Презентация "Научись решать квадратные уравнения" 8 класс

• 1 слайд

  Научись решать квадратные уравнения
  Выполнила: Ярина Ольга Александровна
  Класс: 8
  Наставник: Кнышова В. П.
  2021
  

• 2 слайд

  ЦЕЛЬ ПРОЕКТА
  Научиться решать квадратные уравнения с помощью перечисленных в проекте способов
  
  ЗАДАЧИ ПРОЕКТА
  Рассмотреть способы решения квадратных уравнений
  Разобраться в их применении
  Научиться применять на практике
  
  

• 3 слайд

  ВВЕДЕНИЕ
  Квадратные уравнения-это уравнения вида 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0, причем a≠0
  a-1ый коэффициент
  b-2ой коэффициент
  c- свободный член уравнения
  

• 4 слайд

  Квадратные уравнения
  ПОЛНЫЕ
  Имеет два коэффициента и свободный член, отличные от нуля.
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 – приведенное квадратное уравнение.
  НЕПОЛНЫЕ
  Один или оба коэффициента равны нулю, кроме коэффициента a. Если коэффициент a будет равен нулю, то такое уравнение не считается квадратным!
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥=0
  𝑎 𝑥 2 +𝑐=0
  𝑎 𝑥 2 =0
  

• 5 слайд

  ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
  Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты. Другой индийский ученый Брахммагупта (VII) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.
  Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду аx2 + bx + c = 0 было Сформулировано в Европе лишь в 1544 Году немецким математиком Михаэлем Штифелем.
  

• 6 слайд

  Способ 1
  Дискриминант
  Дискриминант-D (определитель)
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  
  𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐
  
  𝑥 1,2 = −𝑏± 𝐷 2𝑎
  
  D=0 – 1 корень
  D‹󠇕0 – нет корней
  D›0 – 2 корня
  

• 7 слайд

  Примеры решения
  квадратного уравнения через дискриминант
  ПОЛНОЕ
  3 𝑥 2 −7𝑥−8=0
  𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐
  
  𝑥 1,2 = −𝑏± 𝐷 2𝑎
  𝐷= −7 2 −4∗3∗ −8 =49−96=−47 −нет корней
  НЕПОЛНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕ РЕКОМЕНДУЕТСЯ РЕШАТЬ ДАННЫМ СПОСОБОМ
  𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐
  
  𝑥 1,2 = −𝑏± 𝐷 2𝑎
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  

• 8 слайд

  Способ 2
  Формула четного коэффициента
  
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  𝑏=2𝑚⇒𝑚= 𝐵 2
  𝐷 4 = 𝑚 2 −𝑎𝑐
  𝑋 1,2 = −𝑚± 𝐷 4 𝑎
  

• 9 слайд

  Примеры решения
  квадратного уравнения ФОРМУЛОЙ ЧЕТНОГО КОЭФФИЦИЕНТА
  ПОЛНОЕ
  4 𝑥 2 +6𝑥−10=0
  𝐷 4 = 3 2 −4∗ −10 =9+40=49
  𝑋 1,2 = −3±7 4
  𝑥 1 =− 10 4 =−2,5
  𝑥 2 = 4 4 =1
  Ответ: 1; -2,5
  НЕПОЛНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕ РЕКОМЕНДУЕТСЯ РЕШАТЬ ДАННЫМ СПОСОБОМ
  𝐷 4 = 𝑚 2 −𝑎𝑐
  𝑋 1,2 = −𝑚± 𝐷 4 𝑎
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  

• 10 слайд

  Способ 3
  теорема Виета
  𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 −приведеное квадратное уравнение
  
  Прямая теорема Виета
  Если 𝑥 1 , 𝑥 2 - корни уравнения, то числа 𝑥 1 , 𝑥 2 ,𝑏,𝑐 связаны равенствами:
  𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑏 𝑥 1 ⋅ 𝑥 2 =𝑐
  Обратная теорема Виета
  Если числа 𝑥 1 , 𝑥 2 ,b,𝑐 связаны равенствами:
  𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑏 𝑥 1 ⋅ 𝑥 2 =𝑐
  то 𝑥 1 , 𝑥 2 - корни уравнения.
  

• 11 слайд

  Примеры решения
  квадратного уравнения прямой теоремой виета
  ПОЛНОЕ
  𝑥 2 −5𝑥−6=0
  𝑥 1 + 𝑥 2 =5 𝑥 1 ⋅ 𝑥 2 =−6
  𝑥 1 =−1
  𝑥 2 =6
  6+(−1)=5 −1⋅6=−6
  Ответ: -1; 6
  НЕПОЛНОЕ
  𝑥 2 −1=0
  𝑥 1 + 𝑥 2 =0 𝑥 1 ⋅ 𝑥 2 =−1
  𝑥 1 =−1
  𝑥 2 =1
  1+(−1)=0 −1⋅1=−1
  Ответ: 1; -1
  𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑏 𝑥 1 ⋅ 𝑥 2 =𝑐
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  

• 12 слайд

  франсуа виет
  1540-1603
  По образованию Виет был юристом. Виет мог
  просиживать по трое суток подряд за столом,
  только иногда забываясь сном на несколько
  минут. Свободное время он посвящал астрономии.
  Занятия астрономией требовали знаний алгебры
  и тригонометрии. Виет занялся этими науками и
  вскоре пришел к выводу о необходимости их
  усовершенствования, над чем и проработал ряд
  лет. Вскоре он смог добиться успеха и стал
  Французским математиком. Он ввел в алгебру
  буквенные обозначения, до него в математике
  не было формул. Разработал почти всю элементарную алгебру.
  

