Презентация "Перпендикулярность прямых и плоскостей"

• 1 слайд

  Автор:учитель математики Оршокдугова Р.М.
  Перпендикулярность прямых и плоскостей
  

• 2 слайд

  Содержание
  Перпендикулярные прямые в пространстве
  Лемма
  Определение прямой, перпендикулярной к плоскости
  Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости
  Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых к плоскости
  Признак перпендикулярности прямой и плоскости
  Теорема о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к данной плоскости
  Перпендикуляр и наклонные
  Теорема о трех перпендикулярах
  Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
  Угол между прямой и плоскостью
  

• 3 слайд

  Перпендикулярные прямые в пространстве
  Две прямые называются перпендикулярными,
  если угол между ними равен 90о
  а
  b
  с
  а  b
  c  b
  α
  

• 4 слайд

  Лемма
  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
  A
  C
  a
  α
  M
  b
  c
  Дано: а || b, a  c
  Доказать: b  c
  Доказательство:
  

• 5 слайд

  Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
  α
  а
  а  α
  

• 6 слайд

  Теорема 1
  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
  α
  х
  Дано: а || а1; a  α
  Доказать: а1  α
  Доказательство:
  a
  а1
  

• 7 слайд

  Теорема 2
  α
  Доказать: а || b
  Доказательство:
  a
  Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
  β
  b1
  Дано: а  α; b  α
  b
  M
  с
  

• 8 слайд

  Признак перпендикулярности прямой и плоскости
  Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
  то она перпендикулярна к этой плоскости.
  α
  q
  Доказать: а  α
  Доказательство:
  a
  p
  m
  O
  Дано: а  p; a  q
  p  α; q  α
  p ∩ q = O
  

• 9 слайд

  α
  q
  l
  m
  O
  a
  p
  B
  P
  Q
  Доказательство:
  L
  а) частный случай
  A
  

• 10 слайд

  α
  q
  a
  p
  m
  O
  Доказательство:
  а) общий случай
  a1
  

• 11 слайд

  Теорема 4
  Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
  α
  а
  β
  М
  b
  с
  Доказать:
  1) ∃ с, с  α, М с;
  2) с – !
  Доказательство:
  Дано: α; М α
  

• 12 слайд

  Задача
  Найти: MD
  А
  В
  D
  M
  Решение:
  Дано: ABC;
  MB  BC; MB  BA;
  MB = BD = a
  Доказать: МB  BD
  C
  a
  a
  

• 13 слайд

  Задача 128
  Доказать: OМ  (ABC)
  Дано: ABCD - параллелограмм;
  AC ∩ BD = O; М (ABC);
  МА = МС, MB = MD
  А
  В
  D
  C
  O
  М
  Доказательство:
  

• 14 слайд

  Задача 122
  Найти: AD; BD; AK; BK.
  А
  В
  D
  C
  O
  К
  Решение:
  Дано: ABC – р/с;
  О – центр ABC
  CD  (ABC); ОК || CD
  АB = 163, OK = 12; CD = 16
  12
  16
  

• 15 слайд

  Перпендикуляр и наклонные
  М
  А
  В
  Н
  α
  МН  α
  А  α
  В  α
  МА и МВ – наклонные
  Н  α
  АН и ВН – проекции
  наклонных
  МН – перпендикуляр
  М  α
  

• 16 слайд

  Теорема о трех перпендикулярах
  Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
  А
  Н
  М
  α
  β
  а
  Дано: а  α, АН  α,
  АМ – наклонная,
  а  НМ, М  а
  Доказать: а  АМ
  Доказательство:
  

• 17 слайд

  Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
  Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
  А
  Н
  М
  α
  β
  а
  Дано: а  α, АН  α,
  АМ – наклонная,
  а  АМ, М  а
  Доказать: а  НМ
  Доказательство:
  

• 18 слайд

  Угол между прямой и плоскостью
  А
  Н
  α
  β
  а
  О
  φ
  (а ; α) = АОН = φ