Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по алгебре "Геометрическая прогрессия"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по алгебре "Геометрическая прогрессия"

библиотека
материалов
Геометрическая прогрессия. Заборчук Н.А. Учитель математики МАОУ «СОШ№1» Г.То...
Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучены космос и море, Стро...
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познаком...
-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжа...
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя бесп...
-Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за вс...
Почему так хитро улыбнулся Сета? Прав ли был индусский царь, считая просьбу...
Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличн...
Примеры геометрических последовательностей. Размножение бактерий. Последовате...
Например, чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, представленной в...
Проверьте себя! а) q = 2 б) q = 1 в) q = 0,1 По аналогии с арифметической пр...
Проверьте себя! bn=b1•qn-1 –формула n-го члена геометрической прогрессии. Эт...
Выполните самостоятельно: В геометрической прогрессии (xn) найти: а) x5, есл...
Проверьте себя! а) x5 = 1 б) x3 = 1/3 в) x10 = -48 Итак, просьба мудрого Сет...
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли Сета...
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать ва...
-Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскуде...
С изумлением внимал царь словам старца. - Назови мне это чудовищное число, с...
-Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок ч...
Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно,...
S = 264 – 1 Значит, подсчет зерен сводится к перемножению 64 двоек. Для обле...
Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической про...
Получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой...
Проверь себя! Молодцы! Итак, благодаря поучительной истории с шахматной доско...
На луг площадью 12800 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 50м2....
 Спасибо за урок!
26 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Геометрическая прогрессия. Заборчук Н.А. Учитель математики МАОУ «СОШ№1» Г.То
Описание слайда:

Геометрическая прогрессия. Заборчук Н.А. Учитель математики МАОУ «СОШ№1» Г.Топки 2015

№ слайда 2 Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучены космос и море, Стро
Описание слайда:

Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучены космос и море, Строенье звезд и вся Земля. Но математиков зовет Известный лозунг: “Прогрессио – движение вперед”. Легенда о шахматах

№ слайда 3 Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познаком
Описание слайда:

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

№ слайда 4 -Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжа
Описание слайда:

-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее. Сета молчал. -Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его. -Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу. -Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь. Мудрец поклонился.

№ слайда 5 Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя бесп
Описание слайда:

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. -Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. -Простое пшеничное зерно? – изумился царь. -Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

№ слайда 6 -Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за вс
Описание слайда:

-Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

№ слайда 7 Почему так хитро улыбнулся Сета? Прав ли был индусский царь, считая просьбу
Описание слайда:

Почему так хитро улыбнулся Сета? Прав ли был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все зерна пшеницы уместятся в один мешок? А сейчас поподробнее рассмотрим последовательность чисел, соответствующих количеству зерен пшеницы, если, как попросил Сета, за каждую следующую клетку нужно дать вдвое больше, чем было в предыдущей. Получается последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…. (запишите ее в тетрадь) Нетрудно заметить, что члены этой последовательности, начиная со второго, получались путем умножения предыдущего члена на одно и то же число 2. Запишите еще одну последовательность: 2, 6, 18, 54, 162, …. Члены этой последовательности, начиная со второго, получаются путем умножения предыдущего на 3. Приведенные примеры последовательностей являются геометрическими прогрессиями. А теперь попробуйте сформулировать и записать определение геометрической прогрессии. Замечание: члены прогрессии должны быть отличны от нуля!

№ слайда 8 Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличн
Описание слайда:

Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Обозначим, например, через (bn) - геометрическую прогрессию, тогда по определению bn+1= bnq, где bn 0, n - натуральное число, q - некоторое число. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. bn+1 = bnq Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что q ≠ 0. Проверьте себя!

№ слайда 9 Примеры геометрических последовательностей. Размножение бактерий. Последовате
Описание слайда:

Примеры геометрических последовательностей. Размножение бактерий. Последовательность длин сторон. 2; 4; 8; 16; 32;…. 1

№ слайда 10 Например, чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, представленной в
Описание слайда:

Например, чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, представленной в легенде: 1, 2, 4, 8, 16,…, нужно: 2 разделить на 1, или 4 разделить на 2 и т.д., т.е. q=2 Выполните самостоятельно: Найти знаменатель геометрической прогрессии: а) 3; 6; 12; 24;… б) 3; 3; 3; 3; ….. в)1; 0,1; 0,01; 0,001;…

№ слайда 11 Проверьте себя! а) q = 2 б) q = 1 в) q = 0,1 По аналогии с арифметической пр
Описание слайда:

Проверьте себя! а) q = 2 б) q = 1 в) q = 0,1 По аналогии с арифметической прогрессией, выводится формула n-го члена геометрической прогрессии. Пусть b1 – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель, тогда: b2 = b1 ·q b3 = b2 · q = (b1 · q) · q = d1 · q2 b4 = b3 · q = (b1 · q2) · q = b1 · q3 b5 = ………………..= b1 · q4 Продолжите эту цепочку рассуждений в тетради и выразите bn через b1 и q.

