Презентация: "Перпендикуляр, наклонная, ГМТ", 7 класс

• 1 слайд

  Перпендикуляр
  и наклонная
  Свойство биссектрисы угла
  Геометрическое место точек
  Задачи
  

• 2 слайд

  Проекцией точки С на прямую АВ называется основание С0 перпендикуляра, опущенного из точки С на эту прямую.
  ССо┴ АВ
  Точка Со есть проекция точки С на прямую АВ
  Со = прАВС
  А
  В
  С
  Со
  Свойство перпендикуляра и наклонных
  

• 3 слайд

  Проекция наклонной
  Если D<d, то отрезок CD – наклонная
  к прямой АВ
  Проекцией наклонной называется отрезок
  от основания наклонной
  до основания перпендикуляра.
  А
  В
  С
  Со
  D
  перпендикуляр
  проекция
  наклонной
  наклонная
  основание наклонной
  DСо = прАВСD
  

• 4 слайд

  Теоремы о перпендикуляре и наклонной
  т.1 Если из точки проведены к прямой наклонная и перпендикуляр, то перпендикуляр короче (меньше) наклонной.
  Дано: ССо┴АВ
  СD – наклонная
  Док-ть: ССо<CD
  Док-во:
  ΔDCCo – прямоугольный, Со=90о, т.к. ССо┴АВ по усл. ССо – катет, СD – гипотенуза ССо<CD, ч.т.д.
  
  
  А
  D
  B
  Co
  C
  

• 5 слайд

  Теоремы о перпендикуляре и наклонной
  т.2 Если проекции наклонных, проведенных из одной точки, равны, то равны и сами наклонные.
  Дано: СD и СF – наклонные
  CoD=прABСD
  CoF=прABСF
  CoD=СоF
  Док-ть: СD=CF
  Док-во:
  ΔDCCo=ΔFCCo по СУС
  DCo=FCo, по усл.
  Co=90o, по построению CD=CF, ч.т.д.
  CCo – общая
  А
  D
  B
  Co
  C
  F
  S
  

• 6 слайд

  Теоремы о перпендикуляре и наклонной
  т.3 (обратная) Если наклонные, проведенные из одной точки, равны, то равны и их проекции.
  Дано: СD и СF – наклонные
  CoD=прABСD
  CoF=прABСF
  CD=СF
  Док-ть: СоD=CоF
  Док-во:
  ΔDCF – равнобедренный, т.к. CD=CF, по усл.
  CCо – высота, она же и медиана
  CоD=CоF, ч.т.д.
  
  А
  D
  B
  Co
  C
  F
  

• 7 слайд

  Теоремы о перпендикуляре и наклонной
  т. 4 Из 2-х наклонных, проведенных из одной точки, та больше, которая имеет большую проекцию.
  
  
  
  
  
  т. 5 (обратная) Из 2-х наклонных, проведенных из одной точки, большая наклонная имеет большую проекцию
  
  А
  D
  B
  Co
  C
  F
  Е
  1
  2
  3
  Дом. Задание:
  т. 4-5 доказать
  самостоятельно
  § 10 теоремы 1-4
  оформить в тетрадь
  

• 8 слайд

  Расстояние от точки до прямой есть длина
  перпендикуляра, опущенного из этой точки
  на данную прямую
  
  Свойство перпендикуляра, проведенного
  к отрезку прямой через его середину.
  т. Если прямая перпендикулярна
  к отрезку АВ и проходит через
  его середину, то любая точка
  этой прямой равноудалена
  от концов отрезка АВ.
  
  т. (обратная) Если точка Р равноудалена от концов отрезка АВ, то она лежит на перпендикуляре к нему в его середине.
  P
  M
  N
  C
  A
  B
  

• 9 слайд

  Свойство биссектрисы угла
  т. 1 Если луч есть биссектриса угла, то любая точка его равноудалена от сторон этого угла.
  
  
  
  
  
  т. 2 (обратная) Если любая точка луча ОС равноудалена от сторон угла АОВ,
  то луч ОС – биссектриса этого угла.
  Доказательство – самостоятельно!
  O
  E
  A
  B
  F
  C
  P
  1
  2
  3
  4
  S
  

• 10 слайд

  Дано: АОВ
  ОС – биссектриса
  Р – любая точка ОС
  РЕ┴ОА, РF┴ОВ
  Док-ть: PE=PF
  Док-во:
  1. ΔРОЕ=ΔPOF по гипотенузе и острому углу.
  Е= F, т.к. РЕ┴ОА, РF┴ОВ по усл.
  ОР - общая,
  1 = 2, по опр. биссектрисы
  PE=PF, ч.т.д.
  Объяснить, как можно использовать
  углы 3 и 4.
  O
  E
  A
  B
  F
  C
  P
  1
  2
  3
  4
  S
  

• 11 слайд

  Геометрическое место точек
  Задача. Построить точку,
  находящуюся от данной
  точки О на расстоянии,
  равном данному отрезку r.
  Решение. Проведем через
  точку О луч и построим отрезок ОА=r.
  Точка А искомая, она удовлетворяет условию задачи.
  Точек, удовлетворяющих условию задачи, будет
  бесконечное множество.
  Например, А, В, С, …
  Точки М и N не удовлетворяют условию задачи:
  ОМ>r; ON<r
  M
  N
  O
  C
  B
  A
  

• 12 слайд

  Геометрическое место точек – ГМТ
  есть совокупность (множество) всех точек,
  удовлетворяющих некоторому условию,
  общему для всех этих точек и
  только для них.
  
  Окружность есть ГМТ плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки плоскости.
  
  О – центр окружности
  r – радиус окружности
  А, В, С – точки окружности
  M
  N
  O
  C
  B
  A
  r
  

• 13 слайд

  Биссектриса угла есть
  геометрическое место точек,
  каждая из которых равноудалена от сторон
  этого угла
  С
  E
  A
  B
  F
  P3
  Р2
  Р1
  Перпендикуляр к отрезку, проведенный через его середину есть геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от концов этого отрезка
  P2
  M
  N
  C
  A
  B
  Р1
  Р3
  Биссектриса
  

• 14 слайд

  Задачи
  1. На прямой АВ найти точку, равноудаленную от сторон угла COD
  2. Найти точку О, равноудаленную от сторон ΔАВС
  3. Найти точку О, равноудаленную от вершин ΔАВС
  4. На прямой АВ найти точку О, равноудаленную от точек E и F
  A
  B
  C
  O
  D
  № 1
  A
  B
  E
  F
  № 2
  

• 15 слайд

  Решение задач
  1. На прямой АВ найти точку М, равноудаленную от сторон угла COD
  A
  B
  C
  O
  D
  № 1
  M
  N
  E
  F
  Проверь
  свой чертеж!
  

• 16 слайд

  Решение задач
  2. Найти точку О, равноудаленную от сторон ΔАВС
  О
  А
  С
  В
  D
  E
  F
  r
  r
  r
  Проверь
  свой чертеж!
  

• 17 слайд

  Решение задач
  3. Найти точку О, равноудаленную от вершин ΔАВС
  R
  R
  R
  O
  A
  B
  C
  E
  F
  Проверь
  свой чертеж!
  

• 18 слайд

  Решение задач
  4. На прямой АВ найти точку О, равноудаленную от точек E и F
  A
  B
  E
  F
  О
  C
  Проверь
  свой чертеж!
  

• 19 слайд

  Спасибо за внимание!
  Волошина Н.Н.