкновенные, конечные десятич. и периодические дроби
Оглавление
30 слайд
Делимость. Признаки делимости
a : b = q
a
b
= q
a = b q
a : b
:
.
a b
Знак означает, что а делится на b
:
.
Знак означает, что а надо разделить на b
:
Делимость натуральных чисел. Свойства
Дробная черта означает деление
:
.
Например, 168 21, 21 7, то 168 7
:
.
:
.
1. Если а с и c b, то a b
:
.
:
.
:
.
2. Если а b и (a+c) b, то a c
:
.
:
.
:
.
:
.
Например, 168 21, (168+n) 21, то n 21, п = 21k
:
.
:
.
Оглавление
31 слайд
3. Если а b1 и c b2, то ac b1b2
:
.
:
.
:
.
:
.
Например, 168 21, 48 12, то 168· 48 21· 12
:
.
:
.
4. Если а b и c b, то (an+cm) b
:
.
:
.
:
.
:
.
Например, 168 21, 42 21, то (168·5+ 42·12) 21
:
.
:
.
Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п5 – 5п3 + 4п.
Чтобы найти делители, надо число разложить на множители
п5 – 5п3 + 4п = п(п4–5п2+4) = п(п4 –п2–4п2+4)=п((п–1)(п+1)(n -2)(n + 2)
Расположим множители в порядке возрастания
( п – 2)(п – 1)п(п + 1)(п + 2) – 5 последовательных натуральных чисел
Среди любых 5 – ти последовательных чисел найдутся числа, делящиеся
на 2k, 3m, 4l, 5 p
Делителями от 2 до 10 являются 2, 3, 4, 5
Оглавление
32 слайд
Простые и составные числа
Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми.
Остальные числа называются составными.
Простые
Составные
Оглавление
33 слайд
Простые и составные числа
Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми.
Остальные числа называются составными.
3
7
1
13
23
11
5
17
19
2
8
10
12
14
16
18
4
6
Простые
Составные
34 слайд
Разложение числа на простые множители
1) 12 = _________
2) 24 = _________
3) 75 = __________
4) 48 = ______
5) 72 = _________
6) 250 = _________
7) 54 = __________
8) 80 = _______
Разложение числа на простые множители:
864
22·3
23·3
52·3
24·3
23·32
53·2
33·2
24·5
2
432
2
216
2
108
2
54
2
27
33
864 =
25·33
576 =
26·32
540 =
22·33·5
1296 =
24·34
Таблица основных степеней
22 = 32 = 52 =
23 = 33 = 53 =
24 = 34 = 54 =
25 = 35 =
26 =
27 =
112 = 122 = 132 =
142 = 152 = 252 =
16
8
4
32
64
128
144
121
243
81
27
9
225
196
169
625
625
125
25
Оглавление
35 слайд
Наибольший общий делитель
Число, на которое делится каждое число ряда чисел, называется наибольшим общим делителем. НОД
НОД равен произведению общих множителей каждого числа ряда
Пример: Найдите НОД для чисел 45, 75, 120.
45 = 3·3· 5
75 = 3· 5·5
120 = 23 3· 5
Общие множители:
3 и 5
Берутся общие в меньшей степени
НОД(45,75,120) = 15
Все числа делятся на 15
Оглавление
36 слайд
Наименьшее общее кратное
Число, которое делится на каждое число ряда чисел, называется наименьшим общим кратным. НОК
НОК равен произведению общих множителей каждого числа ряда
Пример: Найдите НОК для чисел 45, 75.
45 = 3·3· 5
75 = 3· 5·5
Общие множители:
3 и 5
НОК(45,75) = 3·5·3·5 = 225
225 делится на 45 и 75
Из 45 не хватает множителя 3
Из 75 не хватает множителя 5
Для устного нахождения НОК можно взять наибольшее число и умножать его последовательно на 2, 3, 4 и т.д., до тех пор пока не получится число, которое делится на каждое.
НОК(30, 12)
30·2 = 60, 60 : 12 = 5 - делится
= 60
Берутся все множители в большей степени.