• 13 слайд

  Способ 4
  метод коэффициентов
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 − квадратное уравнение
  
  I схема
  Если 𝑎+𝑏+𝑐=0,
  то 𝑥 1 =1, 𝑥 2 = 𝑐 𝑎
  II схема
  Если 𝑏=𝑎+𝑐,
  то 𝑥 1 =−1, 𝑥 2 =− 𝑐 𝑎
  

• 14 слайд

  Примеры решения
  квадратного уравнения методом коэффициентов
  ПОЛНОЕ
  3 𝑥 2 +9𝑥−12=0
  9+3−12=0⇒
  ⇒ 𝑥 1 =1
  𝑥 2 = −12 3 =−4
  Ответ: 1;−4
  НЕПОЛНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕ РЕКОМЕНДУЕТСЯ РЕШАТЬ МЕТОДОМ КОЭФФИЦИЕНТОВ
  I схема
  Если 𝑎+𝑏+𝑐=0,
  то 𝑥 1 =1, 𝑥 2 = 𝑐 𝑎
  II схема
  Если 𝑏=𝑎+𝑐,
  то 𝑥 1 =−1, 𝑥 2 −= 𝑐 𝑎
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  

• 15 слайд

  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑎 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2
  
  Этот способ в основном используется для решения задач. Для решения отдельных примеров (квадратных уравнений) этот способ применяю реже.
  
  Способ 5
  Разложение с использованием корней квадратного уравнения
  
  

• 16 слайд

  Примеры решения квадратного уравнения разложением с использованием корней квадратного уравнения
  ПОЛНОЕ
  14 𝑥 2 −5−1=14 𝑥− 1 2 𝑥+ 1 7
  Корни находят по формуле дискриминанта
  
  НЕПОЛНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕ РЕКОМЕНДУЕТСЯ РШАТЬ ДАННЫМ СПОСОБОМ
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑎 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  

• 17 слайд

  Способ 6
  Графическое решение квадратных уравнений
  
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  

• 18 слайд

  Примеры решения
  квадратного уравнения графически
  НЕПОЛНОЕ
  𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
  3 𝑥 2 −7𝑥=0
  𝑦=3 𝑥 2 ; 𝑦=7𝑥
  -одна точка пересечения.
  Ответ:0
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  1) 𝑦=5 𝑥 2 ; 𝑦=−3𝑥−6
  2) Построим графики
  3) Найдем точки пересечения
  4) Абсциссы точек-корни
  

• 19 слайд

  Примеры решения
  квадратного уравнения графически
  ПОЛНОЕ
  𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
  5 𝑥 2 +3𝑥+6=0
  𝑦=5 𝑥 2 ; 𝑦=−3𝑥−6
  -точек пересечения нет!
  Ответ: корней
  уравнения нет.
  
  𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0
  1) 𝑦=5 𝑥 2 ; 𝑦=−3𝑥−6
  2) Построим графики
  3) Найдем точки пересечения
  4) Абсциссы точек-корни
  

• 20 слайд

  заключение
  В ходе исследования, выяснилось, что существует множество способов решения квадратных уравнений. Здесь мы, перечислив многие способы нахождения корня, постарались более доступно изложить интересные факты и известную Вам информацию о квадратных уравнениях и их истории.
  В ходе написания работы мы применили все способы на практике.
  Изучив несколько способов решения квадратных уравнений, мы считаем, что при решении важно правильно выбрать рациональный способ решения и применить соответствующий алгоритм.
  

• 21 слайд

  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
  https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2019/11/12/kvadratnye-uravneniya-sposoby-resheniya
  https://www.youtube.com/watch?v=Zh9x_4QlyYg
  https://tutomath.ru/uroki/kvadratnye-uravneniya-polnoe-kvadratnoe-uravnenie-nepolnoe-kvadratnoe-uravnenie-diskriminant.html
  https://ru.wiktionary.org/wiki/дискриминант
  Виет биография кратко
  https://infourok.ru/proekt-po-matematike-na-temu-kvadratnie-uravneniya-i-sposobi-ih-resheniya-2328031.html
  https://izamorfix.ru/matematika/algebra/diskriminant.html
  
  

• 22 слайд

  Научись решать квадратные уравнения
  Выполнила: Ярина Ольга Александровна
  Класс: 8
  Наставник: Кнышова В. П.
  2021