Презентация по алгебре для 7 класса "Введение в комбинаторику"

• 1 слайд

  ГОУ средняя общеобразовательная школа № 80
  с углубленным изучением английского языка
  Петроградского административного района
  г. Санкт- Петербурга
  

• 2 слайд

  
  Введение в комбинаторику
  
  Разработка уроков для7класса.
  Работа выполнена учителем математики высшей категории
  Вашкевич Татьяной Сергеевной
  

• 3 слайд

  
  Основная цель – развить комбинаторное мышление, сформировать умение организованного перебора упорядоченных и неупорядоченных комбинаций из двух – трех элементов.
  
  
  В данной теме интегрируются арифметические, начальные алгебраические и геометрические знания учащихся.
  Рассматриваются исторические комбинаторные задачи, способы составления фигурных чисел, магических и латинских квадратов, выводится формула n – го треугольного числа.
  В ходе организованного перебора различных комбинаций элементов двух множеств обосновывается правило произведения. С его помощью решаются простейшие комбинаторные задачи.
  

• 4 слайд

  Планирование уроков
  Исторические комбинаторные задачи –
  1 час
  
  Различные комбинации из трех элементов –
  2 часа
  
  Таблица вариантов и правило произведения-
  2 часа
  
  Подсчет вариантов с помощью графов –
  1 час
  

• 5 слайд

  Урок № 1.
  Тема урока: «Исторические комбинаторные
  задачи»
  В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу.
  Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.
  С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.
  Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.
  
  
  

• 6 слайд

  Фигурные числа
  В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры.
  

• 7 слайд

  Фигурные числа
  
  Квадратные числа: 1,4,16,25…
  
  
  
  
  
  
  1
  
  
  2·2=2 =4 3·3=3 =9 4·4=4 =16 5·5=5 =25
  
  
  Nкв = n²
  
  
  

• 8 слайд

  Фигурные числа
  
  Треугольные числа
  1 1+2=3 1+2+3=5 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15
  
  Nтр = (n(n+1))/ 2
  

• 9 слайд

  Фигурные числа
  Пятиугольные числа
  
  Nпят = n + 3(n(n-1)/2)
  
  
  1 5 12 22
  

• 10 слайд

  Фигурные числа
  Прямоугольные числа- составные числа, которые древние представляли в виде прямоугольников.
  Представления числа 12 выглядели так
  12
  12
  

• 11 слайд

  Фигурные числа
  Непрямоугольные числа – простые числа, которые древние представляли в виде линий.
  
  3
  7
  

• 12 слайд

  Магические квадраты
  

• 13 слайд

  Латинские квадраты
  Латинскими квадратами называют квадраты размером n x n клеток, в которых записаны натуральные числа от 1 до n, причем таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу.
  

• 14 слайд

  Задачи
  Посчитать число однобуквенных слов русского языка.
  Записать первые двенадцать квадратных чисел.
  Записать первые десять треугольных чисел.
  Составить латинский квадрат.
  
  

• 15 слайд

  Домашнее задание
  1. Записать n- е по порядку кв. число, если:
  1) n =20;
  2) n =25 3) n =31;
  2. Записать n- е по порядку треугольное число,
  если: 1) n=20;
  2) n=33; 3) n=34;
  3. Изобразить в древних традициях всеми возможными
  способами составное число: 1) 6; 2) 8; 3) 18;
  4) 20;
  4. Продолжить построение магического квадрата:
  
  
  

• 16 слайд

  Задачи
  
  1) Однобуквенных слов русского языка 11:
  а, б, в, ж, и, к, о, с, у, э, я.
  
  

• 17 слайд

  Задачи
  
  2) 1, 4, 9,
  16,25, 36,
  49, 64, 81,
  100, 121
  
  
  

• 18 слайд

  Задачи
  
  3) 1, 3, 6,
  10, 15, 21,
  28, 36, 45,
  55.
  
  

• 19 слайд

  Уроки № 2-3
  Тема урока: «Различные комбинации из
  трех элементов»
  Нередко в жизни бывают ситуации, когда задача имеет не одно, а несколько решений, которые нужно сравнить, а может быть, и выбрать наиболее подходящее для конкретной ситуации.
  

• 20 слайд

  Задача № 1
  
  Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?
  Сочетания
  

• 21 слайд

  Сочетания
  
  Антон и Борис
  
  Антон и Виктор
  
  Борис и Виктор
  
  Ответ: 3 варианта.
  
  

• 22 слайд

  Сочетания
  Вывод:
  В задаче были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по два: пары элементов из имеющихся трех элементов. Пары отличались друг от друга только составом элементов, а порядок расположения элементов в паре не учитывался.
  