Оглавление
37 слайд
Задача 2. Докажите, что (п5 – 5п3 + 4п) 120
:
·
В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, 5.
120 = 2 · 3 · 4 · 5
Следовательно, (п5 – 5п3 + 4п) 120
:
·
Оглавление
38 слайд
Взаимно простые числа
Числа а и b называются взаимно простыми, если имеют делители 1 и само число.
Пример: 35 и 12; 46 и 27; 3 и 5
Если а и р взаимно простые и ас р, то с р
:
.
:
.
Если а и b взаимно простые, то НОД(а, b) = ab
Оглавление
39 слайд
Периодичность последней цифры
при возведении в степень
21 = 2 25 = 32
22 = 4 26 = 64
23 = 8 27 = 128
24 =1 6 28 = 256
31 = 3 35 = 243
32 = 9 36 = 729
33 =27 37 = 2187
34 = 81 38 = 37·3
ВЫВОДЫ
Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующей ряду окончаний при последовательном возведении в степень.
Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014
Известно, что окончаний при возведении 2n – 4( 2, 4, 8, 6)
Все окончания будут повторяться через 4. Период равен 4
Разделим 2014 на 4:
2014 : 4 = 503 и 2 в остатке
2, 4, 8, 6
Ответ: 4
Оглавление
40 слайд
Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014
Известно:
21 = 2 25 = 32
22 = 4 26 = 64
23 = 8 27 = 128
24 =1 6 28 = 256
Окончаний 4: 2, 4, 8, 6
ВЫВОДЫ
Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующему ряду окончаний при последовательном возведении в степень
Оглавление
41 слайд
Деление с остатком
137
4
3
12
17
4
16
1
Остаток
137 = 4 · 34 + 1
Целая часть
Если а делится на b с остатком, то
a = bq + r
q – целая часть деления
r – остаток деления
Задача 4. Запишите число, делящееся на 3 и с остатком 2
Таких чисел множество: n = 3k + 2
Например, п = 3k + 2 означает, что число делится на 3 и в остатке 2.
Оглавление
42 слайд
Периодичность остатков при делении
на натуральное число
Определим остатки при делении числа п на 2.
ВЫВОДЫ
Если число делится на 2 с остатком, то этот остаток равен 1
Определим остатки при делении числа п на 3.
ВЫВОДЫ
Если число делится на 3 с остатком, то эти остатки могут быть 1 и 2
Оглавление
43 слайд
Периодичность остатков при делении
на натуральное число
Определим остатки при делении числа п на 4.
ВЫВОДЫ
Если число делится на 4 с остатком, то эти остатки 1, 2, 3
Определим остатки при делении числа п на 5.
ВЫВОДЫ
Если число делится на 5 с остатком, то эти остатки могут быть 1, 2, 3, 4
Оглавление
44 слайд
Периодичность остатков при делении
на натуральное число
ВЫВОД
Если число п делится на т с остатком, то эти остатки 1, 2, 3…т - 1
Задача 5. Докажите, что квадраты натуральных чисел при делении на 3, не дают остаток 2
Остаток при делении п2 на 3 может быть только 1.
* Отметим. Одной таблиц не достаточно для решения. Нужно доказательство.
Так как остатки при делении на 1 или 2, то п = 3k + 1 или п = 3k + 2
п = 3k + 1. n2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1 = 3m + 1
п = 3k + 2. n2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k) + 4 = 3l + 4, но 4 делится на 3 с остатком 1. Следовательно, остаток может быть только 1.
Оглавление
45 слайд
Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п2 + п + 1 делится на 2015?
2015 делится на 5.
Рассмотрим деление с остатком числа п на 5.
Остатки: 1, 2, 3, 4
п = 5k + 1, тогда
п2 + п + 1 = 25k2 + 15k + 3 = 5l + 3 Остаток 3
п = 5k + 2, тогда
п2 + п + 1 = 25k2 + 25k + 7 = 5l + 7 Остаток 2
п = 5k + 3, тогда
п2 + п + 1 = 25k2 + 35k + 13 = 5l + 13 Остаток 3
п = 5k + 4, тогда
п2 + п + 1 = 25k2 + 45k + 21 = 5l + 17 Остаток 2
Число п не делится на 2015.
Оглавление
46 слайд
Рациональные числа
Рациональные числа – это числа вида
т – целое число; п – натуральное число
Множество рациональных чисел - Q
Натуральные N
Целые Z
Обыкновенная дробь
Конечная десятичная дробь
Бесконечная периодическая десятичная дробь
Оглавление
47 слайд
Обыкновенная дробь
Основное свойство дроби
Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и тоже чсло, неравное нулю.
Сокращение дробей
Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменетель на общие множители.
Чтобы сократить дробь, надо разложить числитель и знаменатель на простые множители.
Несократимая дробь – дробь, не имеющая общих множителей.
Оглавление
48 слайд
Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п.
Приведем числитель и знаменатель к виду так, чтобы часть kn была бы одинаковой.
В числителе число n делится на 6 и
в остатке 3
В знаменателе число п делится на 6 и
в остатке 4
Пусть числитель и знаменатель делится q, q > 1, натуральное число.
k =
Заметим, что если два числа делятся на q, то их сумма или разность тоже делится на q
Делится на q, если q = 1. Противоречие. q > 1.
Оглавление
49 слайд
Десятичная запись числа
Всякое натуральное число может быть представлено в виде:
п = а1 + а2 · 10 + а3 · 102 …+ аn – 1 · 10n – 1 + an · 10n
Например, 123 = 3 + 2 · 10 + 1· 102 = 3 + 20 + 100
Требование десятичной записи обозначается чертой над числом. 123
1023 = 3 + 2 · 10 + 0 + 1 · 103 = 3 + 20 + 1000
п показывает разряд
Трехзначное число xyz представить в виде десятичной записи:
xyz = z + 10y + 100x
Задача 7. цифры числа ab поменяли местами. Из полученного числа вычли исходное. Докажите, что полученное число делится на 9.
Оглавление
50 слайд
Задача 7. Цифры числа ab поменяли местами. Из полученного числа вычли исходное. Докажите, что полученное число делится на 9.
ab = b + 10a
ba = a + 10b
Делится на 9
ba - ab = a + 10b – b – 10a = 9b – 9 a = 9(b – a)
Задача 8. может ли произведение всех цифр десятичной записи числа равняться 2010?
2010
2
1005
3
67
5
2010 = 2 · 3 · 5 · 67
Заметим, что цифры в десятичной записи могут быть от 0 до 9
67 > 9. Не может.
335
Оглавление
51 слайд
Задача 9. Найдите все четырехзначные числа abcd такие, что abcd + abc + ab + а = 2011
abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+ 111b+11c+d
1111a+ 111b+11c+d = 2011
а может быть равно только 1 (1111) a = 1
с может изменяться от 0 до 9. 11с изменяется от 0 до 99
b может изменяться от 0 до 9. 111b изменяется от 0 до 999
Пусть b = 9, тогда 111b = 999. 1111 + 999 = 2110 > 2011
Пусть b = 8, тогда 111b = 888. 1111 + 888 = 1999 < 2011
11c + d = 2011 – 1999 = 12, следовательно, с = 1, d = 1
abcd = 1811
Оглавление
52 слайд
Метод математической индукции
Индукция – это переход от частного к общему.
Метод используется для доказательств тех или иных утверждений с натуральными числами.
Алгоритм
1. Доказательство, что утверждение верно для п = 1
2. Принятие за достоверное, что утверждение верно для n = k
3. Доказательство, что утверждение верно для п = k + 1
Оглавление
53 слайд
Задача 10. Докажите, что для любого натурального числа п сумма первых нечетных натуральных чисел равна п2
1 + 3 + 5 … + (2п - 1) = п2
Шаг 1.
п = 1
1 = 12 - верно
Шаг 2. предположение
п = k
1 + 3 + 5 … + (2k - 1) = k2 - верно
Шаг 3. индуктивный переход.
п = k + 1
1 + 3 + 5 … + (2k + 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
{
k2
k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 – верно
Выделим в выражении левой части выражение для n=k
Доказано.
{
Оглавление
54 слайд
Задача 11. Докажите, что 1 +22 + 32 +…+ п2 =
п = 1
- верно
п = k
- верно
п = k + 1
Выделим в выражении левой части выражение для n=k
{
2k2 + 7k + 6 = 2(k + 2)(k + 3/2) = (k + 2)(2k + 3)
Доказано.
Оглавление
55 слайд
Задача 12. Докажите, что 1 +23 + 33 +…+ п3 = (1+2+3+…+n)2
п = 1
13 = 12
- верно
п = k
13 +23 +33+…+k3 = (1+2+3+…+k)2
- верно
п = k + 1
13 +23 +33+…+k3 +(k+1)3 = (1+2+3+…+k +(k+1))2
Вычтем из выражения для п = k + 1 выражение для п = k, получим (k + 1)3
(1+2+3+…+k +(k+1))2 - (1+2+3+…+k)2 = (k+1)(2(1+2+3+…+k) +(k+1))
a2
b2
1+2+3+…+k
(k+1)(2(1+2+3+…+k) +(k+1)) = (k+1)(2 +(k+1)) =(k+1)( k2 +2k +1) =
(k + 1)3
Доказано.
{
{
-
Оглавление
56 слайд
Задача 13. Найдите сумму
Сначала необходимо выявить закономерность и создать формулу суммы. Потом доказать ее.
Не трудно догадаться, что
Докажем, что это так:
n = 1 S1 = ½ - верно
n = k - верно
n = k +1
Доказано
Заметим, что
Оглавление
57 слайд
Задача 14. Докажите, что для любого натурального п 5п + 3 делится на 4
п = 1 (5 + 3) 4
:
.
п = k (5k + 3) 4
:
.
п = k + 1 5k + 1 + 3
Докажем, что выражение делится на 4
5k + 1 + 3 = 5 · 5k + 3 = 5 · 5k + 15 – 15 + 3 = 5(5k + 3) - 12
5k + 3 делится на 4
12 делится на 4
Следовательно, все число делится на 4
Оглавление
58 слайд
Решение уравнений в целых числах
Уравнение, содержащее несколько переменных и решаемое в целых числах называется диофантовым
Уравнение вида ах + bx = c
1. Метод перебора
Решите в натуральных числах уравнение 2х + 5у = 12
1) х =1
2· 1 + 5у = 12; у = 2
(1;2)
2) х =2
2· 2 + 5у = 12; у - дробное
3) х =3
2· 3 + 5у = 12; у - дробное
4) х =4
2· 4 + 5у = 12; у - дробное
5) х =5
2· 5 + 5у = 12; у - дробное
6) х =6
2· 6 + 5у = 12; у = 0
(6;0)
7) х > 6
2· 7 + 5у = 12; у < 0
Ответ: (1;2), (6;0)
Оглавление
59 слайд
Задача 15. В клетке находятся кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Сколько в клетке и тех и других?
Пусть кроликов х, у них 4 ноги.
Пусть фазанов у, у них 2 ноги.
4х + 2у = 18, 2х + у = 9; у = 9 – 2х
Перебор:
1) х = 1; у = 7
2) х = 2; у = 5
3) х = 3; у = 3
4) х = 4; у = 1
5) х = 5; у = -1 < 0
6) х > 5; у < 0
Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1)
Оглавление
60 слайд
Уравнение ах + bу = с имеет целые решения, если свободный член делится на НОД(a,b)
Решите уравнение 3х – 4у = 1 в целых числах.
3х = 4у + 1
Для целых решений левая часть должна делится на 3, следовательно, и правая часть делится на 3
Пусть у = 3р
Тогда 12р + 1 – не делится 3
Пусть у = 3р + 1
Тогда 12р + 4 + 1 – не делится 3
Пусть у = 3р + 2
Тогда 12р + 8 + 1 – делится 3
3х = 12р + 9
х = 4р + 3
12р + 9 – 4у – 1 = 1
12р + 9 – 4у = 1, 4у = 12р + 8
у = 3р + 2
Ответ: х = 4р + 3; у = 3р + 2
Уравнение имеет бесконечное множество решений
Решение уравнений в целых числах
Оглавление
61 слайд
Формулы решения уравнения ax + bx = c
Если уравнение ах + bу = с имеет решение (х0;у0 ), то
х = х0 – bp; y = y0 + ap, p Z
э
Заметим, что а и b взаимно просты.
Решите уравнение 5х + 8у = 39 в целых числах.
1. Найдем подбором одно из решений
х = 1, 2 Нет целых решений.
х 0= 3 у0 = 3
2. Запишем по формулам решения:
5х + 8у = 39
х 0= 3
х =
х = – p;
х0
b
3
- 8
p
y =
3
+ 5
p
э
p Z
y0
a
y = + p
у0 = 3
Ответ: х = 3 – 8p; у = 3 + 5p
Оглавление
62 слайд
Решите уравнение -23х + 79у = 1 в целых числах.
Перебор для нахождения х0 и у0 сложный.
Применим метод понижения коэффициентов.
23х - 79у = -1
Представим 79у как сумму чисел, одно из которых кратно 23
23х - 69у – 10у = -1
23х - 69у = 10у -1
Левая часть делится на 23, следовательно, правая тоже.
Подберем у так, чтобы 10у – 1 делилось бы на 23.
Очевидно, что у0 = 7
Тогда
х0 = 24
Если уравнение ах + bу = с имеет решение (х0;у0 ), то
х = х0 – bp; y = y0 + ap, p Z
э
х = 24 + 79р; у = 7 + 23р
Оглавление
63 слайд
Решение нелинейных уравнений
Метод разложения на множители
Состоит из разложения на множители выражения, равного свободному члену и подбору целых решений.
Задача 16. Решите уравнение ху + 2х + 3у =7 в целых числах.
Разложим левую часть:
ху + 2х + 3у + 6 – 6 = х(у + 2) + 3(у +2) – 6 = (у +2)(х +3) – 6
(у +2)(х +3) – 6 = 7, (у +2)(х +3) – 6 = 7
(у +2)(х +3) = 13
13 имеет множители ±1, ±13. При этом 13>0
Поэтому для решения в целых числах получим системы:
Оглавление
64 слайд
Метод решения уравнения относительно
одной из переменных
Задача 17. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 0 в целых числах.
Чтобы разложить на множители левую часть решим уравнение относительно х, считая у параметром.
х2 - 3ху + 2 у2 = 0
D = 9y2 – 8y2 = y2
(x – y)(x – 2y) = 0
x = y, x = 2y, y Z
э
Задача 18. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 11 в целых числах.
(x – y)(x – 2y) = 11
Далее см. задачу 16.
Оглавление
65 слайд
Задача 19. Решите уравнение 3(х2 + ху + у2) = х + 8у в целых числах.
Представим уравнение относительно одной из переменных либо х, либо у.
3х2 + (3у – 1)х + 3у2 – 8у = 0
D = (3y – 1)2 – 12(3y2 – 8y) = - 27y2 + 90y + 1
Уравнение имеет решения, если D ≥ 0
Решим: - 27y2 + 90y + 1 ≥ 0
27y2 - 90y – 1 = 0
у1 ≈ - 1, … у2 ≈ 2, …
- + -
-1 ≤ y ≤ 2
y = -1, 0, 1, 2
y = - 1
3х2 - 4х + 11 = 0 нет целых корней
y = 0
3х2 - х = 0 целое х = 0
y = 1
3х2 + 2х – 5 = 0 х = 1, х = 5/3
y = 2
3х2 + 5х – 4 = 0 нет целых корней
Ответ: (0;0), (1;1)
Оглавление
66 слайд
Задача 20. Решите уравнение x2 – xy + y2 = x + y в целых числах.
Будем решать относительно х: х2 – (1 + у)х + у2 – у = 0.
D = - 3y2 + 6y + 1
Чтобы корни были бы целыми, дискриминант должен быть полным квадратом.
Пусть – 3у2 + 6y + 1 = t2
Оценим t, выделив полный квадрат.
- 3((у2 – 2у + 1 – 1) +1 = - 3 (у – 1)2 + 4
- 3(у – 1)2 + 4 = t2
t2 ≤ 4, | t | ≤ 2, -2 ≤ t ≤ 2
t = - 2, - 1, 0, 1, 2
t = - 2
- 3(у – 1)2 + 4 = 4, y = 1
x2 – 2x = 0, x = 0, x = 2
t = - 1
- 3(у – 1)2 + 4 = 1, y = 2,
x2 – 3x + 2 = 0, x = 1, x = 2
t = 0
- 3(у – 1)2 + 4 = 0, нет целых решений
t = 1
См. t = - 1
у =0
x2 – x = 0, x = 0, x = 1
t = 2
См. t = - 2
Ответ: (0;1), (2;1), (1;2), (2;2), (0;0), (1;0)
Оглавление
67 слайд
Метод последних цифр при возведении
в степень
Задача 21. Решите уравнение 3n + 7 = 2m в натуральных числах.
Определим последние цифры при последовательном возведении в степень:
n = 2, m = 4
Однако для полного ответа необходимо доказать, что это решение единственное. Без этого решение считается неполным.
Оглавление
68 слайд
Заметим, что периодичность последних цифр у 3п и 2т равна 4.
Рассмотрим совпадение последних цифр при п = 2 + 4k и при т = 4 + 4l
32 + 4k = 9 · 34k
24 + 4l = 16 · 24l
k=1, l=3
36 + 7 ≠ 216
k=2, l=1
310 + 7 ≠ 28
k=3, l=4
314 + 7 ≠ 220
k=4, l=2
318 + 7 ≠ 212
k=5, l=5
322 + 7 ≠ 224
Ни при каких k и l нельзя добиться равенства.
Ответ: п=2, т=4
Оглавление
69 слайд
Метод оценок
Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах.
Способ 1.
Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое)
Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно.
х = 2, у = 1
Больше решений нет: 2х2 > 5y2
Ответ: x = 2, y = 1
242 – 245 = - 3
Оглавление
70 слайд
Метод оценок
Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах.
Способ 2.
Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое)
Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно.
y = 2n + 1, n = 0, n N
э
2x2 – 5(2n + 1)2 = 3
2x2 – 20n2 - 20n - 5 = 3
2x2 = 20n2 + 20n + 8
x2 = 10n2 + 10n + 4
Так как х – натуральное, то 10n2 + 10n + 4 будет полным квадратом только если п = 0, то есть х2 = 4
х = 2
2· 4 – 5у2 = 3, у = 1
Ответ: x = 2, y = 1
Оглавление
71 слайд
Метод приведения к сумме
положительных чисел
Задача 23. Решите уравнение х2 + 4ху + 13у2 = 58 в целых числах.
a2 + b2 > 0. Сумма положительных чисел – положительна.
Выделим полный квадрат относительно х:
х2 + 4ху + 4у2 – 4у2 + 13у2 = 58
(х + 2у)2 + 9у2 = 58
Так как сумма равна 58, то 9у2 < 58
у2 < 58/9
В целых числах | у | < 2
, y = ± 1, y = 0
у = 1, х2 + 4х + 13 = 58, х2 + 4х – 45 = 0, х = - 9, х = 5
Ответ: (5;1), (-5;-1), (9;-1), (-9;1)
При у = 0 целых х нет.
у = - 1, х2 - 4х + 13 = 58, х2 - 4х – 45 = 0, х = 9, х = - 5
Знак равно можно опустить, т.к. у будет нецелым числом
Оглавление
72 слайд
Принцип Дирихле
В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов
Не надо бояться дробного числа зайцев — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.
Более общая формулировка «Если z зайцев сидят в
k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев»
Оглавление
Оглавление
73 слайд
Принцип Дирехле
«Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов
А как же я?
Не надо бояться дробного числа зайцев — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.