№ слайда 12 Проверьте себя! bn=b1•qn-1 –формула n-го члена геометрической прогрессии. Эт
Описание слайда:

Проверьте себя! bn=b1•qn-1 –формула n-го члена геометрической прогрессии. Эта формула используется для решения многих задач. 1. В геометрической прогрессии (bn) известны b1 =-2 и q = 3, найти: b3, b4, bk. Решение: b3 = b1 • q2 = -2· 32 = -18 b4 = b1 • q3 = -2· 33 = -54 bk = b1 • qk-1 = -2· 3 k-1 2.Найти пятый член геометрической прогрессии (bn):-20; 40; …. Найдем знаменатель, для этого нужно 40 разделить на -20, получится q = -2. Решение: b5 = b1• q4 = -20 • (-2)4 = -20 • 16 = -320

№ слайда 13 Выполните самостоятельно: В геометрической прогрессии (xn) найти: а) x5, есл
Описание слайда:

Выполните самостоятельно: В геометрической прогрессии (xn) найти: а) x5, если x1 = 16; q = ½ б) x3, если x1 = 3/4; q = 2/3. в) x10, если x1 = 48; q = -1.

№ слайда 14 Проверьте себя! а) x5 = 1 б) x3 = 1/3 в) x10 = -48 Итак, просьба мудрого Сет
Описание слайда:

Проверьте себя! а) x5 = 1 б) x3 = 1/3 в) x10 = -48 Итак, просьба мудрого Сеты помогла вам понять определение геометрической прогрессии, и теперь настало время узнать что же было дальше….

№ слайда 15 За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли Сета
Описание слайда:

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли Сета свою жалкую награду. -Повелитель, - был ответ, - приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен. Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно. Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца. -Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

№ слайда 16 Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать ва
Описание слайда:

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его. -Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил. -Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…..

№ слайда 17 -Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскуде
Описание слайда:

-Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана.. - Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни.

№ слайда 18 С изумлением внимал царь словам старца. - Назови мне это чудовищное число, с
Описание слайда:

С изумлением внимал царь словам старца. - Назови мне это чудовищное число, сказал он в раздумьи. Пусть все пространство их будет сплошь засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду…

№ слайда 19 -Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок ч
Описание слайда:

-Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель! 18 446 744 073 709 551 615

№ слайда 20 Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно,
Описание слайда:

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом в этом вы сами можешь убедиться. Фактически, число зерен, о которых идет речь, является суммой 64 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S: S = 1+2+22+23+24+…….+262+263 Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии 2, получим: 2S = 2+22+23+24+ ……….+264 Вычтем почленно из второго равенства первое и проведем упрощения: 2S – S = ( 2+22+23+24+….+264) – (1+2+22+23+24+……+263) S = 264 - 1

№ слайда 21 S = 264 – 1 Значит, подсчет зерен сводится к перемножению 64 двоек. Для обле
Описание слайда:

S = 264 – 1 Значит, подсчет зерен сводится к перемножению 64 двоек. Для облегчения выкладок заменим 264 = (210)6 · 24 = =1024 · 1024 ·1024· 1024 ·1024· 1024· 16 = =1048576 ·1048576 ·1048576 ·16 – 1 и получим искомое число зерен: 18 446 744 073 709 551 615 Масса такого числа зерен больше триллиона тонн. Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но будь он силен в математике, он бы не попал впросак…

№ слайда 22 Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической про
Описание слайда:

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма зерен. Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму n первых ее членов через Sn: Sn = b1 + b2 + b3 +………+bn-1 + bn. (1) Умножим обе части этого равенства на q: Sn ·q = b1· q + b2 ·q + d3· q +…..+bn· q Учитывая, что b1· q = b2, b2· q = b3,……bn-1· q = bn, получим: Sn·q = b2 + b3 + b4+ ……+bn + dn· q (2) Вычтем почленно из (2) равенство (1) и приведем подобные члены : Sn·q – Sn = (b2+b3+b4+….+bn+bn·q) – (b1+b2+b3+…..+bn) = bn·q – b1  Sn(q – 1) = bn·q – b1 Sn = (bn·q – b1) / (q – 1)

№ слайда 23 Получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой
Описание слайда:

Получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой q ≠ 1, если q = 1, то все члены прогрессии равны первому члену и Sn = n• b1. Если в формулу вместо bn подставить выражение b1 • qn-1, получим : Найдем, например, сумму первых восьми членов геометрической прогрессии ( bn), в которой b1 = 3 ; q = -2. Выполните самостоятельно: Первый член геометрической прогрессии равен 2, а знаменатель равен 3. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии.

№ слайда 24 Проверь себя! Молодцы! Итак, благодаря поучительной истории с шахматной доско
Описание слайда:

Проверь себя! Молодцы! Итак, благодаря поучительной истории с шахматной доской, вы узнали и открыли для себя много нового и полезного. 1) Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией? 2) Какое число называется знаменателем геометрической прогрессии? 3) По какой формуле можно найти n-й член геометрической прогрессии? 4) По какой формуле можно найти сумму n первых членов геометрической прогрессии, если известны: а) первый член, n-й член и знаменатель; б)первый член и знаменатель геометрической прогрессии?

№ слайда 25 На луг площадью 12800 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 50м2.
Описание слайда:

На луг площадью 12800 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 50м2. При благоприятных условиях одуванчик размножаясь, занимает площадь в двое большую, чем в прошлом году. Через сколько лет одуванчики займут весь луг? Домашняя работа.

№ слайда 26  Спасибо за урок!
Описание слайда:

Спасибо за урок!


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 24.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров95
Номер материала ДБ-286724
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх