Презентация "Одноодные тригонометрические уравнения"

• 1 слайд

  
  Однородные тригонометрические
  уравнения
  

• 2 слайд

  
  
  
  
  Здесь мы вспомним тригонометрические уравнения специального вида, довольно часто встречающиеся на практике.
  

• 3 слайд

  Определение
  Уравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени
  Уравнения вида asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени
  

• 4 слайд

  
  
  
  
  Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и b отличны от нуля, так как, если а=о, то уравнение принимает вид bcosx=0, а получившееся уравнение cosx=0 отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при b=0 получаем sinx=0, что тоже не требует отдельного обсуждения.
  

• 5 слайд

  Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a≠0, b≠0. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим:
  asinx/cosx + bcosx/cosx = 0/cosx
  atgx + b=0
  В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:
  tgx= - b/a
  
  

• 6 слайд

  
  
  
  
  Но внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль, потому что на нуль делить нельзя. Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае cosx отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что cosx=0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0, то есть sinx=0 (коэффициент а не равен нулю по условию). Получается, что и cosx=0 и sinx=0, а это невозможно, так как sinx и cosx обращаются в нуль в различных точках.
  
  Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения
  на cosx – вполне благополучная операция.
  

• 7 слайд

  Уравнение вида
  asin mx+bcos mx=0
  тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
  Для их решения обе части уравнения делят почленно
  на cos mx.
  

• 8 слайд

  Примеры
  №1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0
  Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим 2tgx-3=0
  tgx=3/2
  x=arctg3/2 + πn, n € Z
  Ответ: x=arctg3/2 + πn, n € Z
  
  

• 9 слайд

  №2. Решить уравнение
  sin2x+cos2x=0
  Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cos2x, получим
  tg2x+1=0,
  tg2x=-1
  2x=-π/4+ πn, n € Z
  x=- π/8+ πn/2, n € Z
  Ответ: x=- π/8+ πn/2, n € Z
  
  

• 10 слайд

  Рассмотрим теперь однородное
  тригонометрическое уравнение второй степени asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0.
  Если коэффициент а отличен от нуля, то есть в уравнение содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая, как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cosx не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на cos2x.
  asin2x/cos2x+bsinxcosx/cos2x+ccos2x/cos2x=0/cos2x
  atg2x+btgx+c=0
  Это квадратное уравнение относительно новой переменной z=tgx.
  
  

• 11 слайд

  Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 коэффициент а=0, то есть отсутствует член asin2x. Тогда уравнение принимает вид bsinxcosx=0. Это уравнение можно решить методом разложения на множители:
  cosx(bsinx+ccosx)=0
  cosx=0 или bsinx+ccosx=0
  Получились два уравнения, которые мы умеем решать.
  Аналогично обстоит дело и в случае, когда c=0, то есть когда однородное уравнение принимает вид asin2x+bsinxcosx=0 (здесь можно вынести за скобки sinx).
  Фактически мы выработали алгоритм решения
  однородных тригонометрических уравнений
  второй степени.
  

• 12 слайд

  Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени
  Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2x;
  Если этот член содержится, то есть а≠0, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующим введением новой переменной z=tgx;
  Если этот член содержится, то есть а=0, то уравнение решается методом
  разложения на множители: за
  скобки выносят cosx;
  
  

• 13 слайд

  Так же обстоит дело и
  в однородном тригонометрическом
  уравнении второй степени вида
  asin2mx+bsinmxcosmx+ccos2mx=0
  

• 14 слайд

  Примеры
  №1. Решить уравнение sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0.
  
  Решение. sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0 \ ÷ cos2x
  tg2x-3tgx+2=0
  Введем новую переменную z=tgx
  z2-3z+2=0
  z1=1, z2=2
  tgx=1 tgx=2
  x= π/4+ πn, n € Z x=arctg2 + πn, n € Z
  Ответ: π/4+ πn, arctg2 + πn, n € Z
  

• 15 слайд

  
  №2. Решить уравнение √3sinxcosx+cos2x=0.
  
  Решение. cosx(√3sinx+cosx)=0
  cosx=0 или √3sinx+cosx=0 \ ÷ cosx≠0
  x= π/2+ πn, n € Z √3tgx+1=0
  tgx=-1/ √3
  x=arctg(-1/ √3) + πn, n € Z
  x=- π/6+ πn, n € Z
  
  Ответ: π/2+ πn, - π/6+ πn, n € Z