Оглавление
74 слайд
Принцип Дирехле
хотя бы в одной клетке
сидят, по крайней мере,
два зайца.
z
k
Если в k клетках
сидят z зайцев,
причем z > k, то
Нажмите на заслонку
Оглавление
75 слайд
Принцип Дирехле
хотя бы одна клетка
останется свободной.
Если в k клетках
сидят z голубей,
причем z < k, то
Нажмите на каждую заслонку
Оглавление
76 слайд
Если > 1, то по крайней мере в одной клетке сидят два зайца.
Решение задач по принципу Дирехле
Таким образом, применяя данный метод, надо:
Определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев».
Получить «клетки»; чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну (или более).
Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.
k - клетки
z - зайцы
Если < 1, то по крайней мере одна клетка свободна.
Оглавление
77 слайд
1.В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся, как минимум,
2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.
k - месяцы
z - ученики
Следовательно, найдутся, как минимум, 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.
k = 12
z = 15
2. В ковре размером 3 х 3 метра Коля проделал 8 дырок.
Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1 х 1 м,
не содержащий внутри себя дырок.
Решение.
Разрежем ковер на 9 ковриков размерами 1 х 1 м.
k - дырки
z - квадраты
k = 8
z = 9
Следовательно, найдется квадрат 1х1,не имеющий дырок .
Оглавление
78 слайд
3. В 8 «Б» классе учится 27 школьников, знающих 109 песен. Докажите, что найдется школьник, знающий не менее 5 песен.
k – количество песен
z - школьники
k = 4
z = 27
Следовательно, найдется школьник, знающий не менее 5 песен .
4. В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца культуры 400 мест. Доказать, что найдётся школа, ученики которой не поместятся в этот зал.
Число школьников из 15 школ, могущих размещаться в зале 15 · 400 = 6000
k – количество мест
z – всего школьников
k = 6000
z = 6015
Следовательно, есть школа, имеющая более 400 учеников.
Оглавление
79 слайд
5. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено
5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см.
Разобьем треугольник на 4, проведя средние линии.
Получим 4 равносторонних треугольника со сторонами 0,5.
k – количество точек
z – количество ∆
k = 5
z = 4
Следовательно, расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см.
Оглавление
80 слайд
Последовательности
Числовая последовательность – это набор чисел, каждое из которых стоит на определенном месте.
а1, а2, а3, …аn
а1 – первый член последовательности
аn – последний член последовательности
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и тоже число.
аn - 1 – предыдущий член последовательности
аn + 1 – последующий член последовательности
n – номер члена последовательности.
d – разность прогрессии
аn = a1 + (n – 1)d
d = an – an - 1
Оглавление
Оглавление
81 слайд
Свойства арифметической прогрессии
аn = kn + b - линейная зависимость от n
Найдите а1, d, а5 , если аn = 3n - 2
a1 = 3 – 2 = 1
a2 = 6 – 2 = 4
d= 4 – 1 = 3
a5 = 15 – 2 = 13
Каждый член, начиная со второго, равен среднеарифметическому двух соседних членов
Оглавление
82 слайд
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, отличается от предыдущего в одно и тоже число раз.
q – знаменатель прогрессии
q = bn / bn - 1
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это прогрессия с |q| < 1
Оглавление
83 слайд
Свойства геометрической прогрессии
bn = kan - показательная зависимость от n
Найдите b1, q, b5 , если bn = 3·2n
b1 = 6
b2 = 12
q =12/6 = 2
b5 = 6·24 = 96
Каждый член, начиная со второго, равен среднегеометрическому двух соседних членов
Оглавление
84 слайд
6. Доказать, что среди разных шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5.
По признаку деления на число должно оканчиваться на 0 или 5
1. Разность двух чисел оканчивается на 0, если последние цифры равны.
Следовательно, если среди 6 чисел, есть числа, оканчивающиеся на одинаковую цифру, то разность будет делится на 5
2. Разность двух чисел оканчивается на 5, если имеются числа с последними цифрами, разность которых равна 5 .
|6 – 1| = 5
|7 – 2| = 5
|8 – 3| = 5
|9 – 4| = 5
3. Если последние цифры 0 и 5, разность делится на 5.
