Презентация "Планиметрические задачи на ЕГЭ" 9 класс

• 1 слайд

  Планиметрические задачи на ЕГЭ
  

• 2 слайд

  Дополнительный теоретический материал
  В треугольнике со сторонами a, b, c расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно
  Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований (средней линии).
  

• 3 слайд

  Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС
  Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.
  
  

• 4 слайд

  Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции.
  При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.
  При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону.
  Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r (R≥r) равно R+r при внешем касании и R-r при внутреннем.
  

• 5 слайд

  Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду АВ.
  
  Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.
  
  Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника
  
  
  

• 6 слайд

  Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.
  Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям).
  Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.
  
  

• 7 слайд

  Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.
  Если р - полупериметр треугольника, ra - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны равной a, то S = (p-a)ra
  Расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей находится по формуле
  
  

• 8 слайд

  Опорные задачи
  Отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r равен
  Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АК, и СМ, тогда треугольник ВКМ подобен данному с коэффициентом подобия, равным |cos B|
  Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, тогда
  

• 9 слайд

  ЕГЭ 2010 года
  • В треугольнике ABC АВ =12, ВС = 5, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.
  • В треугольнике со сторонами а, Ь, с расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно
  Решение
  Пусть AD = d, BD = x, DC = у.
  Тогда для окружности
  вписанной в треугольник
  ADC имеем
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  
  А для окружности вписанной в треугольник ADB
  
  
  
  
  
  
  
  Поскольку в условии сказано, что точка D лежит на прямой ВС, то существует два ее положения, при которых будет выполняться условие BD: DC = 4:9. Соответственно, существует два рисунка, удовлетворяющих условию задачи.
  
  
  

• 11 слайд

  
  
  Пусть точка D лежит на отрезке ВС (рис.а). Тогда
  Значит,
  
  2. Пусть точка D лежит вне отрезка ВС (рис. б). Тогда
  х = 4, у = х + ВС = = 9. Значит,
  
  Случай расположения точки D правее точки С невозможен.
  Замечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и F на отрезке AD, то при вычислении длины отрезка EF использован знак модуля.
  Ответ:  
  

• 12 слайд

  Вариант пробного платного ЕГЭ
  На стороне CD квадрата ABCD построен
  равнобедренный прямоугольный треугольник CPD с гипотенузой CD. Найдите высоту треугольника АВР, проведенную из А, если сторона квадрата равна 4.
  Дано:
  AB=4,
  CP=PD,
  AK-высота.
  Найти:
  АК
  
  А
  В
  С
  D
  Р
  

• 13 слайд

  Решение
  Первый случай, когда точка Р лежит вне квадрата АВСD:
  1. CD = 4, значит CP=PD=
  2. Рассмотрим треугольник ВСР, в нем ВС=4,
  СР=
  По теореме косинусов находим АР=
  3. Проведем высоту РН в равнобедренном треугольнике АВР, так как РН = 6, то из формулы площади треугольника найдем АК
  
  АК=
  

• 14 слайд

  Второй случай когда точка Р лежит внутри квадрата:
  Точка Р совпадет с точкой пересечения диагоналей, поэтому высотой треугольника АВР будет катет АР=
  
  Ответ :
  

• 15 слайд

  Диагностическая работа от 20.10.10
  Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности S.
  
  
  

• 16 слайд

  Решение
  Первый случай, когда окружность касается нижнего основания:
  По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки получаем, что СN=9, ND=16, KD=16.
  Треугольник OKD – прямоугольный, поэтому OD=20.
  Треугольники OKD и HMD подобны по двум углам, поэтому составим отношение
  
  
  Пусть MH = у, тогда DH = 8-у, находим у=3
  
  
  

• 17 слайд

  Второй случай, когда окружность касается верхнего основания.
  По теореме Пифагора найдем ОС = 15.
  Также используя отношение сторон подобных треугольников получаем пропорцию
  
  
  То есть у =
  
  
  Ответ: 3 и
  
  

