Презентация "Нестандартные методы решения показательных и логарифмических неравенств"

• 1 слайд

  
  
  Нестандартные методы решения показательных и логарифмических неравенств.
  
  Автор работы: Учитель математики
  Ибрагимов Р.Ф.
  
  
  

• 2 слайд

  Глава 1.Решение показательных неравенств.
  
  Рассмотрим неравенство
  
  и неравенство, ему равносильное:
  Для его решения исследуем
  знак разности
  Итак, выясним, что следует из того, что
  
  Если a > 1, то f( x ) > g( x ), а это значит, что ( a – 1)( f( x ) – g( x )) > 0.
  2) Если 0 < a < 1, то f( x ) < g( x ), и опять ( a – 1)( f( x ) – g( x )) > 0.
  
  Верно и обратное. Если то при имеем то есть
  а при получаем то есть
  Таким образом, мы доказали, что:
  
  Знак разности совпадает со знаком выражения
  
  А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:
  
  
  

• 3 слайд

  Пример.
  Решить неравенство
  
  
  Решение: имеем
  
  Заменим выражение вида , стоящее в каждой скобке, на
  выражение , имеющее с ним тот же знак:
  
  
  А значит,
  
  
  Равносильное неравенство имеет вид так как для всех x.
  Решая это неравенство методом интервалов, получаем
  
  Ответ:
  
  
  
  
  
  - -1 0 1 2
  - + + - + - +
  

• 4 слайд

  Глава 2.Решение логарифмических неравенств
  Рассмотрим теперь неравенство и найдём
  соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства:
  f(x) > 0.
  Если a>1, то тогда и только тогда, когда f(x) > 1 в ОДЗ
  ( f(x) < 1), то есть
  Если 0<a<1, то тогда и только тогда, когда f(x) < 1 в ОДЗ ( f(x) > 1), то есть опять
  Верно и обратное, если то при a > 1 имеем f(x) > 1 в ОДЗ ( f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f(x) < 1 в ОДЗ ( f(x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности:
  
  
  Знак совпадает со знаком выражения в ОДЗ (f(x) > 0).
  Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а ≠ 1 неравенство:
  
  
  
  
  Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда имеет тот
  же знак, что и произведение при всех допустимых значениях переменных.
  
  Пример: Решить неравенство:
  

• 5 слайд

  
  Решение:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ:
  
  
  

• 6 слайд

  Рассмотрим случай,когда в основании логарифма есть переменная.
  Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а = 1 неравенство
  
  
  
  
  
  
  Следствие:
  Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда имеет тот же знак, что и произведение при всех допустимых значениях переменных.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 7 слайд

  Пример:
  
  Решить неравенство:
  
  Решение:
  Записав условия существования каждого из выражений, заменим их рациональными выражениями, имеющими те же промежутки знакопостоянства:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Пользуясь методом интервалов, получаем:
  
  
  Ответ:
  
  

• 8 слайд

  Рассмотрим еще один метод решения логарифмических неравенств,
  с различными основаниями.
  
  Суть метода приведение логарифмов к одинаковому основанию,большему 1 применение равносильного преобразования
  Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов:
  
  
  
  
  Теперь остается воспользоваться преобразованием. Итак,
  
  
  

• 9 слайд

  Пример:
  Решите неравенство:
  
  
  
  
  
  
  
  Последняя система легко решается методом интервалов.
  Ответ: (–2; –1];(1; 2).
  Не вызывает сомнений, что в ряде случаев изложенный метод позволяет решать логарифмические неравенства, содержащие переменную в основаниях логарифмов, быстрее и эффективнее других методов.
  
  

• 10 слайд

  
  Заключение
  
  Рассмотренные методы решений неравенств способствуют быстрому и эффективному освоению математических знаний, формируют культуру математического мышления, развивают мотивацию к учебе.
  Следовательно, «Нестандартные методы решения показательных и логарифмических неравенств» являются продуктивным походом в формировании математических знаний, умений и навыков.
  

• 11 слайд

  Литература
  
  1. Куланин Е.Д., Федин С.Н. «5000 конкурсных задач по математике» – М.: Аст, 1999 г.
  2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. «Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс» – М.: Просвещение, 1991г.
  3. Шестаков С.А. «Замени функцию». «Математика», № 8/2002.