Следовательно, любой набор из 6 целых чисел содержит хотя бы пару чисел, соответствующую одному из 3 вариантов. Других нет.
Наименьшее количество пар равно 1
Оглавление
85 слайд
7. Доказать, что число N5 оканчивается на ту же цифру, что число N.
1 · 1 · 1 · 1 · 1 = …1
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = …2
3 · 3 · 3 · 3 · 3 = …3
4 · 4 · 4 · 4 · 4 = …4
5 · 5 · 5 · 5 · 5 = …5
6 · 6 · 6 · 6 · 6 = …6
7 · 7 · 7 · 7 · 7 = …7
8 · 8 · 8 · 8 · 8 = …8
9 · 9 · 9 · 9 · 9 = …9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Если N оканчивается на 0, то N5 тоже оканчивается на 0
Если N оканчивается на 1, 2,3…9, то N5 тоже оканчивается 1, 2,3…9
Оглавление
86 слайд
8. В коробке лежат шарики 4-х разных цветов (много белых, много черных, много синих, много красных). Какое наименьшее количество шариков надо наощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета?
k – цветов
z – количество вынутых шариков
k = 4
z = ?
Исходя из неравенства, наименьшее количество вынутых шариков 5
Оглавление
87 слайд
9. Сколькими способами можно поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? (шашки расставляются в любые клетки).
Расставим по главной диагонали
Расставим по следующей диагонали
Расставим по следующей диагонали
Расставим по следующей диагонали
Всего 4 варианта и еще 4 по другой главной диагонали
Всего 8 способов.
Щелкните по каждой клетке диагонали.
88 слайд
9. Сколькими способами можно поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? (шашки расставляются в любые клетки).
Аналитический способ
Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку в любую из 8 клеток.
Во втором столбце — в любую из 7 клеток. (Т. к. нельзя ставить в ту же строку, в которой стоит первая шашка.)
Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и т. д.
Всего 8 способов.
Оглавление
89 слайд
10. Сколькими способами можно поставить на доску 8 шашек разного цвета так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? (шашки расставляются в любые клетки).
Аналитический способ
Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку любого цвета в любую из 8 клеток. Всего 8·8 = 64
Во втором столбце — в любую из 7 клеток, любого цвета 7·8 = 56 < 64
Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку k.любого цвета, в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и т. д.
Всего 82 = 64 способов.
Оглавление
90 слайд
Решение логических задач
Пример 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что:
Смит самый высокий;
играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;
играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;
когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;
Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.
На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
Оглавление
91 слайд
Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.
Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.
Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.
Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.
Не врач
Не туризм
Юра
Физик
Бег
Влад
Юрист
Регби
Врач
Туризм
Оглавление
92 слайд
Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.
Известно, что: Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;
парижанка не снимается в кино; та, кто живет в Риме, певица;
Линда равнодушна к балету.
Где живет Айрис, и какова ее профессия?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Это допущение
Оглавление
93 слайд
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно.
1. Вадим изучает китайский;
2. Сергей не изучает китайский;
3. Михаил не изучает арабский;
Пусть 1 утверждение верно, тогда 2 и 3 не верны
0
1
1
0
1
Получили противоречие.
Оглавление
94 слайд
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно.
1. Вадим изучает китайский;
2. Сергей не изучает китайский;
3. Михаил не изучает арабский;
Пусть 2 утверждение верно, тогда 1 и 3 не верны
0
1
1
0
1
Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский
Оглавление
95 слайд
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно.
1. Вадим изучает китайский;
2. Сергей не изучает китайский;
3. Михаил не изучает арабский;
Пусть 3 утверждение верно, тогда 1 и 2 не верны
1
1
0
1
Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский
Оглавление
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Курс содержит теорию и практические задачи по теории чисел, методу математической индукции, решению уравнений в целых числах, по последовательностям, принципу Дирихле, логическим задачам. Предназначен для учащихся 7 - 11 классов. Используется при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задание 19)
6 661 574 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Протасенко Марина Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.