• 23 слайд

  Размещения
  
  Задача № 2
  Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-ое и 2-ое места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов (способов) занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.
  

• 24 слайд

  Размещения
  

• 25 слайд

  Размещения
  Вывод:
  В задаче из трех элементов выбирались пары элементов и фиксировался их порядок расположения в паре, т.е. все составленные пары отличались друг от друга либо составом элементов, либо их расположением в паре. В комбинаторике такие пары называют размещениями из трех элементов по два.
  

• 26 слайд

  Перестановки
  
  Задача № 3
  Антону, Борису и Виктору повезло, и они купили 3 билета на футбол на 1-ое, 2-ое и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?
  

• 27 слайд

  Перестановки
  

• 28 слайд

  Перестановки
  Вывод:
  В задаче были составлены всевозможные перестановки из трех элементов – комбинации из трех элементов, отличающихся друг от друга порядком расположения в них элементов.
  

• 29 слайд

  Устные задачи
  1) Сколько подарочных наборов можно составить:
  а) из одного предмета;
  б) из двух предметов,
  если в наличии имеются одна ваза и одна ветка сирени?
  
  2) Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?
  

• 30 слайд

  Задачи
  
  1) Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 при условии, что цифры в числе:
  а) должны быть различными;
  б) могут повторяться?
  

• 31 слайд

  Решение
  
  а) Способ составления трехзначных чисел из 3 различных цифр аналогичен способу записи троек букв в задаче 3:
  
  123, 213, 132, 312, 231, 321.
  
  Получили 6 чисел.
  

• 32 слайд

  Решение
  
  б) Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выпишем все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3:
  
  111 112 113 211 212 213 311 312 313
  121 122 123 221 222 223 321 322 323
  131 132 133 231 232 233 331 332 333
  
  Получили 27 чисел.
  

• 33 слайд

  Задачи
  §2 «Различные комбинации из трех элементов»
  
  На уроках решаются задачи
  №№ 3, 5, 7, 9, 11.
  
  Домашнее задание
  №№ 2, 4, 6, 8, 10.
  

• 34 слайд

  Уроки № 4 – 5
  Тема урока: «Таблица вариантов и правило
  произведения»
  Для решения комбинаторных задач существуют различные средства, исключающие возможность «потери» какой – либо комбинации элементов.
  
  Для подсчета числа комбинаций из двух элементов таким средством является таблица вариантов.
  

• 35 слайд

  Таблица вариантов
  Задача №1.
  
  Записать всевозможные двузначные числа, используя пр этом цифры:
  1) 1, 2 и 3;
  2) 0, 1, 2 и 3.
  Подсчитать их количество N.
  

• 36 слайд

  Для подсчета образующихся чисел составим таблицу:
  
  N = 3·3 = 9
  

• 37 слайд

  Для подсчета образующихся чисел составим таблицу:
  
  N = 3·4=12
  

• 38 слайд

  Таблица вариантов
  Задача № 2.
  Бросаются две игральные кости. Сколько различных пар очков может появиться на верхних гранях костей?
  

• 39 слайд

  С помощью составленной таблицы пар выпавших очков можно утверждать, что число всевозможных пар равно 6·6 = 36
  
  

• 40 слайд

  Правило произведения.
  Для решения задач, аналогичных задачам 1 и 2, необязательно каждый раз составлять таблицу вариантов. Можно пользоваться правилом, которое получило в комбинаторике название «Правило произведения»:
  если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n·m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.
  

• 41 слайд

  Правило произведения.
  Задача № 3.
  Катя и Оля приходят в магазин, где продают в любом количестве плитки шоколада трех видов. Каждая девочка покупает по одной плитке. Сколько существует способов покупки?
  
  

• 42 слайд

  Правило произведения.
  Задача № 3. (решение)
  Катя может купить плитку любого из трех видов шоколада (n=3). Оля может поступить аналогично (m=3). Пару шоколадок для Кати и для Оли можно составить n·m=3·3=9 различными способами.
  
  Ответ: 9 способов.
  
  

• 43 слайд

  Правило произведения.
  Задача № 4.
  Имеются три плитки шоколада различных видов. Катя и Оля по очереди выбирают себе по одной плитке. Сколько существует различных способов выбора шоколадок для Кати и Оли?
  
  

• 44 слайд

  Правило произведения.
  Задача № 4. (решение)
  Допустим первой шоколадку выбирает Катя. У нее есть 3 возможности выбора плитки (n=3). После этого Оля может выбрать одну из двух оставшихся плиток (m=2). Тогда способов выбрать пару шоколадок для Кати и для Оли существует n·m=3·2=6.
  
  Ответ: 6 способов.
  

• 45 слайд

  Правило произведения.
  Задача № 5.
  Сколько существует различных двузначных кодов, составленных с помощью букв А, Б, В, Г и Д, если буквы в коде:
  1) могут повторяться;
  2) должны быть различными?
  
  
  А Б В Г Д
  

• 46 слайд

  Правило произведения.
  Задача № 5. (решение)
  1) Первой в коде может быть любая из данных букв (n=5), а второй – также любая из пяти (m=5). Согласно правилу произведения число всевозможных букв (с возможным их повторением в паре) равно
  
  n·m=5·5=25.
  
  

• 47 слайд

  Правило произведения.
  Задача № 5. (решение)
  2) Первой в коде может быть любая из пяти данных букв (n=5), а второй – любая из четырех, отличных от первой (m=4). Согласно правилу произведения число двузначных кодов с различными буквами будет равно
  n·m=5·4=20.
  Ответ: 1) 25; 2) 20.
  
  
  

• 48 слайд

  Задачи
  §3 «Таблица вариантов и правило произведения»
  
  На уроках решаются задачи
  №№ 3, 5, 7, 9, 11.
  
  Домашнее задание
  №№ 2, 4, 6, 8, 10, 12.
  

• 49 слайд

  Урок № 6
  Тема урока: «Подсчет вариантов с помощью графов»
  Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из данных элементов несложно, когда их количество невелико. Однако, когда их количество больше, например, 20, то при переборе легко упустить какую-либо из них.
  
  Нередко подсчет вариантов облегчают графы.
  
  Графы – геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа).
  

• 50 слайд

  Подсчет вариантов с помощью
  графов
  Приведем примеры различных графов
  1
  2
  4
  3
  A
  B
  C
  D
  E
  Иван
  Борис
  Татьяна
  Иван
  Ольга
  Сергей
  Галина
  

• 51 слайд

  Полный граф
  Задача № 1
  Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
  
  Решим задачу с помощью полного графа.
  
  Вершины – первые буквы имен мальчиков, а отрезки-ребра обозначают шахматные партии.
  

• 52 слайд

  Полный граф
  
  А
  Б
  В
  Г
  Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и партий было сыграно 6.
  
  Ответ: 6 партий.
  

• 53 слайд

  Полный граф
  Задача № 2
  
  Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?
  
  

• 54 слайд

  Полный граф
  
  
  А
  Б
  В
  Г
  С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, что стрелок в 2 раза больше, чем ребер, т. е. 6·2=12. Столько же было подарено фотографий.
  Ответ: 12 фотографий.
  

• 55 слайд

  Граф - дерево
  Задача № 3
  
  Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места?
  
  

• 56 слайд

  Граф - дерево
  
  Способы
  1 место
  2 место
  3 место
  Упорядоченные тройки
  А
  А
  А
  А
  А
  Б
  Б
  Б
  Б
  Б
  В
  В
  В
  В
  В
  АБВ
  
  АВБ
  
  
  БАВ
  
  БВА
  
  
  ВАБ
  
  ВБА
  Ответ: 6 способов.
  

• 57 слайд

  Граф - дерево
  Задача № 4
  Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, если цифры в числе могут повторяться?
  
  213 543 753 849 109 760
  
  376 934 875 777 201
  
  213 543 753 849 109 760
  
  376 934 875 777
  

• 58 слайд

  Варианты
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  0
  0
  0
  0
  0
  0
  0
  0
  Образовавшееся число
  100
  101
  102
  110
  111
  112
  120
  121
  122
  200
  201
  202
  210
  211
  212
  220
  221
  222
  Ответ: 18 чисел
  

• 59 слайд

  Задачи
  § 4 «Подсчет вариантов с помощью графов»
  
  На уроках решаются задачи
  №№ 3, 5, 7, 9, 11.
  
  Домашнее задание
  №№ 2, 4, 6, 8, 10, 12.
  

• 60 слайд

  Урок № 7
  Контрольная работа
  1 вариант
  С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться.
  Анна, Белла и Вера купили билеты в кинотеатр на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти места.
  У лесника три собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.
  

• 61 слайд

  Контрольная работа
  2 вариант
  Перечислить все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 8, 9 и 0, если: а) одинаковых цифр в числах не должно быть; б) цифры в числах могут повторяться.
  Из трех стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Иван решил последовательно выпить два. Перечислить все варианты, которыми это можно сделать.
  У Марии 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Марии?