• 18 слайд

  Диагностическая работа от 9.12.10
  Расстояние между параллельными прямыми равно 12. на одной из них лежит точка С , а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
  

• 19 слайд

  Решение
  Первый случай, когда С – вершина равнобедренного треугольника.
  По условию СН = 12, АС = 13, треугольник АВС- равнобедренный, поэтому АН = 5, значит, АВ=10.
  Из формул площади треугольника выразим радиус
  
  
  То есть
  
  

• 20 слайд

  Второй случай, когда АС= АВ=13, СН=12
  1. По теореме Пифагора АН=5, значит НВ=8,
  
  2. Подставив в формулу получаем
  
  
  
  Ответ:
  
  
  
  
  
  
  

• 21 слайд

  Ященко и Со (30 вариантов-2011)
  В параллелограмме АВСD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что BM:MN=1:3. Найти ВС, если АВ=6.
  
  

• 22 слайд

  Решение
  Первый случай, когда точки M и N лежат на отрезке ВС, считая от вершины В соответственно
  По свойству биссектрисы параллелограмма получаем АВ=ВМ=NC=CD=6.
  Так как BM:MN=1:3, то MN=18, значит ВС=30.
  Второй случай, когда биссектрисы пересекаются в параллелограмме
  Тогда BN=CM=6, пусть ВМ=х, MN=3x
  х+3х=6, то есть х=1,5, значит ВС=7,5.
  Ответ: 30 и 7,5.
  
  

• 23 слайд

  Ященко и Со (30 вариантов - 2011)
  Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине 15/17. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон вдвое больше другой.
  
  

• 24 слайд

  Решение
  Первый случай, когда большая сторона прямоугольника лежит на основании.
  По теореме косинусов находим АВ = .
  По теореме Пифагора находим BD = 80.
  Пусть KN=2x, KD=x, LK=x.
  Рассмотрим треугольники ABD и LBP , они подобны по двум углам, поэтому
  
  
  находим х=16, значит, S=512.
  
  

• 25 слайд

  Во втором случае на основании треугольника лежит меньшая сторона прямоугольника, тогда
  Пусть KN=x, KD=0,5x, LK=2x.
  Подставив в пропорцию получим
  
  
  Получаем х=20, значит S=800.
  
  
  Ответ: 512 и 800.
  
  
  
  
  
  

• 26 слайд

  Ященко и Со (30 вариантов – 2011)
  Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 18, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 5. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжения других его сторон.
  
  

• 27 слайд

  Решение
  Пусть ВС = a, АС = b, - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC , - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС.
  Треугольники ВОК и ВСD подобны, значит,
  
  Подставим известные величины и выразим а через b
  
  
  Применив теорему Пифагора получаем АС=15, АВ=19,5
  
  
  
  
  
  

• 28 слайд

  5. Применив свойство отрезка касательной к вневписанной окружности, получаем
  ВМ = 0,5 (19,5∙2+15)=27
  6. Из формулы площади треугольника находим радиусы вневписанных окружностей
  
  
  
  
  Ответ: 18 и 11,25
  

• 29 слайд

  Основные свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимном расположении прямой и окружности.
  

• 30 слайд

  Если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой
  P
  O
  O1
  O1
  O
  P
  a)
  б)
  

• 31 слайд

  R
  d
  Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, а расстояние между центрами двух внутренне касающихся окружностей равно разности радиусов большей и меньшей окружностей
  O
  O1
  P
  d
  R
  r
  d = R+r
  a)
  r
  б)
  d = R-r
  

• 32 слайд

  Касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу окружности или ее дуги, проведенному в точку касания
  R
  O
  A
  a
  a ┴ OA
  

• 33 слайд

  Задача 1.
  В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины В и D. На стороне DС как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найти радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.
  

• 34 слайд

  Решение
  I. Случай, когда искомая окружность касается стороне АВ квадрата АВСD (Рис. 1, а). Обозначим радиус этой окружности через х.
  
  Рассмотрим три случая:
  
  Рис. 1, а.
  а) Соединим центр окружности О с центром полуокружности О1 и с центром дуги А.
  D
  В
  С
  А
  O
  K
  M
  N
  K1
  O1
  б) Опустим из центра окружности О перпендикуляры ОМ и ОN на противоположные стороны АВ и СD и рассмотрим полученные при этом построении прямоугольные треугольники АМО и ОО1N.
  
  

• 35 слайд

  Из прямоугольного треугольника АМО следует, что неизвестный катет АМ равен
  , то есть АМ=
  или АМ=
  .
  Теперь рассмотрим треугольник ОО1N, в котором гипотенуза
  OO1 = OK1+ K1O1 =
  ,катет ОN = МN – ОМ = а – х и катет О1N = DN –D О1,
  где DN= АМ=
  и D О1 =
  поэтому О1N =
  .
  По теореме Пифагора находим OO1 2 = ОN 2 + О1N 2 . Подставляя найденные выражения для OO1 , ОN и О1N в выше написанное уравнение имеем
  откуда получаем искомый радиус х = OK =
  

• 36 слайд

  Он равен ОМ =
  II. Случай, когда искомая окружность касается стороне ВС (Рис. 1, б). Обозначим радиус этой окружности через у . Сделаем необходимые дополнительные построения и получаем прямоугольные треугольники АОМ и О1ОN. Из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора найдем катет ОМ.
  =
  Аналогично найдем из прямоугольного треугольника О1ОN катет ОN =
  =
  Подставляя найденные значения величин ОМ и ОN в соотношение ВС=ОМ+ОN, получаем а =
  +
  Рис. 1, б.
  Решая это уравнение, находим y = OK =
  K
  K
  2
  D
  В
  С
  А
  O1
  N
  M
  K
  1
  O
  

• 37 слайд

  Рис. 1, в.
  III. Искомая окружность касается стороне DC (Рис.1, в).Обозначим радиус этой окружности через z. Опустим из центра О искомой окружности перпендикуляры ОМ и ОN соответственно на стороны АВ и CD квадрата АВСD и соединим центр О с центром полуокружности О1 и с вершиной А квадрата АВСD . Из полученного при этом построении прямоугольного треугольника ОО1N
  по теореме Пифагора имеем О1N =
  =
  Следовательно, катет АМ прямоугольного треугольника АМО равен
  . Из соотношения АO 2 = АМ 2 + ОМ 2 получаем
  откуда и находится искомый радиус z = OK =
  D
  В
  С
  А
  O
  K
  M
  N
  K
  1
  O1
  

• 38 слайд

  Задача 2
  Дан круговой сектор АОВ радиуса R с центральным углом в 90 ○ . На радиусах АО и ОВ этого сектора как на диаметрах построены полуокружности, расположенные внутри данного сектора. Полуокружность с центром О1 на радиусе ОВ сектора АОВ, радиуса О1В касается полуокружности, построенной на радиусе АО, и дуги АВ в точке В. Определить радиус окружности, касающейся этих трех полуокружностей.
  
  

• 39 слайд

  Решение.
  
  а) Рис.2 б)
  A
  O
  B
  K1
  O4
  K3
  K2
  O4
  A
  O
  B
  K2
  K1
  K3
  N
  M
  K
  O2
  O3
  K
  O1
  O3
  O1
  O2
  

• 40 слайд

  Для решения этой задачи проведем из центров полуокружностей О1 и О2 радиусы в точки касания (Рис.2,б). Радиусы О1К и О2К оба перпендикулярны касательной в одной и той же точке К и поэтому они лежат на одной прямой О1О2. Получим прямоугольный треугольник ОО1О2 , из которого найдем О1О22 =О1О2 + О2О2 или,
  так как О1О2= О2К+ О1К =
  О1В,
  О1О = ОВ - О1В = R - О1В и О2О =
  отсюда получаем
  Далее центры полуокружностей О1 ,О2 и О3 соединим с центром окружности О4 и из центра О4 этой же окружности опустим перпендикуляры О4М и О4N на радиусы ОА и ОВ сектора АОВ. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники О1О4N и О3О4N. Высота О4N – общая для обоих этих треугольников и поэтому, применяя теорему Пифагора к этим прямоугольным треугольникам, получим следующее равенство
  

• 41 слайд

  О1О42 - О3О42 = NО12 – NО32 , или (О1О4 - О3О4) (О1О4 +О3О4) = (NО1 – NО3)
  
  (NО1 + NО3) . Подставив сюда значения:
  Следовательно, высота
  Теперь мы должны определить стороны прямоугольного треугольника
  
  О2О4М. Гипотенуза О2О4 = О2К2 + К2 О4 =
  

• 42 слайд

  Катет О2М = ОО2 - ОМ =
  и катет О4М =
  По теореме Пифагора имеем О2О4 2 = О2М 2 + МО4 2 , или
  откуда
  

• 43 слайд

  Задача 3.
  На отрезке АВ, равном R, точка Q – середина; на АQ и на ВQ как на диаметрах по одну сторону от АВ построены полуокружности. С центрами в точках А и В радиусами, равными АВ, проведены дуги до их взаимного пересечения в точке F, находящиеся по ту же сторону от АВ, что и полуокружности. Проведена окружность, которая касается проведенных дуг и полуокружностей. Найти радиус окружности, касающейся окружности, полуокружности, построенной на отрезке ВQ, и дуги ВF.
  

• 44 слайд

  Решение.
  
  Рис. 3.
  Записывая теорему Пифагора для прямоугольных треугольников О1О2 Q и ВО2 Q (Рис.3), получаем
  (ВО2 + О1О2)(ВО2 - О1О2)=(ВQ + О1Q) (ВQ - О1Q) .Имея в виду, что ВО2 = ВК2 - О2 К2 = R - О2 К2 ,
  
  
  О1О2 = О1К4 + К4 О2 =
  F
  O2
  Q
  K2
  K
  K1
  K3
  K4
  P
  M
  A
  B
  O1
  O
  

• 45 слайд

  Далее, рассматривая прямоугольные треугольники О1ОМ и АОМ, имеем (АО + О1О) (АО - О1О) =( АМ + О1М) ( АМ - О1М), где
  
  АО = АК – ОК = R – ОК,
  Поэтому
  oткуда
  и высота
  Для окончательного решения задачи осталось определить стороны прямоугольного треугольника OPO2 и подставить в уравнение
  ОО2 2 = О2P 2 + PO 2 . Меньший катет О2P = О2Q - PQ, где
  

• 46 слайд

  катет
  Отсюда получаем
  После необходимых преобразований находим искомый радиус
  

• 47 слайд

  Задачи для самостоятельного решения
  

• 48 слайд

  Рис. 4.
  Задача 1. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины В и D. На сторонах ВС и СD как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны а.
  Ответ: Надо рассмотреть отдельно три случая:
  D
  В
  С
  А
  3
  2
  1
  

• 49 слайд

  Задача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной 1. Из одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1 до пересечения с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найти радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги.
  Ответ: Два случая:
  Рис. 5.
  2
  1
  

• 50 слайд

  Задача 3. Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности.
  Ответ: Четыре случая:
  Рис. 6.
  3
  4
  2
  1
  

• 51 слайд

  Задача 4. Две окружности радиусов a и b (a < b) имеют внутреннее касание. Внутри большей окружности проведена касательная к меньшей окружности, перпендикулярная к общему диаметру этих окружностей. Доказать, что отношение радиуса окружности S1, касающейся двух данных окружностей и проведенной касательной, к радиусу окружности S2, касающейся большей окружности, проведенной касательной и общего диаметра двух данных окружностей,
  
  равно
  
  
  Рис. 7.
  S1
  S2
  

• 52 слайд

  Задача 5. Внутри квадрата со стороной a на двух его смежных сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся этих двух построенных полуокружностей
  и одной из сторон данного квадрата.
  
  
  Ответ:
  Рис. 8.